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| Aufgabe | [mm] Z_t [/mm] := [mm] (\frac{v_t}{v_0}) \exp (\frac{1}{2} \lambda_t^2)
[/mm]
mit [mm] \lambda_t [/mm] = [mm] \lambda_0 [/mm] + [mm] \int_0^t v_s [/mm] d [mm] B_s
[/mm]
[mm] v_t [/mm] = [mm] \frac{v_0}{1+v_0t} [/mm] (deterministisch)
und B is Brownsche Bewegung. |
Wie wende ich Ito auf den Prozess [mm] Z_t [/mm] an?
Ich habe mir gedacht: Sei [mm] Z_t =f(t,\lambda) [/mm] passend differenzierbar:
[mm] dZ_t [/mm] = [mm] f_t [/mm] dt + [mm] f_{\lambda}v_t dB_t [/mm] + [mm] \frac{1}{2} f_{\lambda\lambda}v_s^2dt
[/mm]
stimmt das?
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Hallo Torsten,
hier hast du wieder einen Itô-Prozess [mm] $\lambda_t$ [/mm] und brauchst die Itô-Formel für Itô Prozesse sowie die Produktregel.
Das hatten wir doch alles schonmal intensiv durchgekaut, du musst es hier nur noch anwenden!
Geh dazu erstmal wie folgt vor: Wende die Ito-Formel an auf $f(x) = [mm] \exp\left(\bruch{1}{2}x^2\right)$ [/mm] für den Prozess [mm] \lambda_t
[/mm]
Dann Produktformel verwenden.
MFG,
Gono.
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Ok.
Das wäre dann
df [mm] (\lambda) [/mm] = [mm] f'(\lambda)d\lambda [/mm] + [mm] \frac{1}{2}f''(\lambda) d<\lambda>
[/mm]
[mm] =\lambda_t [/mm] exp [mm] \frac{1}{2}\lambda_t^2 d\lambda_t+ \frac{1}{2}(\lambda_t^2 [/mm] exp [mm] \frac{1}{2}\lambda_t^2 [/mm] + exp [mm] \frac{1}{2}\lambda_t^2) [/mm] dt
Ja?
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Hiho,
> df [mm](\lambda)[/mm] = [mm]f'(\lambda)d\lambda[/mm] +
> [mm]\frac{1}{2}f''(\lambda) d<\lambda>[/mm]
ja.
> [mm]=\lambda_t[/mm] exp
> [mm]\frac{1}{2}\lambda_t^2 d\lambda_t+ \frac{1}{2}(\lambda_t^2[/mm]
> exp [mm]\frac{1}{2}\lambda_t^2[/mm] + exp [mm]\frac{1}{2}\lambda_t^2)[/mm]
> dt
Nein.
1.) Wie kommst du im zweiten Term auf das dt ? Erstmal steht da [mm] $d<\lambda>_t$ [/mm] und das ist was? Du kannst es aber auch als [mm] $d<\lambda>_t$ [/mm] stehen lassen, aber willst du vermutlich nicht.
2.) das [mm] $d\lambda_t$ [/mm] kannst du im ersten Term auch noch umschreiben, musst du zwar nicht, aber kannst du 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 03.09.2012 | | Autor: | torstentw |
Ok integrand vergessen. dann müsste das
[mm] =\lambda_t \exp( \frac{1}{2}\lambda_t^2) v_t dB_t [/mm] + [mm] \frac{1}{2} v_t^2(\lambda_t^2 [/mm] exp [mm] \frac{1}{2}\lambda_t^2 [/mm] + [mm] \exp [/mm] ( [mm] \frac{1}{2}\lambda_t^2)) [/mm] dt
sein.
Und dann :
[mm] d(\frac{v_t}{v_0}\lambda_t) [/mm] = [mm] \frac{v_t}{v_0} d\lambda_t [/mm] + [mm] \lambda_t d\frac{v_t}{v_0} [/mm] + [mm] d<\frac{v_t}{v_0},\lambda>
[/mm]
[mm] =\frac{v_t}{v_0} d\lambda_t [/mm] + [mm] \lambda_t d\frac{v_t}{v_0}
[/mm]
und das einsetzen.. ?
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| Aufgabe | Danke!
Was wäre wenn ich
[mm] Z_t [/mm] := [mm] (\frac{v_t}{v_0}) \exp (\frac{1}{2} \frac{\lambda_t^2}{v_t}) [/mm]
hätte? |
Dann kann ich für Ito auf [mm] \lambda [/mm] ja nicht die e-funktion wählen.
Muss ich dann erstmal die Produktregel auf [mm] \frac{\lambda_t^2}{v_t} [/mm] anwenden, dann Ito und dann wieder Produktregel?
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Hiho,
erstmal zu deiner Mitteilung:
Der Ergebnisterm sieht gut aus jetzt.
Wobei du natürlich NICHT [mm] $d\bruch{v_t}{v_0}\lambda_t$ [/mm] dann berechnen willst, sondern [mm] $d\bruch{v_t}{v_0}\exp\left(\bruch{1}{2}\lambda_t^2\right)$
[/mm]
Aber das was du ausgerechnet hast, sah trotzdem gut aus, wenn du noch benutzt, dass [mm] $d\bruch{v_t}{v_0} [/mm] = [mm] \bruch{v'_t}{v_0}dt$
[/mm]
Zu deiner Frage jetzt:
> Was wäre wenn ich
>
> [mm]Z_t[/mm] := [mm](\frac{v_t}{v_0}) \exp (\frac{1}{2} \frac{\lambda_t^2}{v_t})[/mm]
>
> hätte?
>
> Dann kann ich für Ito auf [mm]\lambda[/mm] ja nicht die e-funktion wählen.
> Muss ich dann erstmal die Produktregel auf
> [mm]\frac{\lambda_t^2}{v_t}[/mm] anwenden, dann Ito und dann wieder Produktregel?
Ja.
Wobei du, wenn du es wirklich runterbrechen willst, erstmal Ito (oder Produktregel) auf [mm] \lambda_t^2 [/mm] anwendest, DANN [mm] \bruch{\lambda_t^2}{v_t} [/mm] und dann so weiter machst.
MFG,
Gono.
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