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Norm ja oder nein?: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Sei $p [mm] \in [/mm] ]0, 1[$. Wird durch [mm] $||\cdot||_*$ [/mm] mit $||(x,y)||_* := [mm] (|x|^p [/mm] + [mm] |y|^p)^{\frac{1}{p}}$ [/mm] eine Norm auf [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] definiert?

Hallo,
hier stehe ich komplett auf dem Schlauch, und zwar wieder was die Dreiecksungleichung angeht. Zeige, dass gilt

[mm] $\wurzel[p]{(|v+x|^p + |w+y|^p)} \le \wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)}$ [/mm]

Jetzt fällt mir natürlich noch ein, dass ich das noch in die p-te Potenz setzen ...

[mm] (|v+x|^p [/mm] + [mm] |w+y|^p) \le (\wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)})^p$ [/mm]

... und davon $ln$ "ziehen" kann ...

[mm] ln((|v+x|^p [/mm] + [mm] |w+y|^p)) \le [/mm] p ln [mm] (\wurzel[p]{(|v|^p + |w|^p)} [/mm] + [mm] \wurzel[p]{(|x|^p + |y|^p)})$ [/mm]

...aber ich sehe leider nicht, wie mich das weiterbringt.

Wäre für Lösungsansätze sehr dankbar!

VG,
Martin

        
Bezug
Norm ja oder nein?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:55 Fr 02.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

das wirst du so nicht hinbekommen… ihr hattet bestimmt entweder die Minkowski-Ungleichung oder die Hölder-Ungleichung.

Nachschlagen, antworten, dann sehen wir weiter…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Norm ja oder nein?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980


> Hiho,
>  
> das wirst du so nicht hinbekommen… ihr hattet bestimmt
> entweder die Minkowski-Ungleichung oder die
> Hölder-Ungleichung.

Ja, die Minkowskische Ungleichung steht mitsamt Beweis in meinem Skript:

[mm] $\sqrt{\summe_{k=1}^{n} (x_k + y_k)^2 } \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n} x_k^2} [/mm] + [mm] \sqrt{\summe_{k=1}^{n} y_k^2}$ [/mm]

Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?

Danke und Gruß,

Martin

Bezug
                        
Bezug
Norm ja oder nein?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:10 Sa 03.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ja, die Minkowskische Ungleichung steht mitsamt Beweis in meinem Skript:
>  
> [mm]\sqrt{\summe_{k=1}^{n} (x_k + y_k)^2 } \le \sqrt{\summe_{k=1}^{n} x_k^2} + \sqrt{\summe_{k=1}^{n} y_k^2}[/mm]

Das ist nur der Fall $p=2$.
Die Minkowski-Ungleichung stimmt aber für alle $p [mm] \ge [/mm] 1$ und entspricht damit der von dir gesuchten Dreiecksungleichung.
  

> Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?

Na dann versuch den Beweis doch mal zu verallgemeinern für beliebiges $p [mm] \ge [/mm] 1$

Gruß,
Gono

Bezug
                                
Bezug
Norm ja oder nein?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Sa 03.04.2021
Autor: sancho1980

Hallo,

>  Die Minkowski-Ungleichung stimmt aber für alle [mm]p \ge 1[/mm]
> und entspricht damit der von dir gesuchten
> Dreiecksungleichung.
>    
> > Inwiefern kann mir das hier weiterhelfen?
>  Na dann versuch den Beweis doch mal zu verallgemeinern
> für beliebiges [mm]p \ge 1[/mm]

Kann es sein, dass du mich versehentlich aufs falsche Gleis setzt? Wieso entspricht die Minkowskische Ungleichung der von mir gesuchten Dreiecksungleichung, wenn sie für alle [mm]p \ge 1[/mm] gilt, aber in der Aufgabenstellung steht: [mm]p \in ]0,1[[/mm]?

Bezug
                                        
Bezug
Norm ja oder nein?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:12 Sa 03.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Kann es sein, dass du mich versehentlich aufs falsche Gleis
> setzt? Wieso entspricht die Minkowskische Ungleichung der
> von mir gesuchten Dreiecksungleichung, wenn sie für alle [mm]p \ge 1[/mm]
> gilt, aber in der Aufgabenstellung steht: [mm]p \in ]0,1[[/mm]?

Gut aufgepasst! (und von mir tatsächlich übersehen, dass [mm]p \in ]0,1[[/mm] )
Die Minkowski-Ungleichung gilt nur für [mm] $p\ge [/mm] 1$ und daher ist [mm] $||x||_p$ [/mm] für [mm]p \in ]0,1[[/mm] tatsächlich keine Norm.

Heißt für dich aber einfach: Finde [mm]p \in ]0,1[[/mm] und x,y so dass $||x + [mm] y||_p [/mm] > [mm] ||x||_p [/mm]  + [mm] ||y||_p$ [/mm] und du bist fertig.

Gruß,
Gono


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