Normalteiler < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo!
ich habe hier eine Aufgabe zu Normalteilern mit einer Lösung, die ich nicht verstehe:
Aufgabe (verkürzt dargestellt):
Die Untergruppe [mm] $\mathbb [/mm] G$ der 3x3-Matrizen hat die Eigenschaft, dass eine Matrix [mm] $M\in\mathbb [/mm] G$ in jeder Zeile und Spalte genau einen von 0 verschiedenen Eintrag hat, dieser ist entweder 1 oder -1, etwa
[mm] [center]$\pmat {0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1}\in\mathbb [/mm] G$[/center]
Solch Matrix bildet die Menge der Vektoren [mm] $\{\pmat{\pm 1\\ \pm 1\\ \pm 1}\}=\{v_i\}_{i=1,\ldots,8}$ [/mm] auf sich selbst ab. Man kann [mm] $\mathbb [/mm] G$ deshalb injektiv auf die Menge [mm] $S_8$ [/mm] abbilden, [mm] $S_8$ [/mm] ist die Menge aller Permutionen von 8 Elementen (entsprichen [mm] $v_1,\ldots ,v_8$).
[/mm]
Jedoch ist Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] von [mm] $\mathbb [/mm] G$ nach [mm] $S_8$, $M\mapsto \sigma_M$ [/mm] wobei [mm] $Mv_i=v_{\sigma_M(i)}$, [/mm] nicht surjektiv, also einigen Permutationen fehlt ein Urbild.
Nun soll gezeigt werden: Die von [mm] $\sigma_C$ [/mm] mit [mm] $C=\pmat{-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1}$ [/mm] erzeugte Untergruppe $U$ ist ein Normalteiler von [mm] Bild$(\varphi)$. [/mm] Ist $U$ auch normal in der Gruppe [mm] $S_8$?
[/mm]
Das war's zur Aufgabe, tut mir leid, dass es soviel Text ist. Mir ist die Definition der Normalteiler als Untergruppe nicht klar - welche Elemente müssen alle drin sein, damit sie "normal zu [mm] $S_8$" [/mm] ist? Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Herzliche Grüße,
Lorenz
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Mo 26.07.2010 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> ich habe hier eine Aufgabe zu Normalteilern mit einer
> Lösung, die ich nicht verstehe:
>
> Aufgabe (verkürzt dargestellt):
>
> Die Untergruppe [mm]\mathbb G[/mm] der 3x3-Matrizen hat die
> Eigenschaft, dass eine Matrix [mm]M\in\mathbb G[/mm] in jeder Zeile
> und Spalte genau einen von 0 verschiedenen Eintrag hat,
> dieser ist entweder 1 oder -1, etwa
>
> [mm]\pmat {0&-1&0\\1&0&0\\0&0&1}\in\mathbb G[/mm]
>
> Solch Matrix bildet die Menge der Vektoren [mm]\{\pmat{\pm 1\\ \pm 1\\ \pm 1}\}=\{v_i\}_{i=1,\ldots,8}[/mm]
> auf sich selbst ab. Man kann [mm]\mathbb G[/mm] deshalb injektiv auf
> die Menge [mm]S_8[/mm] abbilden, [mm]S_8[/mm] ist die Menge aller Permutionen
> von 8 Elementen (entsprichen [mm]v_1,\ldots ,v_8[/mm]).
> Jedoch ist
> Abbildung [mm]\varphi[/mm] von [mm]\mathbb G[/mm] nach [mm]S_8[/mm], [mm]M\mapsto \sigma_M[/mm]
> wobei [mm]Mv_i=v_{\sigma_M(i)}[/mm], nicht surjektiv, also einigen
> Permutationen fehlt ein Urbild.
>
> Nun soll gezeigt werden: Die von [mm]\sigma_C[/mm] mit
> [mm]C=\pmat{-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1}[/mm] erzeugte Untergruppe [mm]U[/mm] ist
> ein Normalteiler von Bild[mm](\varphi)[/mm]. Ist [mm]U[/mm] auch normal in
> der Gruppe [mm]S_8[/mm]?
>
> Das war's zur Aufgabe, tut mir leid, dass es soviel Text
> ist. Mir ist die Definition der Normalteiler als
> Untergruppe nicht klar - welche Elemente müssen alle drin
> sein, damit sie "normal zu [mm]S_8[/mm]" ist? Wäre sehr dankbar
> für Hilfe!
Dann solltest du dir auf jeden Fall erstmal die/eine Definition von Normalteiler zu Gemüte führen. Das steht in dieser oder jener Form in jedem Algebra-Lehrbuch und gehört zum Basiswissen.
