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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:25 Di 09.01.2007 | | Autor: | zicooo |
| Aufgabe | Gegeben ist die affine Abbildung [mm] \alpha [/mm] : [mm] \vec{x'}= \pmat{ 1+a & a \\ b & 1+b } [/mm] * [mm] \vec{x}, [/mm] a,b sind Element von R ohne {0}.
a) Setzen Sie a=2 und b=-2. Bestimmen Sie die Normalform der affinen Abbildung [mm] \alpha [/mm] und geben Sie die wesentlichen Eigenschaften dieser Abbildung an.
b) (...)
c) Bestimmen Sie für den Fall b=-a die Normalform der affinen Abbildung [mm] \alpha [/mm] .
d) (...) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich stelle die Frage hier ins Hochschulforum, da es beim Forum für die Oberstufe kein richtiges Unterforum dafür gibt bzw. hier lauten die Unterforen bei Lineare Algebra Determinanten, Eigenwerte,... das passt besser zu unserem Thema "affine Abbildungen". Falls es trotzdem falsch ist, bitte verschieben! Ich schreib nächste Woche meine Abiarbeit und hab bis dahin kein Mathe mehr - deshalb wende ich mich an euch :).
Gut, also im Prinzip ist die oben genannte Aufgabe kein Problem. bei a) und c) ergibt sich als einziger Eigenwert 1 und somit ist die Abbildung eine Scherung mit der Fixpunktgeraden g: [mm] \vec{x}= [/mm] k * [mm] \vektor{1 \\ -1}. [/mm]
Meine Frage ist jetzt eher eine allgemeine Frage: Die Normaldarstellung bei einer Scherung bzw. Scherstreckung, also einer Abbildung einem Eigenwert und einem Eigenvektor (eindimensionaler Eigenraum) ist der uns genannten Form:
[mm] \vec{x'} [/mm] = [mm] \pmat{ r & c \\ 0 & r }
[/mm]
Wobei r der Eigenwert ist, bei einer Scherung also 1. Was ist aber der Parameter c? Ich hab manchmal gelesen, dass er 1 ist, aber die Quellen sind nicht sicher ;). Zu einer Normaldarstellung sollte man ja auch die Basis angeben, die ja normalerweise bei affinen Abbildungen zweidimensional ist, bestehend aus den Eigenvektoren. Wie gebe ich diese an, wenn ich nur einen Eigenvektor habe? Die Basis muss doch zweidimensional sein, denn sonst ist sie doch unbrauchbar bei Zeichnungen. Ich blicke da nicht ganz so durch...
Vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß Marius
P.S.: Sind affine Abbildungen eigentlich gewöhnlich als quasi fixes Abiturthema (eines von vier eingeschickten Themen, bei denen 3 bearbeitet werden müssen - RLP)? Bisher habe ich noch keinen getroffen, der ähnliches hatte...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Mo 15.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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