matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - MatrizenNorm der Jacobi Matrix
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Norm der Jacobi Matrix
Norm der Jacobi Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Norm der Jacobi Matrix: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:11 Do 01.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Forum,

Auf der Wikipediaseite zu relative Kondition kann man lesen:

[mm] $\kappa_{rel}=\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} \frac{||x||}{||f(x)||}$ [/mm] . Ist f an der Stelle x differenzierbar dann folgt

$ [mm] \kappa_{rel}= \frac{||Df(x)||||x||}{||f(x) ||} [/mm] $ . Wobei $Df(x)$ die Jacobi Matrix von $f$ an der Stelle $x$ und die Norm $|| Df(x)||$ eine mit der verwendeten Vektornorm vertraegliche Matrixnorm ist.


Das heisst ja dann dass gilt:

[mm] $\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} [/mm] = [mm] \sup_{||y||=1}\frac{||Df(x)y||}{||y||}$ [/mm]

Das ist zwar zu erwarten, aber es ist für mich nicht offensichtlich, ich hab es versucht mithilfe von
[mm] $\limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(x)-f(\tilde{x}) - Df(x)(x-\tilde{x}) ||}{||x-\tilde{x}||}=0$ [/mm] aber hab es nicht hinbekommen.


Waer schoen wenn mir einer zeigen koennte wieso das gilt,
Mit freundlichen Gruessen,
Yomu

        
Bezug
Norm der Jacobi Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:42 Do 01.03.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

erstmal gilt offensichtlich: [mm] $\sup_{||y||=1}\frac{||Df(x)y||}{||y||} [/mm] = [mm] \sup_{||y||=1}||Df(x)y||$ [/mm]
Nun setze ich mal $v = [mm] \tilde{x} [/mm] - x$  und damit erhalten wir unter Berücksichtigung von [mm] $\tilde{x} \to [/mm] x [mm] \gdw [/mm] v [mm] \to [/mm] 0 [mm] \gdw ||v||\to [/mm] 0$ sowie nach Definition der Differenzierbarkeit:

$ [mm] \limsup_{\tilde{x} \to x} \frac{||f(\tilde{x})-f(x)) ||}{||\tilde{x}-x||} [/mm] = [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \frac{||Df(x)\cdot v + r(v)||}{||v||} [/mm] = [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} + \frac{r(v)}{||v||}\right|\right|$ [/mm]

Nach Voraussetzung (Differenzierbarkeit) gilt [mm] $\frac{r(v)}{||v||} \to [/mm] 0$ für $||v|| [mm] \to [/mm] 0$ und wir erhalten:

$= [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} \right|\right| [/mm] $

Kannst du nun selbst zeigen, dass gilt:

$ [mm] \limsup_{||v|| \to 0} \left|\left|Df(x)\frac{v}{||v||} \right|\right| [/mm]  = [mm] \sup_{||v||=1}||Df(x)v||$ [/mm]

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Norm der Jacobi Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:52 Fr 02.03.2018
Autor: Yomu

Hallo Gono,

Vielen Dank fuer deine Antwort, das hat mir sehr geholfen!

Mit freundlichen Gruessen,
Yomu

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Matrizen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 5m 1. Kian
USons/Punktwolken vergleichen?
Status vor 1h 15m 2. Diophant
ZahlTheo/Diophantische Gleichung 3 Var
Status vor 1h 24m 2. Gonozal_IX
UAnaR1Funk/L Beweis ohne Logarithmusdef.
Status vor 2h 32m 7. Annkristin
IntTheo/mehrdim. part. Int., Doppelint
Status vor 3h 01m 2. fred97
ULinAEw/Eigenwerte und Matrix
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]