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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:01 Fr 23.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Norm eine linearen Abbildung.
Seien V und W normierte Vektorräume und A: V->W eine stetige lineare Abbildung. Dann wird ihre Norm defeniert als
||A||:= sup [mm] \{ ||A(x)|| : x \in V mit ||x|| \le 1 \}
[/mm]
Wieso gilt ||A(x) || [mm] \le [/mm] ||A|| ||x|| ? |
Im SKriptum steht : Dies folgt daraus dass || A( [mm] \frac{x}{||x||}) [/mm] || [mm] \le [/mm] ||A|| für alle x [mm] \not= [/mm] 0
Leider verstehe ich das gar nicht, wie ich nun auf die Beh oben kommen.
WÜrde mich über hilfe freuen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:44 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Norm eine linearen Abbildung.
> Seien V und W normierte Vektorräume und A: V->W eine
> stetige lineare Abbildung. Dann wird ihre Norm defeniert
> als
> ||A||:= sup [mm]\{ ||A(x)|| : x \in V mit ||x|| \le 1 \}[/mm]
>
> Wieso gilt ||A(x) || [mm]\le[/mm] ||A|| ||x|| ?
> Im SKriptum steht : Dies folgt daraus dass || A(
> [mm]\frac{x}{||x||})[/mm] || [mm]\le[/mm] ||A|| für alle x [mm]\not=[/mm] 0
> Leider verstehe ich das gar nicht, wie ich nun auf die Beh
> oben kommen.
> WÜrde mich über hilfe freuen.
nun: für [mm] $x=0\,$ [/mm] ist die Behauptung klar. Sei nun $x [mm] \not=0\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $$\hat{x}:=x/\|x\|=\frac{1}{\|x\|}*x \in [/mm] V$$
definiert und [mm] $\|\hat{x}\|=1\,.$ [/mm] (Beweis?)
Also ist
[mm] $$\|A(\hat{x})\| \in \{\|A(y)\|: \; y \in V \text{ mit }\|y\| =1 \} \subseteq \{\|A(y)\|: \; y \in V \text{ mit }\|x\|\le 1 \}\,.$$
[/mm]
Und nun gilt ja: Ist $M [mm] \subseteq \IR$ [/mm] eine nach oben beschränkte
Teilmenge der reellen Zahlen, so existiert [mm] $\sup M\,,$ [/mm] und für ein jedes
Element $m [mm] \in [/mm] M$ gilt insbesondere $m [mm] \le \sup M\,.$ [/mm] (Denn [mm] $\sup [/mm] M$ ist
insbesondere eine obere Schranke für [mm] $M\,.$)
[/mm]
Bei Dir: [mm] $M=\{\|A(y)\|: \; y \in V \text{ mit }\|y\|\le 1 \}\,,$ [/mm] und es ist
[mm] $m=\|A(x/\|x\|)\|=\|A(\hat{x})\| \in M\,,$ [/mm] weil eben [mm] $1/\|x\|*x=\hat{x} \in [/mm] V$
wegen $x [mm] \in [/mm] V [mm] \setminus \{0\}$ [/mm] gilt und weil wegen [mm] $\|\hat{x}\|=1$ [/mm] und
$1 [mm] \le [/mm] 1$ halt [mm] $\|\hat{x}\| \le [/mm] 1$ gilt.