Danach könntest du dir verklaren, daß dein [mm] \varphi [/mm] ein Isomorphismus zwischen [mm] \IG [/mm] und dem Bild von [mm] \varphi [/mm] (= [mm] Im($\varphi$)) [/mm] ist. Also kannst du die NT-Eigenschaft zunächst statt auf der Bildseite auch auf der Urbildseite untersuchen.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter,
herzlichen Dank für Deine schnelle Antwort!
Also was ein Normalteiler ist, das meine ich (eigentlich..) zu wissen, (Fall [mm] $(S_8,\,\cdot$) [/mm] nämlich eine Untergruppe von [mm] $S_8$, [/mm] deren Elemente mit allen Elementen von [mm] $S_8$ [/mm] kommutieren.
Mein Problem ist konkret:
Meiner Ansicht nach ist [mm] $U=\{\varphi(\I1),\varphi(C)\}$ [/mm] sehr wohl eine Gruppe in [mm] $S_8$, [/mm] da abgeschlossen: [mm] $\varphi(C)\circ \varphi(C)=\I1\circ\I1=\I1$. [/mm] In der Aufgabenlösung, wird jedoch als Problem aufgeführt, dass es in [mm] $S_8$ [/mm] noch weitere konjugierte Elemente gebe, nämlich alle mit 4 Zyklen der Länge 2, wie z.B. [mm] $\sigma=(18)(27)(34)(56)$, [/mm] jedoch [mm] $\sigma\notin [/mm] U$ und deshalb sei U nicht normal in [mm] $S_8$. [/mm] Bedeutet also "normal" sein, etwas anderes als "Normalteiler" zu sein? Wenn ja was?
Bin weiterhin an Antworten interessiert und werde deshalb den Status wieder auf unbeantwortet schalten, trotzdem danke an Dieter fürs erste.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Do 29.07.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Also was ein Normalteiler ist, das meine ich (eigentlich..)
> zu wissen, (Fall [mm](S_8,\,\cdot[/mm]) nämlich eine Untergruppe
> von [mm]S_8[/mm], deren Elemente mit allen Elementen von [mm]S_8[/mm]
> kommutieren.
Das ist so zumindest mißverständlich ausgedrückt. Was du beschreibst, ist das Zentrum, das übrigens auch ein NT ist. Ein NT kommutiert als Ganzes mit den Elementen der Obergruppe, ist also als Ganzes invariant unter inneren Automorphismen.
> Mein Problem ist konkret:
> Meiner Ansicht nach ist [mm]U=\{\varphi(\I1),\varphi(C)\}[/mm] sehr
> wohl eine Gruppe in [mm]S_8[/mm], da abgeschlossen: [mm]\varphi(C)\circ \varphi(C)=\I1\circ\I1=\I1[/mm].
> In der Aufgabenlösung, wird jedoch als Problem
> aufgeführt, dass es in [mm]S_8[/mm] noch weitere konjugierte
> Elemente gebe, nämlich alle mit 4 Zyklen der Länge 2, wie
> z.B. [mm]\sigma=(18)(27)(34)(56)[/mm], jedoch [mm]\sigma\notin U[/mm] und
> deshalb sei U nicht normal in [mm]S_8[/mm]. Bedeutet also "normal"
> sein, etwas anderes als "Normalteiler" zu sein? Wenn ja
> was?
Du müßtest jetzt klären: Wie sieht [mm] \varphi(C) [/mm] aus? Es vertauscht je 2 Elemente miteinander, hat also genau die Form von [mm] \sigma, [/mm] aber je nach Numerierung evtl. mit anderen Zahlen. Und dann mußt du einfach wissen, wie in Permutationsgruppen konjugierte Elemente aussehen. Das kann man an der Zykel-Schreibweise erkennen. Auf jeden Fall sind [mm] \sigma [/mm] und [mm] $\varphi(C)$ [/mm] konjugiert und haben beide die Ordnung 2, erzeugen also 2 verschiedene konjugierte Untergruppen. Aber dann können diese beiden U-Gruppen keine Normalteiler sein.
Die Normalteiler der Permutationsgruppen sind übrigens bekannt. [mm] A_8 [/mm] z. B. ist einfach.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter,
Danke für die weitere, ausführliche Antwort.
Aber irgendwie versteh ich das nicht. Ich soll untersuchen, ob die von $C$ erzeugte Untergruppe ein Normalteiler $N [mm] \in\,S_8$ [/mm] ist. Dazu hab ich mir die Definition eines $N$ rausgekramt:
1) $N$ ist eine Untergruppe.
