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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 15.09.2005 | | Autor: | Anna17 |
Hallo!,
könnt ihr mir sagen ob meine ergebnisse korrekt sind??:
1) Gib eine Gleichung der durch den Punkt P und den Normalenvektor n gegebenen Ebene in der Form n [mm] \* [/mm] x = n [mm] \* [/mm] p= d an. Schreibe die Gleichung auch als Koordinatengleichung.
a) P(2/3/-2) n= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 }
[/mm]
meine Lösung: [mm] \vektor{2 \\ 1\\ 2} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ 2 } \* \vektor{2 \\ 3 \\ -2 } [/mm] = d
2 [mm] x_{1}1 x_{2} 2x_{3 x} [/mm] = 3 = d
b) P(1/-1/0) n= [mm] \vektor{0\\ 2 \\ 1 }
[/mm]
meine Lösung: [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 1 } \* \vektor{1 \\ -1 \\ 0 }
[/mm]
2 [mm] x_{2}1 x_{3} [/mm] = -2 =d
2) Beschreibe, wie eine Ebene mit der Gleichung a [mm] x_{1}b x_{2} cx_{3 x} [/mm] = d zum Koordinatensystem liegt, wenn gewisse der Zahlen a, b,c oder d gleich null sind.
-->Bei dieser Aufgabe weiß ich leider nicht wie ich am besten vorgehen sollte ?
3)Gegeben ist eine Parameterdarstellung einer Geraden g der Form x= a + [mm] \gamma [/mm] * u. Bestimme eine Gleichung der Normalebene E von g durch den Punkt A mit dem Ortsvektor a. Bestimme ebenso die Gleichung der normalebene E von g durch den Punkt B mit dem Ortsvektor b. Schreibe die Gleichung auch als Koordinatengleichung
a) x= [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3 } [/mm] + [mm] \gamma *\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }
[/mm]
b= [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] ( b= [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ 2 }
[/mm]
meine Lösung.
a: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } [/mm]
[mm] \* \vektor{2 \\ 1 \\ -3 } [/mm] =d
[mm] x_{1}- x_{3}= [/mm] 5 = d
b: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } [/mm]
[mm] \* \vektor{-1 \\ 2 \\ 3 } [/mm] =d
[mm] x_{1}- x_{3}= [/mm] -4 = d
(b: [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -1 } [/mm]
[mm] \* \vektor{-1 \\ 0 \\ 2 } [/mm] =d
[mm] x_{1}- x_{3}= [/mm] -3 = d
3) Gegeben ist die Gleichung einer Ebene. Notiere diese mithilfe des Skalarprodukts. Ist die Darstellung eindeutig? Gib auch die Menge aller Normalenvektoren der durch die Gleichung gegebenen Ebene an.
a) 3 [mm] x_{1}+2x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}= [/mm] 3*2 + 2*1 -1
meine Lösung: [mm] \vektor{3 \\ 2 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 } [/mm] = O
3 [mm] x_{1}+2x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}= [/mm] 0
Menge aller Normalenvektoren: unendlich viele Möglichkeiten
Bitte helft mir! DANKE!!!
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Hi, Anna,
> Hallo!,
> könnt ihr mir sagen ob meine ergebnisse korrekt sind??:
> 1) Gib eine Gleichung der durch den Punkt P und den
> Normalenvektor n gegebenen Ebene in der Form n [mm]\*[/mm] x = n [mm]\*[/mm]
> p= d an. Schreibe die Gleichung auch als
> Koordinatengleichung.
>
> a) P(2/3/-2) n= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2 }[/mm]
>
> meine Lösung: [mm]\vektor{2 \\ 1\\ 2} \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ 2 } \* \vektor{2 \\ 3 \\ -2 }[/mm] = d
>
> 2 [mm]x_{1}1 x_{2} 2x_{3 x}[/mm] = 3 = d
Hast bloß die Rechenzeichen vergessen und Dich teilweise vertippt:
2 [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] 2x_{3} [/mm] = 3
Außerdem ist das lediglich die als Zweites verlangte "Koordinatengleichung".
Wie ich die Aufgabe verstehe, sollst Du die Ebene auch noch in der Form
[mm] \vektor{2 \\ 1\\ 2} \circ \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} }=3
[/mm]
schreiben!
(Gilt im Folgenden analog!)
