Normalengleichung/ Parallelitä < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene durch den Punkt A (-4|1|3) , die
a) parallel zur x-y-Ebene;
d) parallel zur Ebene y=x
verläuft. |
Mein Lösungsansatz für a) ist folgendermaßen:
[mm] (\vec{x}-\vec{a}) \* \vec{n} [/mm] = 0
[mm] \vec{a}= \vektor{-4 \\ 1 \\ 3} [/mm] , die RV unserer Ebene sind (1|0|0) und (0|1|0).
Ist die Ebenengleichung also [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ?
Und wenn ja, ist der Normalenvektor wegen [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \* \vec{n}= [/mm] 0 [mm] \wedge \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \* \vec{n}= [/mm] 0 infolgedessen [mm] \vec{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] .
Das stimmt nämlich nicht mit der Lösung überein.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Do 26.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene durch den
> Punkt A (-4|1|3) , die
> a) parallel zur x-y-Ebene;
> d) parallel zur Ebene y=x
> verläuft.
> Mein Lösungsansatz für a) ist folgendermaßen:
>
> [mm](\vec{x}-\vec{a}) \* \vec{n}[/mm] = 0
>
> [mm]\vec{a}= \vektor{-4 \\ 1 \\ 3}[/mm] , die RV unserer Ebene sind
> (1|0|0) und (0|1|0).
>
> Ist die Ebenengleichung also [mm]\vektor{-4 \\ 1 \\ 3}[/mm] +
> [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] ?
>
> Und wenn ja, ist der Normalenvektor wegen [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \* \vec{n}=[/mm]
> 0 [mm]\wedge \vektor{0 \\ 1 \\ 0} \* \vec{n}=[/mm] 0 infolgedessen
> [mm]\vec{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] .
Wie bitte ????????
Wie wärs mit [mm]\vec{n}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ?
FRED
>
> Das stimmt nämlich nicht mit der Lösung überein.
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Ich weiss dass der Normalenvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ist, wie du vielleicht aus dem Satz unmittelbar nach deiner Antwort rauslesen kannst.
Nur der Weg dorthin bleibt mir weiterhin verschlossen.
[mm] \vec{n1} [/mm] = 0 [mm] \wedge \vec{n2} [/mm] = 0 , wie komm ich dadurch aber auf [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ?
Und zu Aufgabe d) , sind die Richtungsvektoren der Ebene x [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
und ein beliebiger Vektor auf der Ebene x z.B. [mm] \vektor{3 \\ 0 \\ 0} [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
> Ich weiss dass der Normalenvektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ist,
> wie du vielleicht aus dem Satz unmittelbar nach deiner
> Antwort rauslesen kannst.
Du hast in deiner Antwort aber als Normalenvektor den Nullvektor angegeben, das kann nicht sein und deswegen ist fred auch so erschrocken...war dann wohl nur ein Schreibfehler 
>
> Nur der Weg dorthin bleibt mir weiterhin verschlossen.
>
> [mm]\vec{n1}[/mm] = 0 [mm]\wedge \vec{n2}[/mm] = 0 , wie komm ich dadurch
> aber auf [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] ?
Mehrere Möglichkeiten:
1. Das sieht man!!!
2. Setze [mm] \overrightarrow{n}=\vektor{n_1 \\ n_2 \\ n_3} [/mm] und löse das Gleichungssystem. Es reicht eine der unendlich vielen Lösungen.
3. Vektorprodukt (Kreuzprodukt)
>
> Und zu Aufgabe d) , sind die Richtungsvektoren der Ebene x
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> und ein beliebiger Vektor auf der
> Ebene x z.B. [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ 0}[/mm] ???
Du hast doch die Ebene y=x
Umgeformt x-y=0
Da kannst du doch den Normalenvektor direkt ablesen.
Der ist [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Für eine parallele Ebene kannst du den gleichen Normalenvektor verwenden.
Gruß Glie
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Während ich mich weiter mit dem Thema beschäftigt habe, ist mir aufgefallen, dass die Ebenenform einer Ebene, also [mm] \overrightarrow{OX}= \overrightarrow{OA} [/mm] + [mm] \lambda \vec{u} [/mm] + [mm] \mu \vec{v} [/mm] eigentlich nur zur Punktprobe nötig ist. Kann das jemand bestätigen?
