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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 So 24.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hallo zusammen,
Und zwar habe ich eine Menge X gegeben und Y sei eine Teilmenge von X. G eine Gruppe und [mm] G^X [/mm] die Grupper der G-wertigen Abbildungen auf X. Sei N:={f [mm] \in G^x [/mm] : f(y) = e [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y}
Zu zeigen ist nun, dass N Normalteiler in [mm] G^X [/mm] ist und dass [mm] G^X/N [/mm] isomorph zu [mm] G^Y [/mm] ist.
Mein Ansatz ist nun der:
Ich möchte zeigen, dass N Normalteiler in [mm] G^X [/mm] ist also weiß ich dass die Rechts und Linknebenklassen für alle f [mm] \in G^X [/mm] übereinstimmen müssen. Das also gelten muss: f N [mm] f^{-1} [/mm] = N für alle f [mm] \in G^X [/mm] Um das zu zeigen nehme ich ein g [mm] \in [/mm] N und folgere dann das dieses auch in f N [mm] f^{-1} [/mm] ist. Stimmt das soweit? Und wenn ja gilt dann auch auch wenn g [mm] \in [/mm] N, dass g(y) = e [mm] \forall [/mm] y [mm] \in [/mm] Y? Der Isomorphismus folgt doch sofort aus dem Homomorphiesatz, oder?
Viele Grüße
jacob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 So 24.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin jacob!
> Hallo zusammen,
> Und zwar habe ich eine Menge X gegeben und Y sei eine
> Teilmenge von X. G eine Gruppe und [mm]G^X[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
die Grupper der
> G-wertigen Abbildungen auf X. Sei N:={f [mm]\in G^x[/mm] : f(y) = e
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Y}
> Zu zeigen ist nun, dass N Normalteiler in [mm]G^X[/mm] ist und dass
> [mm]G^X/N[/mm] isomorph zu [mm]G^Y[/mm] ist.
> Mein Ansatz ist nun der:
> Ich möchte zeigen, dass N Normalteiler in [mm]G^X[/mm] ist also
> weiß ich dass die Rechts und Linknebenklassen für alle f
> [mm]\in G^X[/mm] übereinstimmen müssen. Das also gelten muss: f N
> [mm]f^{-1}[/mm] = N für alle f [mm]\in G^X[/mm] Um das zu zeigen nehme ich
> ein g [mm]\in[/mm] N und folgere dann das dieses auch in f N [mm]f^{-1}[/mm]
> ist. Stimmt das soweit?
Ich wuerde eher $g [mm] \in [/mm] N$ nehmen und zeigen, dass $f g [mm] f^{-1}$ [/mm] in $N$ liegt.
> Und wenn ja gilt dann auch auch
> wenn g [mm]\in[/mm] N, dass g(y) = e [mm]\forall[/mm] y [mm]\in[/mm] Y?
Das ist doch gerade dazu aequivalent, dass $g [mm] \in [/mm] N$ ist.
> Der Isomorphismus folgt doch sofort aus dem Homomorphiesatz, oder?
Nun, dazu brauchst du noch einen Homomorphismus.
Es geht insgesamt einfacher: konstruiere einen surjektiven Gruppenhomomorphismus [mm] $G^X \to G^Y$, [/mm] dessen Kern gerade die Menge $N$ ist. Dann folgt alles, was du zeigen willst.
Wie koennte ein solcher Gruppenhomomorphismus aussehen? (Tipp: er ist ganz einfach.)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:53 So 24.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Man kann es also auch so zeigen. Ok reicht es um einen surjektiven Gruppenhomomorphismus zu konstruieren schon aus zu zeigen, dass [mm] G^X [/mm] zyklisch ist?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:03 So 24.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Also könnte ich das wie folgt aufbauen:
1) Man zeigt dass N Normalteiler in G ist indem ich ein Element g [mm] \in [/mm] N betrachte und zeige das auch [mm] fgf^{-1} \in [/mm] N für beliebiges f [mm] \in G^X [/mm]
2) Ist zu zeigen, dass [mm] \pi: G^X \to G^Y [/mm] ein Gruppenhomomorphismus ist
und 3) dass N [mm] \subset [/mm] ker [mm] \pi [/mm]
Würde das so ausreichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:13 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Also könnte ich das wie folgt aufbauen:
> 1) Man zeigt dass N Normalteiler in G ist indem ich ein
> Element g [mm]\in[/mm] N betrachte und zeige das auch [mm]fgf^{-1} \in[/mm] N
> für beliebiges f [mm]\in G^X[/mm]
Ja, das geht.
