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Norm zeigen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980

Aufgabe
Zeigen Sie, dass durch

$ ||(x,y)|| := [mm] max(\frac{|x|}{3}, \frac{|y|}{2}) [/mm] $, $ (x,y) [mm] \in \mathbb{R}^2 [/mm] $

eine Norm auf $ [mm] \mathbb{R}^2 [/mm] $ definiert wird.

Hallo,

ich tue mich schwer, die Dreiecksungleichung zu zeigen; ich habe

$ ||(v,w) + (x,y)|| = [mm] \frac{2|v+x|+3|w+y|+|2|v+x|-3|w+y||}{12} [/mm] $

sowie

$ ||(v,w)|| + ||(x,y)|| = [mm] \frac{2(|v|+|x|)+3(|w|+|y|)+|2|v|-3|w||+|2|x|-3|y||}{12}$ [/mm]

Klar ist, dass $2|v+x| [mm] \le [/mm] 2(|v|+|x|)$ und $3|w+y| [mm] \le [/mm] 3(|w|+|y|)$ gelten, aber wenn ich so abschätze, dann müsste ich zeigen, dass $|2|v+x|-3|w+y|| [mm] \le [/mm] |2|v|-3|w||+|2|x|-3|y||$ gilt.

Aber wenn ich beispielsweise für $x=v=2$, $y=1$ und $w=-1$ einsetze, dann lande ich bei $2 [mm] \ge [/mm] 8$.

Gibt's hier einen Trick?

Danke und Gruß,

Martin

        
Bezug
Norm zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Fr 02.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

ich hab zwar keine Ahnung, wieso du da so elend lange Terme bekommst… der Beweis geht viel einfacher:

Es ist $||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x) + (w+y)|| = [mm] \max\left(\frac{|v+w|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)$ [/mm]

1. Fall: $||(v,w) + (x,y)|| = [mm] \frac{|v+w|}{3}$, [/mm] dann ist
$||(v,w) + (x,y)|| = [mm] \frac{|v+w|}{3} \le \frac{|v|}{3} [/mm] + [mm] \frac{|w|}{3} \le [/mm] ||(v,w)|| + ||(x,y)||$

Den zweiten Fall machst du mal alleine…

Gruß,
Gono

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Norm zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:53 Fr 02.04.2021
Autor: sancho1980


> Hiho,
>  
> ich hab zwar keine Ahnung, wieso du da so elend lange Terme
> bekommst… der Beweis geht viel einfacher:

Die langen Terme bekomme ich, weil ich folgende Formel aus meinem Skript verwende:

[mm] $max(a_1, a_2) [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(a_1 [/mm] + [mm] a_2 [/mm] + [mm] |a_1 [/mm] - [mm] a_2|)$ [/mm]


>  
> Es ist [mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x) + (w+y)|| = \max\left(\frac{|v+w|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]

Du meinst sicher

[mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x, w+y)|| = \max\left(\frac{|v+x|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]

?

>  
> 1. Fall: [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+w|}{3}[/mm], dann ist
>  [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+w|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|w|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)||[/mm]

Ich verstehe nicht, wie es den Fall

[mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+w|}{3}[/mm]

geben kann. Ich sehe nur die zwei Möglichkeiten

[mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+x|}{3}[/mm] und [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|w+y|}{2}[/mm]

Im Ergebnis kann ich leider gar nicht folgen ...

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Norm zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:08 Sa 03.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Die langen Terme bekomme ich, weil ich folgende Formel aus
> meinem Skript verwende:
>  
> [mm]max(a_1, a_2) = \frac{1}{2}(a_1 + a_2 + |a_1 - a_2|)[/mm]

Ja, die stimmt zwar, ist aber so gut wie nie praktikabel.
Eine Fallunterscheidung ist meist besser.

> > Es ist [mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x) + (w+y)|| = \max\left(\frac{|v+w|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]
>  
> Du meinst sicher
>  
> [mm]||(v,w) + (x,y)|| = ||(v + x, w+y)|| = \max\left(\frac{|v+x|}{3},\frac{|w+y|}{2}\right)[/mm]

Ja.
Aber wenn du das gesehen hast, verstehe ich deine Aussage nicht:

> Im Ergebnis kann ich leider gar nicht folgen ...

Du hättest doch einfach selbst den Fehler beheben können.
Die Idee ist doch wohl hoffentlich klar geworden…

1. Fall: [mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+x|}{3}[/mm], dann ist
[mm]||(v,w) + (x,y)|| = \frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|x|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)||[/mm]

Ein bisschen selbst denken solltest du schon…

Gruß,
Gono

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Norm zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:27 Sa 03.04.2021
Autor: sancho1980

Hallo,
erkläre mir doch bitte mal meinen Denkfehler. M.E. müsste man nach deinem Vorgehen die folgenden 8 Fälle unterscheiden:

1. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$ [/mm]
2. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$ [/mm]
3. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$ [/mm]
4. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$ [/mm]
5. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$ [/mm]
6. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$ [/mm]
7. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|x|}{3}$ [/mm]
8. $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|w+y|}{2}, ||(v,w)||=\frac{|w|}{2}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2}$ [/mm]

Der erste Fall ist noch klar. Beim zweiten Fall müsste ich die folgende Ungleichung auf Gültigkeit überprüfen:

[mm] $\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} [/mm] +  [mm] \frac{|y|}{2}$ [/mm]

Wie soll ich jetzt entscheiden, ob das wahr ist?

Danke und Gruß,

Martin

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Bezug
Norm zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Sa 03.04.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hallo,
>  erkläre mir doch bitte mal meinen Denkfehler. M.E.
> müsste man nach deinem Vorgehen die folgenden 8 Fälle
> unterscheiden:

Das kannst du machen, ist jedoch völlig unnötig.
Denn: Deine Fälle 1-4 sind doch alle im Fall $||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}$ [/mm] (unabhängig davon was ||(v,w)|| und ||(x,y)|| ist) enthalten.

> Der erste Fall ist noch klar. Beim zweiten Fall müsste ich
> die folgende Ungleichung auf Gültigkeit überprüfen:
>  
> [mm]\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|y|}{2}[/mm]
>  
> Wie soll ich jetzt entscheiden, ob das wahr ist?

Habe ich dir schon vorgemacht.
Es ist doch offensichtlich:

[mm]\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|x|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)||[/mm]
In deinem 2, Fall gilt

> 2. $ ||(v+x, w+y)|| = [mm] \frac{|v+x|}{3}, ||(v,w)||=\frac{|v|}{3}, ||(x,y)||=\frac{|y|}{2} [/mm] $

Und damit:
[mm]\frac{|v+x|}{3} \le \frac{|v|}{3} + \frac{|x|}{3} \le ||(v,w)|| + ||(x,y)|| = \frac{|v|}{3} + \frac{|y|}{2}[/mm]

Insgesamt also das von dir Gewünschte.
Aber wie gesagt: Die Aufteilung meiner 2 Fälle in jeweils 4 separate ist völlig überflüssig…

Gruß,
Gono

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