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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:05 So 20.04.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | Sei C([0,1])={f|f:[0,1]-->IR stetig} der Vektorraum aller stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1], versehen mit den punktweise Verknüpfungen.
a) Zeige: [mm] ||f||_{[0,1]}=sup [/mm] {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} definiert Norm auf C([0,1]).
b) Sei [mm] (f_n)_n [/mm] eine Folge in C([0,1]) und sei [mm] (g_n)_n [/mm] eine Folge stetig diffbarer Funktionen [mm] g_n: [/mm] [0,1]-->IR. Beweise oder widerlege:
(i) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{[0,1]}=0 [/mm] , so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0.
[/mm]
(ii) Ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||g_n||_{[0,1]}=0 [/mm] , so folgt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} ||g'_n||_{[0,1]}=0. [/mm] |
Zu a) (der Einfachheit halber schreibe ich nicht immer die Einschränkung auf [0,1] hin.)
||f|| [mm] \ge [/mm] 0 klar, denn |f(x)| [mm] \ge [/mm] 0, also ist das sup davon erst recht größer gleich 0.
||f||=0 [mm] \gdw [/mm] sup {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} =0 [mm] \gdw [/mm] f=0.
[mm] ||\lambda [/mm] f|| = sup { [mm] |\lambda [/mm] f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1] } = sup { [mm] |\lambda||f(x)|; [/mm] x [mm] \in [/mm] [0,1] } = [mm] |\lambda| [/mm] sup {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} = [mm] |\lambda| [/mm] ||f||
||f+g|| = sup { |f(x)+g(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1] } [mm] \le [/mm] sup {|f(x)|+|g(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} [mm] \le [/mm] sup {|f(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} + sup {|g(x)|; x [mm] \in [/mm] [0,1]} =||f||+||g||.
Stimmt das so? An welchen Stellen geht genau die Stetigkeit ein?
b) Hier habe ich nur Vermutungen...
(i) falsch. Ist nicht [mm] f_n=\bruch{2x_n}{(x_n)^2+1} [/mm] ein Gegenbeispiel?
(ii) richtig
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 20.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei C([0,1])={f|f:[0,1]-->IR stetig} der Vektorraum aller
> stetigen Funktionen auf dem Intervall [0,1], versehen mit
> den punktweise Verknüpfungen.
> a) Zeige: [mm]||f||_{[0,1]}=sup[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{|f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]}
> definiert Norm auf C([0,1]).
> b) Sei [mm](f_n)_n[/mm] eine Folge in C([0,1]) und sei [mm](g_n)_n[/mm] eine
> Folge stetig diffbarer Funktionen [mm]g_n:[/mm] [0,1]-->IR. Beweise
> oder widerlege:
> (i) Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n||_{[0,1]}=0[/mm] , so
> folgt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0.[/mm]
>
> (ii) Ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||g_n||_{[0,1]}=0[/mm] , so
> folgt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} ||g'_n||_{[0,1]}=0.[/mm]
> Zu
> a) (der Einfachheit halber schreibe ich nicht immer die
> Einschränkung auf [0,1] hin.)
>
> ||f|| [mm]\ge[/mm] 0 klar, denn |f(x)| [mm]\ge[/mm] 0, also ist das sup davon
> erst recht größer gleich 0.
>
> ||f||=0 [mm]\gdw[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup {|f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]} =0 [mm]\gdw[/mm] f=0.
>
> [mm]||\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
f|| = sup { [mm]|\lambda[/mm] f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1] } = sup {
> [mm]|\lambda||f(x)|;[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1] } = [mm]|\lambda|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup {|f(x)|; x
> [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]} = [mm]|\lambda|[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
||f||
>
> ||f+g|| = sup { |f(x)+g(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1] } [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup
> {|f(x)|+|g(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]} [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
sup {|f(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> [0,1]} + sup {|g(x)|; x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
[0,1]} =||f||+||g||.