Bzw. wann benutze ich besser die Ebenenform und wann die Normalen/Koordinatenform?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:27 Do 26.02.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Punktprobe kannst du mit jeder Ebenenform machen.
Die Parallelenform ist eigentlich nur zum Aufstellen einer Ebene aus drei Punkte A, B und C sinnvoll, es gilt dann:
[mm] E:\vec{x}=\vec{a}+\lambda*\overrightarrow{AB}+\nu*\overrightarrow{AC}
[/mm]
Für Punktproben etc. nimm am besten die Normalen- oder Koordinatenform, da hast du nur eine Gleichung auf Wahrheit zu prüfen.
Marius
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| Aufgabe | | Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene durch den Punkt A (-4|1|3) , die parallel zur x-y-Ebene verläuft. |
Die Aufgabe ist weiterhin die gleiche wie schon das ganze Topic lang.
Was mir jetzt aufgefallen ist:
[mm] \overrightarrow{OX} [/mm] = [mm] \overrightarrow{OP} [/mm] + [mm] \lambda \overrightarrow{PQ} [/mm] + [mm] \mu \overrightarrow{PR} [/mm]
Wieso ist jetzt eigentlich die Parametergleichung: [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] statt [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 3} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{-5 \\ -1 \\ -3} [/mm] + [mm] \mu \vektor{4 \\ 0 \\ -3} [/mm] .
Bei Version zwei habe ich Q-P und R- P gerechnet, aber wieso ist das in dem Fall falsch?
Ich weiss dass das nicht die Normalengleichung ist, aber zwecks besserer Erklärungsmöglichkeiten, und da sie aus der Parametergleichung hervorgeht, würde ich diese "Skurillität" doch gerne noch verstanden haben.
Vielen Dank schonmal!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Do 26.02.2009 | | Autor: | glie |
> Ermitteln Sie eine Normalengleichung der Ebene durch den
> Punkt A (-4|1|3) , die parallel zur x-y-Ebene verläuft.
> Die Aufgabe ist weiterhin die gleiche wie schon das ganze
> Topic lang.
>
> Was mir jetzt aufgefallen ist:
>
> [mm]\overrightarrow{OX}[/mm] = [mm]\overrightarrow{OP}[/mm] + [mm]\lambda \overrightarrow{PQ}[/mm]
> + [mm]\mu \overrightarrow{PR}[/mm]
>
> Wieso ist jetzt eigentlich die Parametergleichung:
> [mm]\vektor{-4 \\ 1 \\ 3}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]\mu \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> statt [mm]\vektor{-4 \\ 1 \\ 3}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{-5 \\ -1 \\ -3}[/mm]
> + [mm]\mu \vektor{4 \\ 0 \\ -3}[/mm] .
>
> Bei Version zwei habe ich Q-P und R- P gerechnet, aber
> wieso ist das in dem Fall falsch?
Hallo,
woher hast du die Koordinaten von Q und R???????
Kann es sein dass du die Richtungsvektoren, die die x-y-Ebene aufspannen mit Punktkoordinaten verwechselst?
Die Punkte Q(1/0/0) und R(0/1/0) liegen in der x-y-Ebene und NICHT in deiner gesuchten parallelen Ebene. Also liegt der Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{PQ} [/mm] NICHT in der gesuchten Ebene!!!!
Deswegen kommt Unfug raus.
Gruß Glie
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> Ich weiss dass das nicht die Normalengleichung ist, aber
> zwecks besserer Erklärungsmöglichkeiten, und da sie aus der
> Parametergleichung hervorgeht, würde ich diese
> "Skurillität" doch gerne noch verstanden haben.
>
> Vielen Dank schonmal!
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Do 26.02.2009 | | Autor: | rafaelcor |
Jetzt hab ich es geblickt, dankeschön nochmal!
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Tut mir leid, dass ich das Topic jetzt nochmal (!) hochhole, aber eine, finale Frage noch:
Ist die Lösung von a) [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } \* \vec{n} [/mm] = 3 oder doch [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 3 } \* \vec{n} [/mm] = 3
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:16 Fr 27.02.2009 | | Autor: | glie |
> Tut mir leid, dass ich das Topic jetzt nochmal (!)