2) Es gilt [mm] $\forall\,g\in S_8$:\quad [/mm] Ng=gN$
Zweiteres hatte ich tatsächlich falsch verstanden (was Du mit "missverständlich" angemerkt hast, aber jetzt ist mir der Unterschied klar - durch Betrachtung von [mm] $N=S_8$). [/mm]
Dass außer es [mm] $\varphi(C)$ [/mm] und $1$ (zu $C$ siehe Anfangspost zu diesem Thema) noch weitere konjugierte Elemente gibt, ist mir klar und dass deren Zykelschreibweise von der Form $(ab)(cd)(ef)(gh)$ ist, kann ich auch nachvollziehen. Dennoch sind dies in meinen Augen alles keine Argumente, dass [mm] $U=\{\varphi(C), 1\}$ [/mm] die Punkte 1) oder 2) verletzt.
Was lasse ich hier außer acht?
Bitte um Erlösung...
|
|
|
| |
|
Hallo Lorenz,
trotz der Gefahr Dieter zu wiederholen, oder Dir Dinge zu erklären, die Du schon verstanden hast, hoffe ich doch mit Folgendem Deine Unklarheiten zu beseitigen:
Zuerst ganz allgemein:
$K,L,H$ seien Gruppen und [mm] $\leq$ [/mm] steht für "'ist Untergruppe von"'. Sei $K [mm] \leq [/mm] L [mm] \leq [/mm] H$, dann kann $K$ normal in $L$ sein, ohne normal in $H$ zu sein!
Es ist $U := [mm] \varphi (\left\langle C \right\rangle) [/mm] = [mm] \{\varphi (C), 1\}$ [/mm] normal in [mm] $\varphi (\mathbb{G})$, [/mm] da [mm] $\left\langle C \right\rangle$ [/mm] normal in [mm] $\mathbb{G}$ [/mm] ist, aber [mm] $\varphi (\left\langle C \right\rangle)$ [/mm] ist nicht normal in [mm] $S_8$, [/mm] da [mm] \textbf{nicht} [/mm] gilt: [mm] $\forall [/mm] s [mm] \in S_8: s\varphi (\left\langle C \right\rangle) [/mm] = [mm] \varphi (\left\langle C \right\rangle)s$! [/mm]
Um das zu beweisen, genügt es ein Element [mm] $\tau \in S_8$ [/mm] zu finden mit [mm] $\tau\varphi(C) \tau^{-1} \notin \varphi (\left\langle C \right\rangle)$, [/mm] da dann auch [mm] $\tau \varphi( \left\langle C \right\rangle) \neq \varphi (\left\langle C \right\rangle) \tau$ [/mm] gilt!
Der Hinweis in der Aufgabenlösung besagt, dass es konjugierte Elemente [mm] $\tau\varphi(C) \tau^{-1} \notin \varphi (\left\langle C \right\rangle)$ [/mm] gibt.
Das ist leicht zu sehen, da [mm] $\varphi(C) [/mm] = (12)(34)(56)(78)$ (bei entsprechender Wahl der Indizierung) ist und [mm] $\sigma [/mm] = (18)(27)(34)(56)$ ein konjugiertes Element von [mm] $\varphi(C)$ [/mm] ist!
(Man darf natürlich [mm] \textbf{nicht} [/mm] $ N [mm] \in\,S_8 [/mm] $ schreiben, da $N$ eine Teilmenge von [mm] $S_8$ [/mm] ist. )
Gruß mathfunnel
|
|
|
| |
|
Hallo Dieter und mathfunnel,
danke! Jetzt ist endlich der Groschen gefallen, wenn zwei Elemente [mm] $\sigma_1,\,\sigma_2\in S_8$ [/mm] zueinander konjugiert sind - und dies sind alle Elemente mit gleicher Zykel-Form (m Stück k-Zykel), so gibt es ein Element ein Element [mm] $\tilde{\sigma}\in S_8$, [/mm] so dass [mm] $\tilde{\sigma}\sigma_1\tilde{\sigma}^{-1}=\sigma_2$. [/mm] Enthält $U$ nur [mm] $\sigma_1$($\neq\sigma_2$) [/mm] der Konjugationsklasse, so kann $U$ kein NT sein, da gelten muss [mm] $\tilde{\sigma}\sigma_1\tilde{\sigma}^{-1}\in$ [/mm] NT. Richtig?
Beste Grüße,
Lorenz
|
|
|
|
