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| Aufgabe | Sei H Untergruppe einer Gruppe G. Sind die folgenden Bedingungen jeweils äquivalent dazu, dass H ein Normalteiler ist?
1.) [mm] g^{-1}hg \in [/mm] H für alle g [mm] \in [/mm] G und alle h [mm] \in [/mm] H.
2.) [mm] g^{-1}Hg [/mm] = H für alle g [mm] \in [/mm] G.
3.) [mm] gHg^{-1} [/mm] = H für alle g [mm] \in [/mm] G.
4.) gH = Hg für alle g [mm] \in [/mm] G. |
Hallo!
Also, ich habe mir folgenedes überlegt:
1.) [mm] \underline{richtig}
[/mm]
da wir folgende Definition bekommen haben und die genau das besagt:
Ein Normalteiler einer Gruppe G ist eine Untergruppe [mm] H\leG, [/mm] so dass
[mm] g^{-1}hg \in [/mm] H gilt für alle g [mm] \in [/mm] G und h [mm] \in [/mm] H
2.) [mm] \underline{richtig}
[/mm]
da [mm] g^{-1}Hg [/mm] = H gilt, bedeutet das, dass man jedes Element aus H
von links mit [mm] g^{-1} [/mm] und von rechts mit g muliplizieren kann
( also [mm] g^{-1}hg [/mm] ) und das Ergebnis H ist, also eine Element aus H,
was wiederum der Definition entspricht. Wenn man wiederum davon
ausgeht, dass es ein Normalteiler ist, dann gilt [mm] g^{-1}hg \in [/mm] H
für alle g [mm] \in [/mm] G und alle h [mm] \in [/mm] H. Aus weiteren Unterlagen aus der
Vorlesung wissen wir, dass Man die Faktorgruppe bilden kann, wenn
die Untergruppe ein Normalteiler ist.
3.) [mm] \underline{richtig}
[/mm]
hier würde ich die gleiche Begründung wie bei 2.) nehmen, denn ich
man kann 2.) zu 3.) umformen
[mm] gHg^{-1} [/mm] = [mm] g(g^{-1}Hg)g^{-1} [/mm] = H = [mm] g^{-1}Hg
[/mm]
4.) [mm] \underline{richtig}
[/mm]
da aus gH = Hg Kommutativität folgt und nach den
Vorlesungsunterlagen sind abelsche Gruppen Normalteiler.
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob meine Überlegungen richtig sind!
Vielen Dank!
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Do 08.04.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Sei H Untergruppe einer Gruppe G. Sind die folgenden
> Bedingungen jeweils äquivalent dazu, dass H ein
> Normalteiler ist?
>
> 1.) [mm]g^{-1}hg \in[/mm] H für alle g [mm]\in[/mm] G und alle h [mm]\in[/mm] H.
> 2.) [mm]g^{-1}Hg[/mm] = H für alle g [mm]\in[/mm] G.
> 3.) [mm]gHg^{-1}[/mm] = H für alle g [mm]\in[/mm] G.
> 4.) gH = Hg für alle g [mm]\in[/mm] G.
> Hallo!
> Also, ich habe mir folgenedes überlegt:
> 1.) [mm]\underline{richtig}[/mm]
> da wir folgende Definition bekommen haben und die
> genau das besagt:
> Ein Normalteiler einer Gruppe G ist eine Untergruppe
> [mm]H\leG,[/mm] so dass
> [mm]g^{-1}hg \in[/mm] H gilt für alle g [mm]\in[/mm] G und h [mm]\in[/mm] H
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2.) [mm]\underline{richtig}[/mm]
> da [mm]g^{-1}Hg[/mm] = H gilt, bedeutet das, dass man jedes
> Element aus H
> von links mit [mm]g^{-1}[/mm] und von rechts mit g muliplizieren
> kann
> ( also [mm]g^{-1}hg[/mm] ) und das Ergebnis H ist, also eine
> Element aus H,
> was wiederum der Definition entspricht.
> Wenn man wiederum davon
> ausgeht, dass es ein Normalteiler ist, dann gilt [mm]g^{-1}hg \in[/mm]
> H
> für alle g [mm]\in[/mm] G und alle h [mm]\in[/mm] H.
Das zeigt [mm] $g^{-1} [/mm] H g [mm] \subseteq [/mm] H$.
> Aus weiteren Unterlagen
> aus der
> Vorlesung wissen wir, dass Man die Faktorgruppe bilden
> kann, wenn
> die Untergruppe ein Normalteiler ist.
Das beantwortet nicht, warum [mm] $g^{-1} [/mm] H g = H$ ist.
> 3.) [mm]\underline{richtig}[/mm]
> hier würde ich die gleiche Begründung wie bei 2.)
> nehmen, denn ich
> man kann 2.) zu 3.) umformen
> [mm]gHg^{-1}[/mm] = [mm]g(g^{-1}Hg)g^{-1}[/mm] = H = [mm]g^{-1}Hg[/mm]
Das ist sehr verwirrend aufgeschrieben.
> 4.) [mm]\underline{richtig}[/mm]
> da aus gH = Hg Kommutativität folgt
Nein, das stimmt ganz sicher nicht! Ist $G$ irgendeine nicht-abelsche Gruppe und $H = G$, so ist $H$ ein Normalteiler in $G$ und es gilt $g H = H g$ fuer alle $g [mm] \in [/mm] G$, aber $G$ ist nicht abelsch.
Du musst hier anders vorgehen.
LG Felix
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Vielen Dank! Ja, bei 4.) ist mir später auch aufgefallen, dass ich da ein Denkfehler hatte. Und es wurde mir inzwischen erklärt.
Danke!
MfG
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