NonStandartAnalysis Stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:12 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Wie zeigt man in der NonStandartAnalysis dass f(x)= ln(x) , f: * [mm] \IR^+ [/mm] -> * [mm] \IR [/mm] stetig ist (dirket nicht mittels Differenzierbarkeit)?
ln(x) := [mm] \int_1^x [/mm] 1/t dt => ln'(x)=1/x
Hab alles erklärt so, dass es auch für Mathematiker ohne NonStandart-Erfahrung lesbar ist) |
* [mm] \IR [/mm] .. Hyperreelle Zahlen( Reellen Zahlen erweitert auf * [mm] \IR [/mm] mit [mm] Infinitesimalen(\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] * [mm] \IR [/mm] : |x| < 1/n [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN) [/mm] und Infiniten [mm] Zahlen((\exists [/mm] x [mm] \in [/mm] * [mm] \IR [/mm] : |x| > n [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN)))
[/mm]
f in x [mm] \in [/mm] (a,b) stetigkeit <=> Für alle dx ~ 0 (d.h. |dx| < 1/n [mm] \foral [/mm] n [mm] \in \IN) [/mm] : f(x+dx) ~ f(x) (<=> f(x+dx) - f(x) ~0)
Sei also dx ~0 , x [mm] \in \IR
[/mm]
ZZ.: f(x+dx) ~ f(x) <=> f(x+dx| - f(x) ~ 0 <=> |f(x+dx| - f(x) | < 1/n [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
| ln(x+dx) - ln(x)| = [mm] |ln(\frac{x+dx}{x})| [/mm] = |ln(1 + [mm] \frac{dx}{x})|
[/mm]
2 Gleichheitszeichen: Weitergelten aller Regeln nach Leibniz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Fr 12.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wie zeigt man in der NonStandartAnalysis dass f(x)= ln(x) ,
> f: * [mm]\IR^+[/mm] -> * [mm]\IR[/mm] stetig ist (dirket nicht mittels
> Differenzierbarkeit)?
> ln(x) := [mm]\int_1^x[/mm] 1/t dt => ln'(x)=1/x
ist das die Definition vom natuerlichen Logarithmus? Was fuer Rechenregeln gelten denn fuer's Integral? Alle bekannten?
> Hab alles erklärt so, dass es auch für Mathematiker ohne
> NonStandart-Erfahrung lesbar ist)
>
> * [mm]\IR[/mm] .. Hyperreelle Zahlen( Reellen Zahlen erweitert auf *
> [mm]\IR[/mm] mit [mm]Infinitesimalen(\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] * [mm]\IR[/mm] : |x| < 1/n
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN)[/mm]
Du solltest noch $x > 0$ fordern, ansonsten ist das mit $x = 0$ auch in den reellen Zahlen gueltig 
> und Infiniten [mm]Zahlen((\exists[/mm] x [mm]\in[/mm] *
> [mm]\IR[/mm] : |x| > n [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN)))[/mm]
>
> f in x [mm]\in[/mm] (a,b) stetigkeit <=> Für alle dx ~ 0 (d.h. |dx|
> < 1/n [mm]\foral[/mm] n [mm]\in \IN)[/mm] : f(x+dx) ~ f(x) (<=> f(x+dx) -
> f(x) ~0)
Natuerlich sollte $x + dx [mm] \in [/mm] (a, b)$ sein.
> Sei also dx ~0 , x [mm]\in \IR[/mm]
Meinst du $x [mm] \in ^\ast\IR^+$?
[/mm]
> ZZ.: f(x+dx) ~ f(x) <=> f(x+dx|
> - f(x) ~ 0 <=> |f(x+dx| - f(x) | < 1/n [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm]
> |
> ln(x+dx) - ln(x)| = [mm]|ln(\frac{x+dx}{x})|[/mm] = |ln(1 +
> [mm]\frac{dx}{x})|[/mm]
> 2 Gleichheitszeichen: Weitergelten aller Regeln nach
> Leibniz
Nun ist [mm] $|\ln(1 [/mm] + dx/x)| = [mm] \biggl| \int_1^{1+dx/x} [/mm] 1/t [mm] \; [/mm] dt [mm] \biggr|$.