Es gilt also
[mm] $$\|A(\hat{x})\|=\|A(1/\|x\|*x)\| \le \|A\|:=\sup\{\|A(y)\|: \; y \in V \text{ mit }\|y\|\le 1 \}$$
[/mm]
(beachte, dass bei [mm] $\|A\|$ [/mm] die Norm [mm] $\|.\|$ [/mm] eine andere ist wie die Norm
[mm] $\|.\|$ [/mm] bei [mm] $\|x\|\,,$ [/mm] welches wiederum eine andere ist als die Norm [mm] $\|.\|$
[/mm]
bei [mm] $\|A(x)\|\,.$ [/mm] Vielleicht ist es so sinnvoller: [mm] $\|.\|_V$ [/mm] bezeichne die
Norm auf [mm] $V\,,$ $\|.\|_W$ [/mm] bezeichne die auf [mm] $W\,$ [/mm] und dann steht oben
[mm] $$\|A(x)\|_W \le \|A\|\cdot \|x\|_V\,$$
[/mm]
wobei dann ausführlichst geschrieben auch
[mm] $$\|A\|=\sup\{\|A(y)\|_W:\;y \in V \text{ und }\|y\|_V \le 1\}$$ [/mm]
wäre.)
Wegen der Linearität von [mm] $A\,$ [/mm] folgt unter Benutzung der
Normeigenschaften von [mm] $\|.\|_W$
[/mm]
[mm] $$\|A\| \ge \|A((1/\|x\|_V)\cdot x)\|_W=\left\|\frac{1}{\|x\|_V}*A(x)\right\|_W=\red{\Big|}\;\frac{1}{\|x\|_V}\;\red{\Big|} \cdot \|A(x)\|_W\,,$$
[/mm]
(die roten [mm] $|\,$ [/mm] sind nur Betragszeichen, die man sich hier auch sparen
könnte)
also
[mm] $$\frac{1}{\|x\|_V}\cdot \|A(x)\|_W \le \|A\|\,.$$
[/mm]
Daraus folgt die Behauptung nach Multiplikation mit [mm] $\|x\|_V [/mm] > 0$ (beachte
nochmals $x [mm] \not=0$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:49 Fr 23.11.2012 | | Autor: | sissile |
Ah, supa. Wieso bringst du kein Analysisbuch heraus;) lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:06 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Ah, supa. Wieso bringst du kein Analysisbuch heraus;) lg
weil's schon zu viele gute auf dem Markt gibt. Und den Heuser werde ich
nicht toppen können. 
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Fr 23.11.2012 | | Autor: | sissile |
Okay mit dem habe ich noch nicht gearbeitet.
Ich arbeite "gezwungenermaßen" mit Forster da es viele Parallelen zu dem hat was der Prof präsentiert. Mittlerweile bin ich schon an den Forster gewohnt.
ich glaub wenn ich mir nun den Heuser noch zulege, verwirrt mich das nur noch mehr. Aber ich muss mal in der Bibliothek schauen gehen!
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Fr 23.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Okay mit dem habe ich noch nicht gearbeitet.
> Ich arbeite "gezwungenermaßen" mit Forster da es viele
> Parallelen zu dem hat was der Prof präsentiert.
ich denke, dass der Forster eigentlich auch ganz gut ist. Ich habe aber
selbst zu wenig bzw. nur selten reingeguckt, um das besser beurteilen zu
können.
> Mittlerweile bin ich schon an den Forster gewohnt.
> ich glaub wenn ich mir nun den Heuser noch zulege,
> verwirrt mich das nur noch mehr.
Der Heuser ist ein dicker Brocken und das Vorgehen bei ihm ist schon
deutlich anders, als es mir beim Forster zu sein scheint. Es ist aber auch
ein wenig "Geschmackssache", ob man Heusers Art nun mag oder nicht!
Ich denke, man wird das Buch erst wirklich schätzen lernen, wenn man
öfters reinguckt. Am Anfang meines Studiums war ein Kollege
beispielsweise komplett dem Heuser abgeneigt, weil er ihm "nicht
theoretisch klar genug" erschien. Mittlerweile findet er das Buch super.
Seine "Meinungsänderung" fand aber erst im Hauptstudium statt, als er
einfach aus "Langeweile" mal ein bisschen mehr im Heuser gestöbert
hatte.
> Aber ich muss mal in der
> Bibliothek schauen gehen!
Reingeguckt haben sollte man auf jeden Fall einmal.
Gruß,
Marcel
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