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Hallo,
Also ein weiteres Beispiel bzgl. stetiger Fortsetzung und Diffbarkeit
Man betrachte die Funktion f(x,y) = [mm] \frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}*Sin(\frac{1}{x-2y}) [/mm]
a) setze diese stetig fort
b) überprüfe auf Gateaux-Frechet Diffbarkeit.
Behauptung 1: f ist auf ganz [mm] \IR^{2} \(0,0) [/mm] stetig fortsetzbar.
Bw:
Ich betrachte zuerst den Fall (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) und gebe f in Polarkoord. an um den Grenzwert leichter einsehen zu können.
setze: x = [mm] rCos\phi [/mm] y = [mm] rSin\phi \Rightarrow [/mm] der Übergang (x,y) [mm] \to [/mm] (0,0) ist nun äquivalent zu r [mm] \to [/mm] 0.
ich [mm] erhalte:\limes_{r\rightarrow0}f(rCos\phi,rSin\phi) [/mm] = [mm] \frac{r^{2}*(Cos^{2}(\phi)-4Sin^{2}(\phi)}{r^{2}(Cos^{2}(\phi)+Sin^{2}(\phi)}*Sin(\frac{1}{rCos(\phi)-2rSin(\phi)} \rightarrow \nexists \rightarrow [/mm] die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig fortsetzbar.
Nun zu x = 2y.
Hier sehen wir auch ohne Polarkoord sofort ein:
[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(2y,y)} [/mm] = [mm] \frac{4y^{2}-4y{2}}{4y^{2}+y^{2}}*Sin(\frac{1}{2y-2y}) [/mm] = 0 * [mm] Sin(\frac{1}{0}) [/mm] = 0.
Anmerkung: Sinus ist bzgl seines Wertes beschränkt auf [-1,1] insofern liefert Multipl. mit 0 als einzig möglichen GW = 0.
Wir sehen, dass f also für x=2y stetig durch 0 fortsetzbar ist.
Ich gebe mit [mm] f^{\star} [/mm] die stetige Fortsetzung an:
[mm] f^{\star}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{= (2y,y)} \\ \nexists, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \\ f(x,y), & \mbox{sonst } \end{cases}
[/mm]
Behauptung 2: [mm] f^{\star} [/mm] ist an (x,y) = (2y,y) nicht diffbar.
Anmerkung ad Beh 2: Für (x,y)=(0,0) liegt Unstetigkeit vor [mm] \rightarrow [/mm] nicht diffbar. sowie: Sonst als Zusammensetzung beliebig oft diffbarer Fkt. beliebig oft diffbar.
Bw: Ich bemühe die Bedingung für Gateaux Diffbarkeit um diese einzusehen:
für (x,y) = (2y,y) also:
[mm] (f_{h,k})'(2y,y) [/mm] = [mm] \limes_{a\rightarrow0}\frac{f^{\star}(2y+ah,y+ak)-f^{\star}(2y,y)}{a} [/mm] = (nach umformen ) = [mm] \frac{4yh-8yk}{4y^{2}+y^{2}}*Sin(\frac{1}{0}) [/mm] für a [mm] \to [/mm] 0 folgt dass dieser GW nicht existiert.
Conclusio: [mm] f^{\star} [/mm] ist an (x,y)=(2y,y) nicht Gateaux diffbar , somit natürlich nicht Frechet diffbar.
Frage: Genügt das so? Vor allem auch der Teil mit 0*Sin = 0 da Sin beschränkt? oder sollte ich noch etwas genauer ausführen?
Gruß
Thomas
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Thomas_Aut |
Bzw hättet ihr einen besseren Argumentationsweg/vorschlag?
Gruß
Thomas
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Hallo,
> Man betrachte die Funktion f(x,y) =
> [mm]\frac{x^{2}-4y^{2}}{x^{2}+y^{2}}*Sin(\frac{1}{x-2y})[/mm]
>
> a) setze diese stetig fort
> b) überprüfe auf Gateaux-Frechet Diffbarkeit.
> Behauptung 1: f ist auf ganz [mm]\IR^{2} \(0,0)[/mm] stetig
> fortsetzbar.
>
> Bw:
>
> Ich betrachte zuerst den Fall (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) und gebe f in
> Polarkoord. an um den Grenzwert leichter einsehen zu
> können.
>
> setze: x = [mm]rCos\phi[/mm] y = [mm]rSin\phi \Rightarrow[/mm] der
> Übergang (x,y) [mm]\to[/mm] (0,0) ist nun äquivalent zu r [mm]\to[/mm] 0.
Ja.
> ich [mm]erhalte:\limes_{r\rightarrow0}f(rCos\phi,rSin\phi)[/mm] =
> [mm]\frac{r^{2}*(Cos^{2}(\phi)-4Sin^{2}(\phi)}{r^{2}(Cos^{2}(\phi)+Sin^{2}(\phi)}*Sin(\frac{1}{rCos(\phi)-2rSin(\phi)} \rightarrow \nexists \rightarrow[/mm]
> die Funktion ist an dieser Stelle nicht stetig
> fortsetzbar.
