Normale Konvergenz < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 So 27.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hallo,
ich habe jetzt schon am Rande gehört, dass normale Konvergenz ![[]](/images/popup.gif) und absolute Konvergenz in [mm] $\mathbb{C}$ [/mm] zusammenfallen. Stimmt das?
Viele Grüße,
Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 So 27.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Reynir!
> ich habe jetzt schon am Rande gehört, dass normale
> Konvergenz
>
> und absolute Konvergenz in [mm]\mathbb{C}[/mm] zusammenfallen.
> Stimmt das?
Wie definierst du die absolute Konvergenz einer Reihe von [mm] $\sum_{n=0}^\infty f_n$ [/mm] Funktionen [mm] $f_n\colon X\to\IC$ [/mm] für einen topologischen Raum X?
Vielleicht punktweise absolute Konvergenz, d.h. [mm] $\sum_{n=0}^\infty f_n(x)$ [/mm] konvergiert absolut für alle [mm] $x\in [/mm] X$?
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:56 Mo 28.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi Tobit,
ja ich dachte an was punktweises.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:14 So 27.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ich habe jetzt schon am Rande gehört, dass normale
> Konvergenz
>
> und absolute Konvergenz in [mm]\mathbb{C}[/mm] zusammenfallen.
> Stimmt das?
Nein
Fred
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:55 Mo 28.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
danke für eure Antworten.
Wenn hätte ich am ehesten an was punktweises gedacht.
Ok, ich habe nämlich auch schon Sachen gefunden, wo gesagt wurde, dass ganze Funktionen in Potenzreihen mit unendlichem Konvergenzradius entwickelt werden können. Und dann würde ja auch gelten, dass die im Inneren jeder Kreisscheibe normal konvergieren. Da dachte ich, dass es hier dann einen Zusammenhang zwischen dem Konvergenzradius (innerhalb vom Radius ja absolut konvergent) und der normalen Konvergenz gibt. Den sollte es hier doch dann auch geben, oder? Weil mir ist auch aufgefallen, dass wir zu Beginn der Funktionentheorie nur den Konvergenzradius hatten und dann nebenbei auf normale Konvergenz umgestiegen sind. Sprich Potenzreihen holomorpher Funktionen waren dann normal konvergent in einer Kreisscheibe, aber der Konvergenzradius tauchte nicht mehr auf. Und da habe ich mir halt überlegt, wenn die Reihe normal konvergiert, dann kann es doch auch Fälle mit einer maximal großen Kreisscheibe geben, wenn um einen festen Punkt entwickelt wird und dann könnte man den Radius hiervon als Konvergenzradius nehmen.
Wir hatten auch den Satz zu Umordnungen normal konvergenter Reihen und da wurde die konvergente Supremumsreihe als Majorante (Definition der normalen Konvergenz) genommen, sodass es punktweise absolut konvergierte.
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:57 Mo 28.03.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Reynir,
ich versuche mich mal an einer Antwort, ohne mich in Funktionentheorie gut auszukennen.
Vorweg: Normale Konvergenz impliziert punktweise absolute Konvergenz.
Nun geht es aber offenbar nicht mehr um beliebige Folgen von Funktionen [mm] $f_n\colon X\to\IC$, [/mm] sondern um Funktionenfolgen der Form
(*) [mm] $f_n\colon\IC\to\IC,\quad z\mapsto a_n(z-a)^n$
[/mm]
für gewissen [mm] $a,a_0,a_1,a_2,\ldots\in\IC$.
[/mm]
Sei $U$ das Innere des Konvergenzkreises der Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n(z-a)^n$.
[/mm]
Sei [mm] $g_n\colon U\to\IC$ [/mm] die Einschränkung von [mm] $f_n$ [/mm] auf U für jedes [mm] $n\in\IN_0$.
[/mm]
Dann ist die Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty g_n$ [/mm] normal konvergent und insbesondere punktweise absolut konvergent.
> Ok, ich habe nämlich auch schon Sachen gefunden, wo gesagt
> wurde, dass ganze Funktionen in Potenzreihen mit
> unendlichem Konvergenzradius entwickelt werden können.
Ja. Sei [mm] $f\colon\IC\to\IC$ [/mm] eine ganze Funktion. Dann existieren (zu jedem Entwicklungspunkt [mm] $a\in\IC$) [/mm] Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] der Form (*) mit [mm] $\sum_{n=0}^\infty f_n=f$.
