Norm & Skalarprodukt < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Di 07.08.2007 | | Autor: | tynia |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
| Aufgabe | Zeigen Sie:
Jede orthogonale (2x2)-Matrix hat entweder die Form
[mm] A=\begin{pmatrix}
cos x & -sin x \\
sin x & cos x
\end{pmatrix} [/mm] oder
A= [mm] \begin{pmatrix}
cos x & sin x \\
sin x & -cos x
\end{pmatrix} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] x < [mm] 2*\pi [/mm] |
Kann mir das bitte schnell jemand erklären? Brauche das dringend für eine Prüfung.
Danke voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Di 07.08.2007 | | Autor: | Gilga |
Es muss ja
[mm]A=\begin{pmatrix}
cos x & -sin x \\
sin x & cos x
\end{pmatrix}[/mm] *
[mm]A=\begin{pmatrix}
cos x &sin x \\
-sin x & cos x
\end{pmatrix}[/mm]
=
[mm]\begin{pmatrix}
1&0 \\
0&1
\end{pmatrix}[/mm]
gelten. also
[mm] cos^2+sin^2=1
[/mm]
Also ist die Matrix orthogonal.
Setzt man jetzt eine beliebige 2x2 Matrix
[mm]
\begin{pmatrix}
a&b\\
c &d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a&c\\
b&d
\end{pmatrix}
=
\left[ \begin {array}{cc} {a}^{2}+{c}^{2}&ab+cd\\\noalign{\medskip}ab
+cd&{b}^{2}+{d}^{2}\end {array} \right]
=\begin{pmatrix}
1&0\\
0 &1
\end{pmatrix}
[/mm]
Rechnet man das ganze aus müsste man auf die Drehmatrizen kommen.
Hier ist der komplette Beweis nach Gerd Fischer
http://www.google.de/books?id=rUlGDEFCRxkC&pg=PA305&ots=AMfXZRoxCa&dq=fischer+hom%C3%B6omorph&sig=9Rs5Q34yFXdIxKrUj6muPNHk5c4#PPA306,M1
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:02 Di 07.08.2007 | | Autor: | tynia |
Vielen Dank, dass du so schnell geantwortet hast. Du hast mir echt weiter geholfen. Es könnte sein, dass noch mehr fragen bezüglich diesem Thema kommen  Habe da noch so einige Defizite
Liebe Grüße
Tina
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Do 09.08.2007 | | Autor: | tynia |
Ich verstehe nicht so ganz, warum man die beiden Matrizen multiplizieren muss. Man soll doch zeigen, dass jede orthogonale Matrix entweder die eine oder die andere Form hat. Warum dann mal nehmen???
|
|
|
| |
|
> Ich verstehe nicht so ganz, warum man die beiden Matrizen
> multiplizieren muss. Man soll doch zeigen, dass jede
> orthogonale Matrix entweder die eine oder die andere Form
> hat. Warum dann mal nehmen???
Hallo,
Du willst doch herausfinden, unter welchen Umständen eine 2x2-Matrix [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] orthogonal ist.
Was bedeutet "orthogonale Matrix"? Die Spalten (und Zeilen) bilden eine ONB des [mm] \IR^2, [/mm] d.h. jede Spalte mit sich selbst multipliziert ergibt 1 und jede Spalte mit der anderen multipliziert ergibt 0.
Dies kannst Du ebenso als [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }*\pmat{ a & c \\ b & d }=\pmat{ a & 0 \\ 0 & 1} [/mm] schreiben.
Aus diesen Informationen mußt Du Dir nun das Aussehen der a,b,c,d "erobern".
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 07.08.2007 | | Autor: | Blech |
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
> Zeigen Sie:
> Jede orthogonale (2x2)-Matrix hat entweder die Form
> [mm]A=\begin{pmatrix}
cos x & -sin x \\
sin x & cos x
\end{pmatrix}[/mm] oder
> A= [mm]\begin{pmatrix}
cos x & sin x \\
sin x & -cos x
\end{pmatrix}[/mm] für 0
> [mm]\le[/mm] x < [mm]2*\pi[/mm]
> Kann mir das bitte schnell jemand erklären? Brauche das
> dringend für eine Prüfung.
> Danke voraus
Aus [mm]AA^T = I_2[/mm] und [mm]\| Ax \|_2 = \| x \|_2[/mm] folgt für [mm]A=\pmat{a & b \\ c & d}[/mm] :
[mm]a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = a^2 + c^2 = b^2 + d^2 =1[/mm] und
[mm]ac + bd = ab + cd = 0[/mm]
(Einfach die beiden Bedingungen oben ausrechnen)
[mm]\Rightarrow a=d,\ b=-c \mbox{ oder } a=-d,\ b=c[/mm]
sowie
[mm]a^2 + b^2 = 1[/mm]
Nun gibt es für alle [mm]a, b \in \IR[/mm], weil [mm] \| e^{ix}\|_2 =\| \cos(x) + i\sin(x)\|_2 = \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1[/mm] den ganzen Einheitskreis abdeckt, ein [mm] 0 \leq x < 2\pi[/mm] mit [mm]a = \cos x,\ b = \sin x[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:04 Di 07.08.2007 | | Autor: | tynia |
Vielen Dank für deine Antwort.
Und vor allem, dass es so schnell ging
Liebe Grüße
Tina
|
|
|
|