>
> Stimmt das so?
> An welchen Stellen geht genau die Stetigkeit
> ein?
Nirgendwo !
B([0,1])={f|f:[0,1]-->IR beschränkt} kannst Du genauso normieren.
>
> b) Hier habe ich nur Vermutungen...
> (i) falsch. Ist nicht [mm]f_n=\bruch{2x_n}{(x_n)^2+1}[/mm] ein
> Gegenbeispiel?
Was soll das denn sein ??????
(i) ist richtig, denn [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le [/mm] ||f||
> (ii) richtig
Nein. (ii) ist falsch. Betrachte [mm] g_n(x)=\bruch{sin(nx)}{n}
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 So 20.04.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke schonmal!!
Also Teil a) ist richtig?
Und bei b) (i) Wie würde man hier ansetzen, um das zu beweisen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 So 20.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal!!
>
> Also Teil a) ist richtig?
Ja
>
> Und bei b) (i) Wie würde man hier ansetzen, um das zu
> beweisen?
Für $ [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le [/mm] $ ||f|| benutze
|f(x)| [mm] \le [/mm] ||f|| für alle x [mm] \in [/mm] [0,1] und die Dreiecksungl. für Integrale
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mo 21.04.2014 | | Autor: | Trikolon |
Also um ehrlich zu sein, verstehe ich nicht ganz, weshalb ich $ [mm] |\integral_{0}^{1}{f(x) dx}| \le [/mm] ||f|| $ zeigen muss...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 Mo 21.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
das sollst du benutzen , nicht zeigen!
Gruß leduart
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Hier eine kurze Antwort:
Teil(a) folgt aus den Eigenschaften des Betrages, welcher
wie jede Norm homogen ist und die Dreiecksungleichung
erfüllt, zuzüglich der Definition des Supremums. Es bleibt zu
zeigen, dass nei Norm Null auch das element Null ist, was
hier gleichfalls klar ist.
Teil (b) Erstest Statement richtig, da wie schon erwähnt
wegen analoger Eigenschaften des Integranden
[mm] |\int_{0}^{1} f_n(x) [/mm] dx | [mm] \leq \|f_n \|_\infty
[/mm]
Zweites Statement ist falsch. Gegenbeispiel
[mm] g_n(x) [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1} x^{n+1}
[/mm]
konvergiert in der Supremumsnorm gegen Null
wegen [mm] \|g_n\|_\infty [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1},
[/mm]
aber es ist [mm] g_n^{'} [/mm] (x) = [mm] x^n [/mm] und damit
[mm] \|g^{'}_n(x)\|_\infty [/mm] = 1
Schöne Grüsse Schlunzbuns
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 23.04.2014 | | Autor: | Trikolon |
Also ich versuchs mal zu formulieren:
Weil gilt:
[mm] |\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx} \le \integral_{0}^{1}{||f_n(x) || dx} [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}||f_n(x)||=0, [/mm] ist dann auch schon [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0.
[/mm]
So ungefähr?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Mi 23.04.2014 | | Autor: | fred97 |
> Also ich versuchs mal zu formulieren:
>
> Weil gilt:
> [mm]|\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx} \le \integral_{0}^{1}{||f_n(x) || dx}[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}||f_n(x)||=0,[/mm] ist dann auch
> schon [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}=0.[/mm]
>
> So ungefähr?
Aber nein !
[mm] |\integral_{0}^{1}{f_n(x) dx}| \le \integral_{0}^{1}{|f_n(x)| dx} \le \integral_{0}^{1}{||f_n|| dx}=||f_n||.
[/mm]
Aus [mm] ||f_n|| \to [/mm] 0 folgt dann [mm] \integral_{0}^{1}{f_n(x) dx} \to [/mm] 0.
Mach Dir klar, dass [mm] ||f_n(x)|| [/mm] völlig sinnlos ist.
FRED
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