Normalenvektor im R^n < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:06 Mo 30.04.2007 | | Autor: | lorchi |
Hallo zusammen,
ich bin Programmierer, und meine Matheklausuren liegen schon laenger zurueck. Ich habe folgendes Problem:
Ich habe eine Hyperebene in Parameterform gegeben (genauer gesagt, mir liegen soviele Punkte wie Dimensionen vor, bzw. genau ein Richtungsvektor weniger als Punkte). Zu dieser Hyperebene suche ich den Normalenvektor. Das Kreuzprodukt kann ich demnach nicht verwenden.
Folgende Funktionen stehen mir zur Verfuegung:
Matrixmultiplikation, Determinantenbestimmung, Vektor-Punktprodukt, ausserdem das Loesen von eindeutigen Gleichungssystemen in Matrixform.
Meine Vorstellung war, aus der Parameterform die Normalenform zu gewinnen, allerdings fehlt mir der Ansatz, das mit einem eindeutigen Gleichungssystem zu schaffen.
Vielen Dank im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:57 Mo 30.04.2007 | | Autor: | MicMuc |
Wenn ich das richtig verstehe hast Du eine Liste von n Punkten [mm] $p_n$ [/mm] mit jeweils n Koordianten [mm] $p_i=(p_{i,1}, p_{i,2}, [/mm] ... , [mm] p_{i,n})$, [/mm] und Du suchst jetzt einen Vektor [mm] $v=(v_1, v_2, [/mm] ... , [mm] v_n)$ [/mm] mit [mm] $p_i \cdot v^t=0$ [/mm] (Standardskalarprodukt).
Wenn ja, dann machst Du aus den [mm] $p_i$ [/mm] eine $n [mm] \times [/mm] n$ Matrix und berechnest davon den Kern.
Eventuell musst Du dann den Gaussalgorithmus selber programmieren!
Wenn Du sicher sein kannst, dass Deine Punkte immer eine Hyperebene aufspannen, dann kannst Du auch versuchen eine Komponente des Vektor v gleich eins zu setzen. Dann erhälst Du ein eindeutig lösbares LGS. Je nach Lage der Punkte, ist das LGS aber auch nicht lösbar, dann musst Du eine andere Komponente von v gleich eins setzen ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:07 Di 01.05.2007 | | Autor: | MicMuc |
Du musst im obigen Artikel die Punkte [mm] $p_i$ [/mm] durch die $n-1$ Richtungsvektoren ersetzen, dann erhälst Du nur eine Matrix mit $n-1$ Zeilen.
Der Rest stimmt dann wieder ...
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Es seien [mm]u_1,u_2,\ldots,u_{n-1}[/mm] die Richtungsvektoren einer Hyperebene im [mm]\mathbb{R}^n[/mm]. Binde sie als Spalten nebeneinander zu einer Matrix [mm]H[/mm] zusammen. Ist [mm]h_i[/mm] die Determinante derjenigen [mm](n-1)[/mm]-reihigen Matrix, die aus [mm]H[/mm] durch Streichen der [mm]i[/mm]-ten Zeile entsteht ([mm]1 \leq i \leq n[/mm]), so sind [mm]h_1,-h_2,h_3,-h_4[/mm] usw. alternierend die Koordinaten eines Normalenvektors [mm]h[/mm] der Hyperebene. Dieser Vektor wird auch als
[mm]h = u_1 \times u_2 \times \dots \times u_{n-1}[/mm]
bezeichnet. Der euklidische Betrag von [mm]h[/mm] ist gleich dem [mm](n-1)[/mm]-dimensionalen Inhalt des von [mm]u_1,u_2,\ldots,u_{n-1}[/mm] aufgespannten Parallelepipeds.
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