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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Wurzelpi |
Hallo zusammen!
Ich soll folgende Aussage beweisen:
Es seien (X,T) und [mm] (Y,T^\*) [/mm] zwei topologische Räume, f:X->Y eine surjektive, stetige und abgeschlossene Abbildung.
Beh.: Ist (X,T) normal, so ist auch [mm] (Y,T^\*) [/mm] normal.
Mein Ansatz:
Es seien [mm]A,B \subset Y[/mm] mit A,B abgeschlossen und A und B disjunkt.
Da f stetig ist, gilt:
[mm]f^{-1}(A),f^{-1}(B) \subset X[/mm] sind abgeschlossen und disjunkt.
Da (X,T) normal ist, existieren Umgebungen U von [mm]f^{-1}(A)[/mm] und V von[mm]f^{-1}(B)[/mm] mit U und V disjunkt.
Leider komme ich hier nicht weiter:
Mein Problem: Aufgrund der Eigenschaften von f kann ich leider keine Aussage über f(U) und f(V) machen, da f kein Homöomorphismus ist.
Hat jemand eine Idee, wie ich den Beweis zu Ende führen kann (d.h.: es bleibt zu zeigen, dass Umgebungen von A und B existieren, die disjunkt sind)?
Oder brauche ich eine neue Idee?
Vielen Dank schon einmal für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Wurzelpi!
Der Ansatz ist schon einmal richtig (war ja auch relativ naheliegend  ).
Nun gilt ja, da $f$ surjektiv ist:
[mm] $f(U^c) \subset f((f^{-1}(A))^c) [/mm] = [mm] f(f^{-1}(A^c)) [/mm] = [mm] A^c$,
[/mm]
also:
$A [mm] \subset (f(U^c))^c$.
[/mm]
Da $U$ offen und $f$ abgeschlossen ist, ist somit [mm] $(f(U^c))^c$ [/mm] eine offene Umgebung von $A$.
Analog zeigt man natürlich, dass [mm] $(f(V^c))^c$ [/mm] eine offene Umgebung von $B$ ist.
Nun gilt:
[mm] $(f(U^c))^c \cap (f(V^c))^c [/mm] = [mm] (f(U^c) \cup f(V^c))^c [/mm] = [mm] (f(U^c \cup V^c))^c [/mm] = (f((U [mm] \cap V)^c))^c [/mm] = [mm] (f((\emptyset)^c))^c [/mm] = [mm] (f(X))^c [/mm] = [mm] Y^c [/mm] = [mm] \emptyset$,
[/mm]
d.h. die beiden Umgebungen sind auch disjunkt, wie gefordert.
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Mi 22.06.2005 | | Autor: | sara_20 |
Wie wuerde es gehen???
Der gleiche Ansatz wie vorher, nur dass jetzt f nicht sirjektiv ist und man soll nun beweisen dass das Bild von f normaler Raum ist.
Denn wenn man das beweisst, dann ist das vorherige auch bewiesen.
Danke.
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Hallo!
Das ist im Prinzip der gleiche Beweis. Du musst deine Topologie halt erstmal auf [mm] $\mathrm{Bild}f$ [/mm] einschränken. Dann ist die Funktion [mm] $\tilde [/mm] f:\ [mm] X\to \mathrm{Bild}f$ [/mm] ja stetig, abgeschlossen und surjektiv...
Gruß, banachella
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