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Forum "Geraden und Ebenen" - Normalenform aus 3 Punkten
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Normalenform aus 3 Punkten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:15 Mi 20.09.2006
Autor: HeinBloed

Aufgabe
Bringen Sie die Punkte der Ebene ABC in eine Normalenform

A (3; 1; 1)   B(4; -2; 6)   C(1; 2; 1)


habe die Parameterform ausgerechnet und könnte diese in die Normalenform bringen. Allerdings finde ich diesen Weg sehr aufwendig. Gibt es die Möglichkeit, die Normalenform DIREKT aus den 3 Punkten "abzulesen"? Sprich den Normalenvektor auszurechnen?

Wäre sehr dankbar für die Hilfe.
Mit freundlichen Grüßen
HeinBloed



P.S.  Meine Parameterform:

[mm] \overrightarrow{0X} [/mm] = [mm] \overrightarrow{0A} [/mm] + [mm] k*\overrightarrow{AB} [/mm] + [mm] l*\overrightarrow{AC} [/mm]

[mm] \gdw \overrightarrow{AB}= \vektor{1 \\ -3 \\5} [/mm]

           [mm] \overrightarrow{AC}= \vektor{-2 \\ 1 \\0} [/mm]

[mm] \gdw \vec{x}= \vektor{3 \\ 1 \\1} [/mm] + k* [mm] \vektor{1 \\ -3 \\5} [/mm] + l* [mm] \vektor{-2 \\ 1 \\0} [/mm]


in Normalenform:
habe für [mm] n_{2}=2 [/mm] wegen einem Freiheitsgrad. Daraus ergibt sich [mm] n_{1}=1 [/mm] und [mm] n_{3}=1 [/mm]

[mm] \vec{n}= \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm]

NF: [mm] x_{1} [/mm] + [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = 0


        
Bezug
Normalenform aus 3 Punkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:34 Mi 20.09.2006
Autor: Slartibartfast

Hallo

"Ablesen" geht leider nicht ;)
Du musst 2 Richtungsvektoren aufstellen, die beiden kreuzproduzieren und du hast denen Normalenvektor. Dann kannst mit dem Aufpunkt und dem Normalenvektor deine Normalenform aufstellen. Du sparst dir eigentlich nur den Schritt, in dem du die Parameterform hinschreibst.

Grüße

Bezug
                
Bezug
Normalenform aus 3 Punkten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:42 Mi 20.09.2006
Autor: HeinBloed

Vielen Dank schonmal. Dann lag ich ja doch gar nicht mal so falsch.
Hätte allerdings noch eine Frage:

>  Du musst 2 Richtungsvektoren aufstellen, die beiden
> kreuzproduzieren

was genau meint "kreuzproduzieren"??




Liebe Grüße
HeinBloed

Bezug
                        
Bezug
Normalenform aus 3 Punkten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Mi 20.09.2006
Autor: Slartibartfast

Kreuzprodukt = Vektorprodukt (Königsweg oder 23-Regel)
[mm] \vec{a} \times \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{n} [/mm]

Bezug
        
Bezug
Normalenform aus 3 Punkten: kleine Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:46 Mi 20.09.2006
Autor: Loddar

Hallo HeinBlöd!


> NF: [mm]x_{1}[/mm] + [mm]2x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm] = 0

Hier hast Du einen kleinen Fehler drin. Es muss auf der rechten Seite heißen (anstelle der $0_$ ):

[mm] $\vektor{1\\2\\1}*\vektor{3\\1\\1} [/mm] \ = \ 1*3+2*1+1*1 \ = \ [mm] \red{6}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Normalenform aus 3 Punkten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mi 20.09.2006
Autor: HeinBloed

oh... danke

Bezug
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