[/mm]
Gilt in der Nichtstandardanalysis auch die Integralabschaetzungsregel [mm] $\biggl| \int_a^b [/mm] g(t) [mm] \; [/mm] dt [mm] \biggr| \le [/mm] |b - a| [mm] \cdot \sup_{x \in [a, b]} [/mm] g(x)$? In dem Fall koenntest du den Ausdruck durch $|dx| [mm] \cdot C/x^2$ [/mm] fuer eine endliche Konstante $C > 0$ abschaetzen, falls $x$ nicht unendlich klein ist -- und dann waerst du fertig.
Wenn $x$ dagegen unendlich klein ist, wird es schwieriger, da dann $1 + dx/x$ weit weg von 1 sein kann und somit [mm] $|\ln(1 [/mm] + dx/x)|$ weit weg von 0.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 12:00 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Lu- |
Hallo
[mm] |ln(x+dx)-ln(x)|=|\ln(1 [/mm] + dx/x)| = [mm] \biggl| \int_1^{1+dx/x} [/mm] 1/t [mm] \; [/mm] dt [mm] \biggr| \le [/mm] |dx/x| * [mm] sup_{x\in [1,1+dx/x]} [/mm] 1/t = [mm] \frac{|dx|}{|x|} [/mm] * [mm] sup_{x\in [1,1+dx/x]} [/mm] 1/t
Genau:
Wenn nun x infinitesimal nahe bei 0 ist hab ich ein Problem, denn dann kann der Quotient alles sein.
Fall 1) x [mm] \ge [/mm] 1
[mm] \overbrace{ \frac{|dx|}{|x|}}^{\sim 0} [/mm] * [mm] \overbrace{ \sup_{x\in [1,1+dx/x]} 1/t}^{beschraenkt} \sim [/mm] 0
Fall 2) [mm] x\in [/mm] *(0 ,1]= { t [mm] \in [/mm] * [mm] \IR [/mm] | 0 < t [mm] \le [/mm] 1}
Könnten Riemannsummen helfen?
Allgemein: [mm] \int_a^b [/mm] f(x) dx ~ S
S = [mm] \sum_{k=0}^\mu f(\overline{\psi_k}) d\psi_k
[/mm]
Teilpunkt des Intervalls seien a= [mm] \psi_0, \psi_1 [/mm] ,.., [mm] \psi_{\mu+1} [/mm] = b und es sei 0 < d [mm] \psi_k [/mm] = [mm] \psi_{k+1} [/mm] - [mm] \psi_k [/mm] ~ 0, ferner [mm] \psi_k \le \overline{\psi_k} \le \psi_{k+1}
[/mm]
[mm] \biggl| \int_1^{1+dx/x} [/mm] 1/t [mm] \; [/mm] dt [mm] \biggr| [/mm] ~ [mm] |\sum_{k=0}^\mu f(\overline{\psi_k}) d\psi_k [/mm] | [mm] \le \sum_{k=0}^{\mu} \frac{1}{\overline{\psi_k}} |d\psi_k [/mm] | <= [mm] \sum_{k=0}^{\mu} \frac{1}{\overline{\psi_k}}\frac{1}{n}
[/mm]
n [mm] \in \IN [/mm] beliebig
Kann ich die Aufsummierung beschränken?
Nein oder denn [mm] 1/\omega [/mm] ist beliebig groß für [mm] \omega [/mm] infinitesimal..;(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 So 14.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Fr 12.07.2013 | | Autor: | Lu- |
> durch $ |dx| [mm] \cdot C/x^2 [/mm] $ fuer eine endliche Konstante $ C > 0 $ abschaetzen
Wie kommst du auf das [mm] x^2 [/mm] ?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 So 14.07.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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