> hochhole, aber eine, finale Frage noch:
>
> Ist die Lösung von a) [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1 } \* \vec{n}[/mm] = 3
> oder doch [mm]\vektor{-4 \\ 1 \\ 3 } \* \vec{n}[/mm] = 3
Das versteh ich jetzt nicht. Wir haben doch überlegt, dass für eine Ebene, die parallel zur x-y-Ebene liegt also Normalenvektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] gewählt werden kann.
Somit ergibt sich die Gleichung der gesuchten Ebene:
[mm] [\vektor{x \\ y \\ z}-\vektor{-4 \\ 1 \\ 3}]*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}=0
[/mm]
Du erhältst also einfach
[mm] \mm{z=3}
[/mm]
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Ich zweifle gerade an der 8-stündigen Arbeit heute. Zum Glück bin ich nicht unter Zeitdruck, die Klausur ist erst Montag.
Ich brauche doch einen Koordinaten/Normalengleichung der Ebene, mit der Form n1x1 + n2x2 + n3x3 = d mit d = n1a1 + n2a2 + n3a3 oder eben [mm] \vektor{n1 \\ n2 \\ n3} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3} [/mm] = d
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:41 Fr 27.02.2009 | | Autor: | glie |
> Ich zweifle gerade an der 8-stündigen Arbeit heute. Zum
> Glück bin ich nicht unter Zeitdruck, die Klausur ist erst
> Montag.
>
> Ich brauche doch einen Koordinaten/Normalengleichung der
> Ebene, mit der Form n1x1 + n2x2 + n3x3 = d mit d = n1a1 +
> n2a2 + n3a3 oder eben [mm]\vektor{n1 \\ n2 \\ n3} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3}[/mm]
> = d
Nicht verzweifeln, jetzt weiss ich auch was du gemeint hast vorher, das war nicht die Gleichung der Ebene sondern die Berechnung dessen, was du [mm] \mm{d} [/mm] nennst.
Ok, [mm] \mm{d=3} [/mm] hast du richtig berechnet durch [mm] \vektor{-4 \\ 1 \\ 3}*\vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Aber dann stimmt doch alles... als Ebenengleichung erhältst du
[mm] n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=d
[/mm]
Und mit unserem Normalenvektor und dem berechneten d
[mm] 0*x_1+0*x_2+1*x_3=3
[/mm]
also
[mm] x_3=3
[/mm]
Verzeih mir bitte dass ich [mm] \mm{z=3} [/mm] geschrieben habe, aber nachdem in deiner Aufgabe von der x-y-Ebene die Rede war, bin ich davon ausgegangen, dass wir die drei Koordinaten x,y,z und nicht [mm] x_1,x_2,x_3 [/mm] nennen.
Jetzt alles klar?
Gruß Glie
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Ich muss mich entschuldigen für diesen Switch in der Schreibweise der uns einiges an Zeit gekostet hat. Als letztes noch die Umformung zur Parameterdarstellung:
[mm] 0x_{1}+ 0\x_{2} [/mm] + [mm] 1x_{3} [/mm] = 3 wir wählen x1 und x2 beliebig und x3= 3
Zum Beispiel: [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 3} [/mm]
Dann setzen wir [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \* \vektor{u1 \\ u2 \\ u3} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} \* \vektor{v1 \\ v2 \\ v3} [/mm] paarweise verschieden 0 und kriegen für u/v1, u/v2 beliebige Werte und u/v3 muss bei beiden 0 sein.
Also [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{3 \\ 4 \\ 0} \lambda [/mm] + [mm] \vektor{6 \\ 1 \\ 0} \mu [/mm] .
Richtig?
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Hallo rafaelcor,
ja, richtig.
Du musst bei diesem Verfahren nur sicherstellen, dass die beiden Richtungsvektoren nicht kollinear sind, also keine Vielfachen voneinander. Das sind sie aber im vorliegenden Fall nicht, also alles ok.
Trotzdem hättest Du ja z.B. [mm] \vektor{6\\18\\0} [/mm] und [mm] \vektor{-\wurzel{7}\\-\wurzel{63}\\0} [/mm] finden können. Die wären nicht gegangen...
Grüße
reverend
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