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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:41 Di 13.07.2010 | | Autor: | pfanne |
| Aufgabe | Man berechne das Volumen des von folgenen Flächen begrenzten Körpers.
x+y-z=-3, [mm] y=x^2, [/mm] y= [mm] \sqrt(x), [/mm] z=0 |
Hallo
lerne gerade für klausur und konnte weder im skript, noch sonst wo finden, welche überlegungen man hier genau macht, um auf
[mm] \integral_{0}^{1} (\integral_{x^2}^{\sqrt x}{(x+y+3)dy) dx}
[/mm]
zu kommen
die grenzen sind im nächsten schritt einfach da.
warum nimmt man als die zu integrierende funktion z und löst nicht stattdessen zb nach x oder y auf? wo kommt im äußeren integral die 1 her als obere grenze? woher die 0 kommt ahne ich schon - von z=0 - aber wieder: warum?
ich muss das ja auf diese
c [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] d, h(y) [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h(y)
bzw die andere form bringen, wo x und y vertauscht sind... aber das bringt mir recht wenig.
würd mich über etwas aufklärung freuen.
bedanke mich im voraus
grüße pfanne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:08 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
> Man berechne das Volumen des von folgenen Flächen
> begrenzten Körpers.
> x+y-z=-3, [mm]y=x^2,[/mm] y= [mm]\sqrt(x),[/mm] z=0
> Hallo
> lerne gerade für klausur und konnte weder im skript, noch
> sonst wo finden, welche überlegungen man hier genau macht,
> um auf
>
> [mm]\integral_{0}^{1} (\integral_{x^2}^{\sqrt x}{(x+y+3)dy) dx}[/mm]
>
> zu kommen
>
> die grenzen sind im nächsten schritt einfach da.
>
> warum nimmt man als die zu integrierende funktion z und
> löst nicht stattdessen zb nach x oder y auf?
Das ist bereits das Ergebnis des Integrals über z. In z-Richtung ist der Körper durch die beiden Ebenen
[mm] z= 0[/mm] und [mm] z=x+y+3[/mm]
begrenzt, daher ist das Integral über z:
[mm] \integral_{0}^{x+y+3} dz = x+y+3 [/mm]
> wo kommt im
> äußeren integral die 1 her als obere grenze? woher die 0
> kommt ahne ich schon - von z=0
Nein.
Schau dir die den Körper begrenzenden Kurven an: in jeder Ebene, die zur xy-Ebene parallel ist, wird er von den beiden Kurven [mm] $y=x^2$ [/mm] und [mm] $y=\wurzel{x}$ [/mm] begrenzt. In welchen beiden Punkten schneiden sich diese Kurven? Daher läuft x von 0 bis 1.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:27 Di 13.07.2010 | | Autor: | pfanne |
danke für die antwort
kann man dann grundsätzlich sagen, dass die grenzen der äußeren ableitung die schnittpunkte der inneren grenzen sind?
und was mach ich wenn ich sowas habe?
[mm] x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 4, x [mm] \ge [/mm] 0, y [mm] \ge [/mm] 0, z [mm] \ge [/mm] 0?
lös ich dann irgendwie [mm] x^2+y^2+z^2 \le [/mm] 4 jeweils nach x,y,z auf und nehm sie als obere grenze? was passiert mit der 4?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> danke für die antwort
>
> kann man dann grundsätzlich sagen, dass die grenzen der
> äußeren ableitung die schnittpunkte der inneren grenzen
> sind?
Den Satz verstehe ich nicht.
Die Grenzen sind durch die Form des Körpers gegeben.
> und was mach ich wenn ich sowas habe?
> [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm] 4, x [mm]\ge[/mm] 0, y [mm]\ge[/mm] 0, z [mm]\ge[/mm] 0?
> lös ich dann irgendwie [mm]x^2+y^2+z^2 \le[/mm] 4 jeweils nach
> x,y,z auf und nehm sie als obere grenze? was passiert mit
> der 4?
Der Körper ist eine Halbkugel.
Die Ungleichungen sagen dir, dass alle 3 unteren Grenzen 0 sind.
Du wählst eine der Variablen als äußere Integrationsvariable, sagen wir x. Der maximal mögliche Wert von x ist 2 (wenn y und z minimal sind). Also geht die äußere Integration über x von 0 bis 2.
Die obere Grenze der nächsten Integration ist wieder der maximal mögliche Wert von y, der sich aus [mm]x^2+y^2+z^2 \le 4[/mm] bei festem x ergibt. Das ist dann der Fall, wenn z=0 ist, also ist die obere Grenze [mm] \wurzel{4-x^2} [/mm] .
Wenn z die innerste Integration ist, so ergibt sich die obere Grenze für z durch Auflösen zu
[mm] \wurzel{4-x^2-y^2} [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:50 Di 13.07.2010 | | Autor: | pfanne |
super, das 2. hab ich verstanden.
zum ersten:
kann ich mir das irgendwie klarmachen, wo welche grenzen sind, ohne es mir aufzumalen? beim 2. geht das ja auch ohne
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> super, das 2. hab ich verstanden.
dieser Körper ist natürlich (wenn man alle Einschränkungen
beachtet) nicht eine Halbkugel, sondern eine Achtelskugel ,
deren Volumen man auch ohne Integration aus der Formel
für das Kugelvolumen berechnen könnte
> zum ersten:
> kann ich mir das irgendwie klarmachen, wo welche grenzen
> sind, ohne es mir aufzumalen? beim 2. geht das ja auch ohne
Ganz ohne geometrische Betrachtung geht es wohl nicht.
Die Feststellung, dass es sich bei den Flächen [mm] y=x^2 [/mm] und [mm] y=\sqrt{x}
[/mm]
um Zylinderflächen mit Mantellinien parallel zur z-Achse
handelt, ist für das Ansetzen einer geeigneten Integrations-
reihenfolge wesentlich. Ferner muss man sich klar machen,
wo sich diese beiden Zylinder schneiden (nämlich in x=y=0
und in x=y=1).
Übrigens halte ich es gar nicht für ein erstrebenswertes Ziel,
geometrische Betrachtungen zu vermeiden !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:19 Di 13.07.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Al!
> > super, das 2. hab ich verstanden.
>
> dieser Körper ist natürlich (wenn man alle Einschränkungen
> beachtet) nicht eine Halbkugel, sondern eine Achtelskugel ,
> deren Volumen man auch ohne Integration aus der Formel
> für das Kugelvolumen berechnen könnte
Upps, ja. War spät gestern.
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> > zum ersten:
> > kann ich mir das irgendwie klarmachen, wo welche grenzen
> > sind, ohne es mir aufzumalen? beim 2. geht das ja auch ohne
>
> Ganz ohne geometrische Betrachtung geht es wohl nicht.
> Die Feststellung, dass es sich bei den Flächen [mm]y=x^2[/mm] und
> [mm]y=\sqrt{x}[/mm]
> um Zylinderflächen mit Mantellinien parallel zur z-Achse
> handelt, ist für das Ansetzen einer geeigneten
> Integrations-
> reihenfolge wesentlich. Ferner muss man sich klar machen,
> wo sich diese beiden Zylinder schneiden (nämlich in
> x=y=0
> und in x=y=1).
> Übrigens halte ich es gar nicht für ein erstrebenswertes
> Ziel,
> geometrische Betrachtungen zu vermeiden !
Genau!
Ob man dafür ein Blatt Papier braucht oder es mit der eigenen Vorstellung hinbekommt, ist eher eine Frage der Übung.
Viele Grüße
Rainer
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