>
> b) P(1/-1/0) n= [mm]\vektor{0\\ 2 \\ 1 }[/mm]
>
> meine Lösung: [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 2 \\ 1 } \* \vektor{1 \\ -1 \\ 0 }[/mm]
>
> 2 [mm]x_{2}1 x_{3}[/mm] = -2 =d
Siehe oben: [mm] 2x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] = -2
>
>
> 2) Beschreibe, wie eine Ebene mit der Gleichung a [mm]x_{1}b x_{2} cx_{3 x}[/mm]
> = d zum Koordinatensystem liegt, wenn gewisse der Zahlen a,
> b,c oder d gleich null sind.
Jetzt glaub' ich bald nicht mehr, dass da Tippfehler vorliegen: Du lässt die Rechenzeichen anscheinend grundsätzlich weg!
Gewöhn' Dir das bloß wieder ab! Gibt ständig Fehlerpunkte!
> -->Bei dieser Aufgabe weiß ich leider nicht wie ich am
> besten vorgehen sollte ?
Du musst halt mal alle möglichen Werte =0 setzen, z.B.:
(1) a=0, die anderen (b,c,d nicht =0).
Dann liegt die Ebene (echt) parallel zur [mm] x_{1}-Koordinatenachse.
[/mm]
(Überleg' Dir selbst, was analog bei b=0, c=0 passiert!)
(2) a=0 und b=0 (c und d nicht 0)
Dann liegt die Ebene (echt) parallel zur [mm] x_{1}-x_{2}-Koordinatenebene.
[/mm]
(Überleg' Dir selbst die anderen beiden Möglichkeiten!)
(3) a=b=c=0 geht nicht, weil das keine Ebene wäre.
(4) d=0: Dann enthält die Ebene den Ursprung (0/0/0).
So! Aber jetzt wird's mir doch ein bissl viel!
Vielleicht hilft Dir bei den weiteren Aufgaben wer anders
- oder ich schau' später nochmal rein!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Anna17,
> 3)Gegeben ist eine Parameterdarstellung einer Geraden g
> der Form x= a + [mm]\gamma[/mm] * u. Bestimme eine Gleichung der
> Normalebene E von g durch den Punkt A mit dem Ortsvektor a.
> Bestimme ebenso die Gleichung der normalebene E von g durch
> den Punkt B mit dem Ortsvektor b. Schreibe die Gleichung
> auch als Koordinatengleichung
>
> a) x= [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3 }[/mm] + [mm]\gamma *\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }[/mm]
>
>
> b= [mm]\vektor{-1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] ( b= [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ 2 }[/mm]
>
>
> meine Lösung.
> a: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }[/mm]
> [mm]\* \vektor{2 \\ 1 \\ -3 }[/mm] =d
>
> [mm]x_{1}- x_{3}=[/mm] 5 = d
>
> b: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }[/mm]
> [mm]\* \vektor{-1 \\ 2 \\ 3 }[/mm] =d
>
> [mm]x_{1}- x_{3}=[/mm] -4 = d
>
> (b: [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm] =
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ -1 }[/mm]
> [mm]\* \vektor{-1 \\ 0 \\ 2 }[/mm] =d
>
> [mm]x_{1}- x_{3}=[/mm] -3 = d
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> 3) Gegeben ist die Gleichung einer Ebene. Notiere diese
> mithilfe des Skalarprodukts. Ist die Darstellung eindeutig?
> Gib auch die Menge aller Normalenvektoren der durch die
> Gleichung gegebenen Ebene an.
>
> a) 3 [mm]x_{1}+2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}=[/mm] 3*2 + 2*1 -1
>
> meine Lösung: [mm]\vektor{3 \\ 2 \\ -1 } \* \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 }[/mm]
> = O
>
> 3 [mm]x_{1}+2x_{2}[/mm] - [mm]x_{3}=[/mm] 0
>
> Menge aller Normalenvektoren: unendlich viele
> Möglichkeiten
>
Die Menge aller Normalenvektoren:
[mm]M\; = \;\left\{ {\overrightarrow n \;|\;\overrightarrow n\; = \;\lambda \;\left( {3,\;2,\; - 1} \right)^T ,\;\lambda \; \in \;\IR\backslash \left\{ 0 \right\}} \right\}[/mm]
Gruß
MathePower
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