Wenn man sich den Term eine Weile anschaut, sieht man, dass der Limes nicht existiert (weil das [mm] $\phi$ [/mm] beliebig gewählt werden kann). Aber es nicht sofort offensichtlich.
Wenn du darauf kommst, dass keine stetige Fortsetzbarkeit vorliegt, kannst du eine ganz konkrete Folge bzw. Richtung auswählen, für die die Stetigkeitsbedingung nicht erfüllt ist. Hier könntest du zum Beispiel [mm] $\phi [/mm] = 0$ wählen, dann ist für diese $(x,y)$:
$f(x,y) = [mm] \sin\left(\frac{1}{r}\right)$
[/mm]
und davon kannst du nun meiner Meinung nach ohne weiteres behaupten, dass der Grenzwert für $r [mm] \to [/mm] 0$ nicht existiert.
> Nun zu x = 2y.
>
> Hier sehen wir auch ohne Polarkoord sofort ein:
>
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(2y,y)}[/mm] =
> [mm]\frac{4y^{2}-4y{2}}{4y^{2}+y^{2}}*Sin(\frac{1}{2y-2y})[/mm] = 0
> * [mm]Sin(\frac{1}{0})[/mm] = 0.
> Anmerkung: Sinus ist bzgl seines Wertes beschränkt auf
> [-1,1] insofern liefert Multipl. mit 0 als einzig
> möglichen GW = 0.
Das Prinzip ist OK, aber das musst du anders aufschreiben. Z.B. so: Sei [mm] $y_0 \in \IR_{\not= 0}$ [/mm] beliebig. Wir wollen zeigen, dass $f$ in [mm] $(2y_0,y_0)$ [/mm] mit [mm] $f(2y_0,y_0) [/mm] = 0$ stetig fortsetzbar ist. Es ist
[mm] $\left|f(x,y) - 0\right| [/mm] = [mm] \left|\frac{x^2-4y^2}{x^2+y^2}\right|\cdot \left|\sin\left(\frac{1}{x-2x}\right)\right| \le \left|\frac{x^2-4y^2}{x^2+y^2}\right| \to \left|\frac{(2y_0)^2-4y_0^2}{(2y_0)^2+y_0^2}\right| [/mm] = 0$ ($ (x,y) [mm] \to (2y_0, y_0)$).
[/mm]
> Wir sehen, dass f also für x=2y stetig durch 0 fortsetzbar
> ist.
> Ich gebe mit [mm]f^{\star}[/mm] die stetige Fortsetzung an:
>
> [mm]f^{\star}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } (x,y) \mbox{= (2y,y)} \\ \nexists, & \mbox{für } (x,y) \mbox{ = (0,0)} \\ f(x,y), & \mbox{sonst } \end{cases}[/mm]
Dann schreibe den Fall $(x,y) = (0,0)$ besser gar nicht auf, sondern definiere [mm] $f^{\star}: \IR^{2}\backslash \{(0,0)\}$.
[/mm]
> Behauptung 2: [mm]f^{\star}[/mm] ist an (x,y) = (2y,y) nicht
> diffbar.
> Anmerkung ad Beh 2: Für (x,y)=(0,0) liegt Unstetigkeit
> vor [mm]\rightarrow[/mm] nicht diffbar. sowie: Sonst als
> Zusammensetzung beliebig oft diffbarer Fkt. beliebig oft
> diffbar.
Ja.
> Bw: Ich bemühe die Bedingung für Gateaux Diffbarkeit um
> diese einzusehen:
>
> für (x,y) = (2y,y) also:
>
> [mm](f_{h,k})'(2y,y)[/mm] =
> [mm]\limes_{a\rightarrow0}\frac{f^{\star}(2y+ah,y+ak)-f^{\star}(2y,y)}{a}[/mm]
> = (nach umformen ) =
> [mm]\frac{4yh-8yk}{4y^{2}+y^{2}}*Sin(\frac{1}{0})[/mm] für a [mm]\to[/mm] 0
> folgt dass dieser GW nicht existiert.
Wie oben ist die Schreibweise nicht gut. So etwas wie [mm] $\sin(1/0)$ [/mm] darfst du nicht hinschreiben, du solltest einfach am Ende eine Folge dastehen haben, die offensichtlich keinen Grenzwert hat. Für Gegenbeispiele ist es daher ratsam, KONKRETE h und k auszuwählen (und bei dieser Wahl so oft wie möglich Werte wie 1 oder 0 zu benutzen, damit die Rechnung einfach bleibt).
> Conclusio: [mm]f^{\star}[/mm] ist an (x,y)=(2y,y) nicht Gateaux
> diffbar , somit natürlich nicht Frechet diffbar.
Viele Grüße,
Stefan
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