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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Do 04.11.2010 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Für a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b sei der lineare Raum der stetigen Funktionen f : [a,b] [mm] \to \IR [/mm] mit C[a,b] bezeichnet.
Zeigen Sie: Die durch
[mm] \parallel*\parallel_{\infty} [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{\infty} [/mm] = [mm] max_{0 \le x \le 1} [/mm] |f(x)|
und
[mm] \parallel*\parallel_{1} [/mm] : C[0,1] [mm] \to \IR, \parallel{f}\parallel_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}
[/mm]
gegeben Normen auf C[0,1] sind nicht äquivalent.
(Die Normeigenschaften selbst müssen nicht nachgewiesen werden.)
Hinweis: Man betrachte die Funktionenfolge [mm] f_{n} [/mm] : [0; 1] [mm] \to \IR, f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n [/mm] . |
Hallo!
Habe leider ein paar Probleme bei der Aufgabe. Hier mein Ansatz:
Habe versucht mit der gegebenen Funktionenfolge zu argumentieren: [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] x^n
[/mm]
[mm] \parallel f_{n}(x) \parallel_{\infty} [/mm] = [mm] max_{0 \le x \le 1} |f_{n}(x)| [/mm] = [mm] max_{} (0^n;...;1^n) [/mm] = 1
[mm] \parallel f_{n}(x) \parallel_{1} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{|x^n| dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Für die Äquivalenz muss gelten: [mm] \exists \alpha, \beta \in \IR [/mm] mit:
[mm] \alpha\parallel f_{n} \parallel_{\infty} \le \parallel f_{n} \parallel_{1} \le \beta\parallel f_{n} \parallel_{´\infty}
[/mm]
hier also: [mm] \alpha*1\le\bruch{1}{n+1}\le\beta*1
[/mm]
Hier komme ich nicht weiter.. wie kann ich argumentieren, dass [mm] \alpha, \beta [/mm] nicht existieren um zu zeigen, dass die Normen nicht äquivalent sind?
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:03 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Für a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b sei der lineare Raum der
> stetigen Funktionen f : [a,b] [mm]\to \IR[/mm] mit C[a,b]
> bezeichnet.
>
> Zeigen Sie: Die durch
>
> [mm]\parallel*\parallel_{\infty}[/mm] : C[0,1] [mm]\to \IR, \parallel{f}\parallel_{\infty}[/mm]
> = [mm]max_{0 \le x \le 1}[/mm] |f(x)|
>
> und
>
> [mm]\parallel*\parallel_{1}[/mm] : C[0,1] [mm]\to \IR, \parallel{f}\parallel_{1}[/mm]
> = [mm]\integral_{0}^{1}{|f(x)| dx}[/mm]
>
> gegeben Normen auf C[0,1] sind nicht äquivalent.
> (Die Normeigenschaften selbst müssen nicht nachgewiesen
> werden.)
>
> Hinweis: Man betrachte die Funktionenfolge [mm]f_{n}[/mm] : [0; 1]
> [mm]\to \IR, f_{n}(x)[/mm] = [mm]x^n[/mm] .
> Hallo!
>
> Habe leider ein paar Probleme bei der Aufgabe. Hier mein
> Ansatz:
>
> Habe versucht mit der gegebenen Funktionenfolge zu
> argumentieren: [mm]f_{n}(x)[/mm] = [mm]x^n[/mm]
>
> [mm]\parallel f_{n}(x) \parallel_{\infty}[/mm] = [mm]max_{0 \le x \le 1} |f_{n}(x)|[/mm]
> = [mm]max_{} (0^n;...;1^n)[/mm] = 1
Was soll denn das : [mm]max_{} (0^n;...;1^n)[/mm] sein ?? Schmeiß es raus
>
> [mm]\parallel f_{n}(x) \parallel_{1}[/mm] = [mm]\integral_{0}^{1}{|x^n| dx}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Für die Äquivalenz muss gelten: [mm]\exists \alpha, \beta \in \IR[/mm]
> mit:
>
> [mm]\alpha\parallel f_{n} \parallel_{\infty} \le \parallel f_{n} \parallel_{1} \le \beta\parallel f_{n} \parallel_{´\infty}[/mm]
und [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0 !!
>
> hier also: [mm]\alpha*1\le\bruch{1}{n+1}\le\beta*1[/mm]
Annahme: die beiden Normen wären äquivalent, dann gibt es Zahlen [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] mit den obigen Eigenschaften. Verwendet man die Funktionen [mm] x^n, [/mm] so erhält man:
[mm]\alpha\le\bruch{1}{n+1}\le\beta[/mm] für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
Lasse mal n [mm] \to \infty [/mm] gehen. Was stellst Du fest ?
FRED
>
> Hier komme ich nicht weiter.. wie kann ich argumentieren,
> dass [mm]\alpha, \beta[/mm] nicht existieren um zu zeigen, dass die
> Normen nicht äquivalent sind?
>
> Vielen Dank!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:14 Do 04.11.2010 | | Autor: | chesn |
Ahh, danke.. dass [mm] \alpha, \beta [/mm] > 0 sein müssen habe ich nicht bedacht.
So ergibt das ganze doch einen Sinn...
Vielen Dank!!
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