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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Normalform orthogonaler Matrix
Normalform orthogonaler Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Normalform orthogonaler Matrix: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:02 Fr 24.06.2016
Autor: astol

Aufgabe
Sei [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 }\in M(3\times [/mm] 3, [mm] \IR) [/mm]
Zeigen Sie, dass A orthogonal ist und bringen Sie A in die Normalform orthogonaler Matrizen, d.h. bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S, so dass [mm] S^{-1}AS [/mm] von der Form
[mm] \pmat{ R(\phi_1)&&&&&&&& \\ &...&&&&&&&\\ &&R(\phi_n)&&&&&&\\ &&&1&&&&&\\ &&&&...&&&&\\ &&&&&1&&&\\ &&&&&&-1&&\\ &&&&&&&...&\\ &&&&&&&&-1} [/mm] mit [mm] R(\phi_i)\pmat{ cos\phi_i & -sin\phi_i \\ sin\phi_i & cos\phi_i } [/mm] für i=1,...,n ist

Guten Morgen zusammen, viellicht könnt Ihr mir bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Danke schon mal im Voraus!

Was ich bis jetzt gezeigt habe:

A ist orthogonal, dann gilt: [mm] A^T=A^{-1} [/mm] also insb. [mm] A^T*A=E [/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0}*\pmat{ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0}=\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A ist orthogonal

Um die Matrix S zu bestimmen, benötige ich Eigenwerte bzw. Eigenvektoren, denn die Spalten von S sind die Eigenvektoren der reellen Eigenwerte von A, sowie Real- und Imaginärteil von komplexen Eigenvektoren der komplexen Eigenwerte von A.

Mit Hilfe des charakteristischen Polynoms habe ich die Eigenwerte berechnet:
[mm] P_A(t)=det(A-t*E)=det\pmat{ -t & 0 & 1 \\ 1 & -t & 0 \\ 0 & 1 & -t}=(-t)^3+1 [/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda=1 [/mm] ist Eigenwert zu A.

Für den zugehörigen Eigenvektor, v gilt dann: [mm] (A-\lambda*E)*v=0, [/mm] mit [mm] v\not=0: [/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1}*\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow v=\vektor{-1 \\ 1 \\ 1} [/mm]

Somit habe ich nur einen Eigenvektor, aber wie soll ich damit die Matrix S aufstellen, denn [mm] S\in M(3\times [/mm] 3)?

Habe mir mit WolframAlpha [mm] P_a(t)=(-t)^3+1=0 [/mm] berechnen lassen und er liefert mir neben t=1 (s.o.) auch noch [mm] t=-\wurzel[3]{-1} [/mm] und [mm] t=(-1)^{\bruch{2}{3}} [/mm] als komplexe Lösungen. Muss ich damit weitere Eigenvektoren bestimmen? Falls ja, wie kann ich das mit den komplexen Zahlen machen? Bin für jeden Tipp dankbar.

LG astol
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Normalform orthogonaler Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:34 Fr 24.06.2016
Autor: astol

Ups, ich hab mich verrechnet, kleine Vorzeichenfehler beim Eigenvektor ;-)
[mm] v=\vektor{1\\1\\1\\}. [/mm] Aber das Problem mit den komplexen Eigenwerten bleibt bestehen :-(

Bezug
        
Bezug
Normalform orthogonaler Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:10 Sa 25.06.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]
Anschaulich hast Du die Drehachse der Rotation bestimmt. Jetzt fehlt noch die Ebene, in der gedreht wird. Da die Drehachse senkrecht auf der Drehebene steht, kannst Du als nächstes das Orthogonale Komplement zu $v$ berechnen. Danach bestimmst Du eine ONB der Drehebene und ergänzt diese mit [mm] $\frac{1}{\sqrt{3}}v$ [/mm] zu einer ONB des ganzen Raumes. In dieser Basis hat $A$ die Normalform und die Basistransformationsmatrix liefert Dir $S$.

Übrigens lässt sich der Drehwinkel auch ohne Bestimmung der Normalform leicht berechnen, weil die Spur Matrix unter Basiswechsel invariant ist. Damit ist bei Dir der Drehwinkel [mm] $180^{\circ}$ [/mm] :-)

Bezug
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