Normalenvektor! < Längen+Abst.+Winkel < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:39 Fr 29.02.2008 | | Autor: | SGAdler |
| Aufgabe | Gegeben:
E: [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
In welchem Winkel geht die Ursprungsgerade, die die Ebene im Punkt [mm] A (2|1|2) [/mm] schneidet, durch die Ebene E? |
Der Winkel zwischen Ebene und Gerade berechnet sich ja aus [mm]\sin \alpha = \bruch{|\vec n * \vec a|}{|\vec n| * |\vec a|} [/mm].
Um den Normalenverktor [mm] \vec [/mm] n heraus zubekommen, müssen ja die Skalarprodukte beider Richtungsvektoren und der Normalenvektor 0 ergeben, d.h.:
[mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0[/mm] und [mm]\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = 0 [/mm]
Aber irgendwie bekomme ich keine der Variablen raus ..
1) -2x +2z = 0
2) 2x - y = 0
Wenn ich das Zweite vom Ersten abziehe, erhalte ich:
2z + y = 0
Gibt's da irgendeinen Trick? :)
PS Puh, war das eine Schreibarbeit mit den ganzen Formeln. :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo SGAdler!
> 1) -2x +2z = 0
> 2) 2x - y = 0
>
> Wenn ich das Zweite vom Ersten abziehe, erhalte ich:
Streng genommen addierst Du diese beiden Gleichungen.
> 2z + y = 0
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Und nun wähle für $y_$ oder $z_$ einen Zahlenwert beliebig aus; z.B. $z \ := \ 1$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Fr 29.02.2008 | | Autor: | SGAdler |
Ja, natürlich addiere ich. ^^
Danke für die Antwort, hab jetzt [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] für den Normalenvektor raus.
Aber würde gerne wissen, wieso man einen der Werte beliebig wählen kann.
Eine anschauliche Erklärung wäre nett. :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:53 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo SGAdler!
Du darfst einen der Werte beliebig wählen, da es keine eindeutige Lösung für den Normalenvektor auf zwei andere Vektoren gibt. Genau gesagt gibt es unendlich viele Normalenvektoren, die alle linear abhängig sind.
Gruß
Loddar
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