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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Mo 08.06.2015 | | Autor: | Kosamui |
| Aufgabe | Eine Gruppe von m Personen (m groß) macht eine Abstimmung über ein
Projekt durch. Die Mehrheit entscheidet. Es ist bekannt, dass a Personen
der Gruppe sicher dafür stimmen werden. Die restlichen n = m − a sind
unschlüssig und werden ihre Entscheidung daher mit Hilfe einer
fairen Münze treffen.
(a) Wie groß muß a (annähernd) mindestens sein, damit die Abstimmung
mit mindestens (1 − [mm] \alpha) [/mm] · 100%-iger Sicherheit zugunsten der Befürworter
ausgeht? |
Hallo,
diese Aufgabe bereitet mir große Schwierigkeiten. Bin grad am Üben und wollte diese Nummer probieren, aber es klappt nicht.
Meine Idee/Ansatz war : P(a [mm] \ge [/mm] m/2) [mm] \ge [/mm] 1- [mm] \alpha.
[/mm]
Kann mir jemand sagen, ob der Ansatz überhaupt richtig ist?
Dann würde ich so weiter machen: P(a [mm] \ge [/mm] m/2)= 1- P(a<m/2)
--> a [mm] \ge [/mm] P(a < m/2)
Wäre das bis hierher richtig?
Liebe Grüße & danke euch :)
Kosamui
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:32 Di 09.06.2015 | | Autor: | Kosamui |
Kann hier niemand helfen oder hat eine Idee?
LG :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 Di 09.06.2015 | | Autor: | luis52 |
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> Dann würde ich so weiter machen: P(a [mm]\ge[/mm] m/2)= 1-
> P(a<m/2)
>
Moin, das waere mit Sicherheit falsch, denn $a$ und $m$ sind feste Zahlen.
Versuche es vielleicht einmal so: Es bezeichne $X$ die Anzahl derjenigen unter den $n=m-a$ Unentschlossenen, die fuer das Projekt stimmen werden. Da $m$ gross ist, kannst du annehmen, dass $X$ binomialverteilt ist mit $n$ und $1/2$. Bestimme also $a$ mit [mm] $P\left(a+X>\dfrac{m}{2}\right)\ge1-\alpha$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:43 Mi 10.06.2015 | | Autor: | Kosamui |
Hallo,
danke für deine Antwort. Leider verstehe ich es noch nicht.. :
In der Aufgabenstellung bezeichnet doch genau n die Anzahl der unschlüssigen Personen, wieso soll dann X die Anzahl der unschlüssigen unter n sein, wenn n doch schon die unschlüssigen sind?
Liebe Grüße, Kosamui
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Mi 10.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort. Leider verstehe ich es noch
> nicht.. :
> In der Aufgabenstellung bezeichnet doch genau n die Anzahl
> der unschlüssigen Personen, wieso soll dann X die Anzahl
> der unschlüssigen unter n sein, wenn n doch schon die
> unschlüssigen sind?
Da stand:
$ X $ die Anzahl derjenigen ..., die fuer das Projekt stimmen werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Mi 10.06.2015 | | Autor: | Kosamui |
Danke! Da bin ich wohl am Schlauch gestanden.
Habe das jetzt berechnet und ich soll es auch noch am Beispiel m=500 und [mm] \alpha [/mm] =0,01 ausprobieren. Da kommt bei mir was komisches raus, das kann nicht stimmen glaube ich.
Ich habe (zuerst allgemein berechnet): [mm] (X+a>\bruch{m}{2}) \ge [/mm] 1- [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 - (X [mm] \le [/mm] m/2 - a) [mm] \ge [/mm] 1- [mm] \alpha
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (X [mm] \le [/mm] m/2 - a) [mm] \le \alpha
[/mm]
[mm] \gdw \Phi (\bruch{-2a}{\wurzel{m}}) \le \alpha
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-2a}{\wurzel{m}}) \le \Phi^{-1}(\alpha)
[/mm]
a [mm] \ge [/mm] - [mm] Phi^{-1}(\alpha) [/mm] * [mm] \wurzel{m} [/mm] *1/2
Wo liegt mein Fehler??
Wenn ich nämlich m=500 und [mm] \alpha [/mm] = 0,01 einsetze bekomme ich 26 raus und das kann ja garnicht sein.
LG und danke euch :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:09 Mi 10.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Wenn das Dein Wert für a ist, dann komme ich auf etwas Ähnliches, nämlich $a [mm] \ge [/mm] 24$.
Schon wenn alle losen, besteht eine 50% Chance, die Abstimmung zu gewinnen. Mit jedem sicheren Befürworter wird die Chance immer größer.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:12 Do 11.06.2015 | | Autor: | chrisno |
> Danke! Da bin ich wohl am Schlauch gestanden.
>
> Habe das jetzt berechnet und ich soll es auch noch am
> Beispiel m=500 und [mm]\alpha[/mm] =0,01 ausprobieren. Da kommt bei
> mir was komisches raus, das kann nicht stimmen glaube ich.
>
> Ich habe (zuerst allgemein berechnet): [mm](X+a>\bruch{m}{2}) \ge[/mm]
> 1- [mm]\alpha[/mm]
Mit welcher Begründung setzt Du [mm] $(X+a>\bruch{m}{2}) \ge P\left(X+a>\bruch{m}{2}\right)$?
[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 1 - (X [mm]\le[/mm] m/2 - a) [mm]\ge[/mm] 1- [mm]\alpha[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] (X [mm]\le[/mm] m/2 - a) [mm]\le \alpha[/mm]
Wahrscheinlich hast Du das P() nur vergessen einzutippen....
>
>
> [mm]\gdw \Phi (\bruch{-2a}{\wurzel{m}}) \le \alpha[/mm]
Im Nenner ist eine Näherung, für den Fall, dass m deutlich größer ist als a.
Vor dem Zusammenfassen sah das so aus:
[mm]\Phi \left(\bruch{\br{m}{2}-a+0,5-(\br{m-a}{2}+a)}{\wurzel{(m-a)0,5^2}}\right) \le \alpha[/mm]
In der Rechnung meiner ersten Antwort stecken noch Fehler. Nun komme ich auf 27.
>
> [mm]\gdw \bruch{-2a}{\wurzel{m}}) \le \Phi^{-1}(\alpha)[/mm]
>
> a [mm]\ge[/mm] - [mm]Phi^{-1}(\alpha)[/mm] * [mm]\wurzel{m}[/mm] *1/2
>
> Wo liegt mein Fehler??
>
> Wenn ich nämlich m=500 und [mm]\alpha[/mm] = 0,01 einsetze bekomme
> ich 26 raus und das kann ja garnicht sein.
Das lässt sich abschätzen:
Nehmen wir p = 0,5 und m = 500. Dann ist [mm] $\sigma \approx [/mm] 11$. Wenn nun durch die festen a die Lage der Verteilung um [mm] $2\sigma \approx [/mm] 22$ verschoben wird, dann befinden sich im "Ausläufer der Ablehnung" nur noch 2,3% der Fälle. Das passt schon gut zu den 26, die Du gefunden hast.
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