Normalteiler < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien A,B,G Gruppen.
a) Jeder Normalteiler von A ist Normalteiler von A [mm] \times [/mm] B.
b) aus U [mm] \le [/mm] A [mm] \times [/mm] B folgt nicht U = ( A [mm] \cap [/mm] U) [mm] \times [/mm] (B [mm] \cap [/mm] U). |
Ich verstehe nicht wie ich die Aufgabe lösen soll, kann mir wer helfen??
MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo und guten Tag,
zur ersten Aufgabe: Gemeint ist wahrscheinlich folgendes:
Falls N ein Normalteiler von A ist (übliche Notation: [mm] N\lhd [/mm] A), so ist
[mm] N\times\{e_B\} [/mm] Normalteiler von [mm] A\times [/mm] B - wobei [mm] e_B [/mm] das neutrale Element der Gruppe B sei.
Nachzuweisen ist also:
- [mm] N\times\{e_B\} [/mm] ist Untergruppe von [mm] A\times [/mm] B, also abgeschlossen unter Gruppenoperation und Inversenbildung.
- Für alle [mm] (a,b)\in A\times [/mm] B und [mm] (c,e_B)\in N\times\{e_B\} [/mm] gilt
[mm] \underbrace{(a,b)^{-1} \cdot (c,e_B)\cdot (a,b)}\:\: \in N\times\{e_B\}\:\:\: (\star)
[/mm]
Der unterklammerte Ausdruck ist jedoch gleich
[mm] (a^{-1}\cdot c\cdot [/mm] a, [mm] b^{-1}\cdot e_B\cdot [/mm] b)
und jetzt benutzt Du die Normalteiler-Eigenschaft von N, um zu zeigen, dass [mm] (\star) [/mm] gilt.
Zur zweiten Aufgabe:
Die Aufgabe scheint mir formal falsch formuliert.
Richtig könnte es vielleicht heißen (das ist eine Vermutung):
falls [mm] U\leq A\times [/mm] B eine Untergruppe ist, so seien
[mm] \pi_A(U)=\{a\in A\: |\:\exists b\in B\:\: (a,b)\in U\},
[/mm]
[mm] \pi_B(U)=\{b\in B\: |\:\exists a\in A\:\: (a,b)\in U\}
[/mm]
die Projektionen von U auf die beiden Komponenten.
Zu zeigen: Es gilt dann nicht notwendig
U= [mm] \pi_A(U)\times \pi_B(U).
[/mm]
Konstruier zum Nachweis dessen halt ein Gegenbeispiel, zB [mm] A=B=\Z\slash 2\IZ [/mm] mit Addition modulo 2 und die von (1,1) erzeugte Untergruppe,
diese enthält nicht (1,0).
Gruss,
Mathias
|
|
|
|
