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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Normal-Verteilung
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Normal-Verteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:54 Mi 13.01.2010
Autor: Karacho

Aufgabe
In einem Stadion stehen 20.000 Plätze zur Verfügung. Für ein Spiel werden 8.000 Karten an Sponsoren verteilt. Diese Karten werden mit einer Wahrscheinlichkeit von 83% genutzt. Daneben werden noch 14.000 Karten regulär verkauft, damit nicht zuviele Plätze ungenutzt bleiben, diese werden zu 95% genutzt. Die Eintrittskarten sind nicht an bestimmte Plätze gebunden.

Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, das die 20.000 Plätze nicht ausreichen. Verwenden sie die Normalverteilung als Näherung.

Ich habe ausgerechnet, dass wahrscheinlich von den 8000 Karten 6640 und von den 14000 -> 13300 genutz werden. D.h. geht man von den genannten W-keiten aus, bleiben sogar noch Plätze frei. Aber ich glaube, für die Lösung der Aufgabe hilft mir das nicht.

Des weiteren weiß ich aber, das P(X > 20.000) sein muss.
Aber wie rechne ich nun die beiden W-keiten zusammen aus?

Wäre dankbar für ein paar Tipps =)
Danke

        
Bezug
Normal-Verteilung: Summenverteilung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 14.01.2010
Autor: karma

Hallo und guten Tag,

mir erscheint folgendes Modell erfolgversprechend:

Sei $X$ die Zufallsvariable,
die die (Gesamt-) Anzahl der Spielbesucher angibt.

Dann ist
$X=S+R$
mit Zufallvariable $S$: Anzahl der Sponsorenkarten-Spielbesucher
und  Zufallvariable $R$: Anzahl der Regulärkarten-Spielbesucher
und außer Sponsorenkarten-Spielbesuchern sowie Regulärkarten-Spielbesucher gibt es keine weiten Spielbesucher.

"Verwenden sie die Normalverteilung als Näherung." steht im Aufgabentext.

Nun denn.

Dann ist $S$ normalverteilt mit [mm] $\mu=0.83*8000=6640$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=0.83*0.17*8000=1129$. [/mm]

Und $R$ normalverteilt mit [mm] $\mu=0.95*14000=13300$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=0.95*0.05*14000=665$. [/mm]

$X$ ist als Summer zweier normalverteiler Zufallvariablen normalverteilt
mit [mm] $\mu=6640+13300=19940$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=1129+665=1794$ [/mm] und also [mm] $\sigma=42$. [/mm]

Gesucht ist wie angegeben

$P(X>20000)=1-P(X<=20000)$.


Sei $Z$ eine Transformation von $X$,
[mm] $Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$. [/mm]

Dann entspricht
$P(X<=20000)$
[mm] $P(Z<=\frac{20000-19940}{42})$ [/mm]
also [mm] $P(Z<=\frac{60}{42})$ [/mm] und damit  $P(Z<=1.43)$.

Eine Tabelle der (kumulierten) Standardnormalverteilung zeigt für $Z=1.43$ den Wert $0,92364$.

In Hinblick auf die fragliche Aufgabe interpretiert sagt dieser Wert aus:
"In rund 92% der Fälle kommen höchstens 20000 Besucher ins Stadion".

Im Umkehrschluß bedeutet das,
daß in circa 8 von 100 Spielen
mehr Kartenbesitzer das Spiel besuchen möchten
als das Stadion Plätze bietet.

Schönen Gruß
Karsten



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