> 2) Ist zu zeigen, dass [mm]\pi: G^X \to G^Y[/mm] ein
> Gruppenhomomorphismus ist
Was ist [mm] $\pi$? [/mm] Du musst erstmal [mm] $\pi$ [/mm] konstruieren. Dann kannst du zeigen, dass es ein Homomorphismus ist.
> und 3) dass N [mm]\subset[/mm] ker [mm]\pi[/mm]
Nein! Du musst $N = [mm] \ker \pi$ [/mm] zeigen! Nicht Teilmenge!
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:12 Mo 25.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man kann es also auch so zeigen. Ok reicht es um einen
> surjektiven Gruppenhomomorphismus zu konstruieren schon aus
> zu zeigen, dass [mm]G^X[/mm] zyklisch ist?
[mm] $G^X$ [/mm] ist in den allerseltesten Faellen zyklisch.
Du kannst einen surjektiven Gruppenhomomorphismus sehr explizit hinschreiben, und sehr allgemein, ohne etwas ueber $G$, $X$ und $Y$ zu wissen -- ausser, dass $Y$ eine Teilmenge von $X$ ist.
Probier doch mal ein wenig herum...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Di 26.10.2010 | | Autor: | jacob17 |
Hab' jetzt noch mal überlegt und hab' erst an Homomorphiesätze gedacht dann daran wie die Einschränkung von X auf Y nach G aussieht und ob die Abbildungen von X nach G surjektiv sind. Komm' aber nicht darauf wie man die Surjektivität von [mm] G^x \to G^y [/mm] zeigen könnte. Du meintest es wäre nur relevant dass Y eine Teilmenge von X ist unabhängig davon was Y ist. N ist doch die Menge der neutralen Elemente der g wertigen Abbildungen auf X oder? Was wär' dann Y genau? Sind dann alle Elemente von Y im Kern der Abbildung [mm] \tau:X \to [/mm] G? Gibt es dann nicht irgendeinen Faktorisierungssatz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:28 Mi 27.10.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Hab' jetzt noch mal überlegt und hab' erst an
> Homomorphiesätze gedacht dann daran wie die Einschränkung
> von X auf Y nach G aussieht und ob die Abbildungen von X
> nach G surjektiv sind. Komm' aber nicht darauf wie man die
> Surjektivität von [mm]G^x \to G^y[/mm] zeigen könnte.
Wie sieht denn deine Abbidung [mm] $G^X \to G^Y$ [/mm] aus? Hast du ueberhaupt eine?
Versuch doch mal was ganz einfaches. So eine Abbildung muss aus einer Abbildung $X [mm] \to [/mm] G$ eine Abbildung $Y [mm] \to [/mm] G$ machen. Hast du irgendeine Idee, wie man eine solche Abbildung definieren koennte?
> Du meintest
> es wäre nur relevant dass Y eine Teilmenge von X ist
> unabhängig davon was Y ist. N ist doch die Menge der
> neutralen Elemente der g wertigen Abbildungen auf X oder?
Nein, $N$ ist etwas anderes.
> Was wär' dann Y genau? Sind dann alle Elemente von Y im
> Kern der Abbildung [mm]\tau:X \to[/mm] G? Gibt es dann nicht
> irgendeinen Faktorisierungssatz?
Du denkst ueber die falschen Abbildungen nach scheint's mir. Es geht nicht um Abbildungen $X [mm] \to [/mm] G$ oder $Y [mm] \to [/mm] G$, die irgendwas tun muessen, sondern um eine Abbildung [mm] $G^X \to G^Y$. [/mm] Eine solche Abbildung bildet Abbildungen auf Abbildungen ab.
LG Felix
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