[/mm]
> Und
> dann würde ja auch gelten, dass die im Inneren jeder
> Kreisscheibe normal konvergieren.
Ja. Und damit konvergiert auch die (nicht auf das Innere von Kreisscheiben eingeschränkte) Funktionenreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty f_n$ [/mm] normal (und punktweise absolut).
> Da dachte ich, dass es
> hier dann einen Zusammenhang zwischen dem Konvergenzradius
> (innerhalb vom Radius ja absolut konvergent) und der
> normalen Konvergenz gibt. Den sollte es hier doch dann auch
> geben, oder?
Auch im allgemeineren Potenzreihen-Setting von oben (nicht notwendig mit unendlichem Konvergenzradius) liegt im obigen Sinne im Inneren des Konvergenzkreises normale und punktweise absolute Konvergenz vor.
> Weil mir ist auch aufgefallen, dass wir zu
> Beginn der Funktionentheorie nur den Konvergenzradius
> hatten und dann nebenbei auf normale Konvergenz umgestiegen
> sind. Sprich Potenzreihen holomorpher Funktionen waren dann
> normal konvergent in einer Kreisscheibe, aber der
> Konvergenzradius tauchte nicht mehr auf. Und da habe ich
> mir halt überlegt, wenn die Reihe normal konvergiert, dann
> kann es doch auch Fälle mit einer maximal großen
> Kreisscheibe geben, wenn um einen festen Punkt entwickelt
> wird und dann könnte man den Radius hiervon als
> Konvergenzradius nehmen.
Der Konvergenzradius R einer Potenzreihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty f_n$ [/mm] mit [mm] $f_n(z)=a_n(z-a)^n$ [/mm] lässt sich in der Tat darstellen z.B. als
[mm] $R=\sup\{r\in\IR_{\ge0}\;|\;\sum_{n=0}^\infty f_n(z)\text{ konvergiert absolut für alle }z\in\IC\text{ mit }|z-a|
oder als
[mm] $R=\sup\{r\in\IR_{\ge0}\;|\;\sum_{n=0}^\infty f_n|_{\{z\in\IC\,|\,|z-a|
(wobei die Suprema im Falle eines endlichen Konvergenzradius Maxima sind).
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
Zunächst ist, wie immer, die Definition hilfreich !
Sei D eine nichtleere Teilmenge von [mm] \IC [/mm] und [mm] (f_n) [/mm] eine Folge von Funktionen [mm] f_n:D \to \IC.
[/mm]
Zunächst eine Definition: ist K eine kompakte Teilmenge von D, so sei
[mm] ||f_n||_K:= \sup\{|f_n(z)|: z \in K\}.
[/mm]
Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] heißt normal konvergent, wenn für jede kompakte Teilmenge K von D die Reihe
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}||f_n||_K
[/mm]
konvergiert.
In diesem Fall konvergiert, nach Weierstraß, [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] lokal gleichmäßig auf D.
Insbesondere konv. [mm] \summe_{n=1}^{\infty}f_n [/mm] punktweise absolut.
Normale Konvergenz ist also mehr als punktweise absolute Konvergenz.
Ist z.B. [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)n [/mm] eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R>0, so setze
[mm] D:=\{z \in \IC: |z-z_0|
Dann konvergiert die Potenzreihe in D normal.
Gruß FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Di 29.03.2016 | | Autor: | Reynir |
Hi,
danke für eure Antworten, das hat mir sehr geholfen. :)
@ Fred, ich hatte eine Definition der normalen Konvergenz verlinkt und war mir nicht sicher, wie ich die absolute Konvergenz spezifizieren sollte, was ja jetzt geklappt hat. ;)
Ich versuche es jetzt nochmal in eigenen Worten wiederzugeben.
1. Fred sagte, dass normale Konvergenz mehr ist, als punktweise absolute Konvergenz, heißt das, meine anfängliche Idee zu sagen, dass ich das Supremum des Radiuses einer Kreisscheibe nehme, in der eine beliebige holomorphe Funktion entwickelbar ist und setzte das gleich dem Konvergenzradius macht Sinn? Der Hintergedanke ist hier, mit dem Konvergenzradius sage ich ja, dass die jeweilige Potenzreihe konvergiert. Könnte es jetzt sein, dass für z außerhalb des "Normalkonvergenzbereiches" (also nicht mehr in der maximalen Kreisscheibe) aber noch die (absolute) Konvergenz der Reihe gilt und ich damit einen größeren Radius kriege, als den der maximalen Kreisscheibe?
2. Wenn ich jetzt also eine ganze Funktion habe, dann kann ich die ja um einen festen Punkt entwickeln und sie konvergiert normal in jeder Kreisscheibe um den Punkt. Kann man dann einfach sagen, da sie in jeder Kreisscheibe konvergiert, ist der Konvergenzradius unendlich?
Viele Grüße,
Reynir
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Di 29.03.2016 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> danke für eure Antworten, das hat mir sehr geholfen. :)
> @ Fred, ich hatte eine Definition der normalen Konvergenz
> verlinkt und war mir nicht sicher, wie ich die absolute
> Konvergenz spezifizieren sollte, was ja jetzt geklappt hat.
> ;)
> Ich versuche es jetzt nochmal in eigenen Worten
> wiederzugeben.
> 1. Fred sagte, dass normale Konvergenz mehr ist, als
> punktweise absolute Konvergenz, heißt das, meine
> anfängliche Idee zu sagen, dass ich das Supremum des
> Radiuses einer Kreisscheibe nehme, in der eine beliebige
> holomorphe Funktion entwickelbar ist und setzte das gleich
> dem Konvergenzradius macht Sinn?
Nein. Schon deswegen nicht, weil überhaupt nicht verständlich ist, was Du da meinst.
> Der Hintergedanke ist
> hier, mit dem Konvergenzradius sage ich ja, dass die
> jeweilige Potenzreihe konvergiert. Könnte es jetzt sein,
> dass für z außerhalb des "Normalkonvergenzbereiches"
> (also nicht mehr in der maximalen Kreisscheibe) aber noch
> die (absolute) Konvergenz der Reihe gilt und ich damit
> einen größeren Radius kriege, als den der maximalen
> Kreisscheibe?
Drücke Dich bitte klar und präzise aus. Auch das ist kaum nachvollziehbar.
> 2. Wenn ich jetzt also eine ganze Funktion habe, dann kann
> ich die ja um einen festen Punkt entwickeln und sie
> konvergiert normal in jeder Kreisscheibe um den Punkt.
Ist f ganz und [mm] z_0 \in \IC [/mm] und ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] die Potenzreihenentwicklung von f um [mm] z_0, [/mm] so ist [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] für jedes(!) z [mm] \in \IC [/mm] konvergent und es ist
[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] für jedes z [mm] \in \IC [/mm] .
Weiter: [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n [/mm] konvergiert gleichmäßig auf jeder kompakten Teilmenge von [mm] \IC.
[/mm]
> Kann
> man dann einfach sagen, da sie in jeder Kreisscheibe
> konvergiert, ist der Konvergenzradius unendlich?
ja, bei einer ganzen Funktion ist das so.
FRED
> Viele Grüße,
> Reynir
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:04 Di 29.03.2016 | | Autor: | Reynir |
> > 1. Fred sagte, dass normale Konvergenz mehr ist, als
> > punktweise absolute Konvergenz, heißt das, meine
> > anfängliche Idee zu sagen, dass ich das Supremum des
> > Radiuses einer Kreisscheibe nehme, in der eine beliebige
> > holomorphe Funktion entwickelbar ist und setzte das gleich
> > dem Konvergenzradius macht Sinn?
>
>
> Nein. Schon deswegen nicht, weil überhaupt nicht
> verständlich ist, was Du da meinst.
Ich versuche es mal so, angenommen, ich entwickele eine holomorphe Funktion f in eine Potenzreihe und K ist der Kreis mit maximalem Radius R, sodass die Potenzreihe von f normal konvergent ist. Dann hatte ich zuerst gedacht, dass dieses R der Konvergenzradius der Potenzreihe ist. Allerdings habe ich dann weiter überlegt und mich gefragt, angenommen, die Reihe ist außerhalb von K noch konvergent, aber nicht normal konvergent (sofern das geht), wäre R dann die falsche Wahl für den Konvergenzradius? Ich meine Ja, was meist du dazu?
Viele Grüße,
Reynir
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 31.03.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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