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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:41 Mo 15.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo allesamt,
wir haben heute in der Übung eine Aufgabe zu Normalteilern gemacht.
Es seien (G,o) eine endliche Gruppe, H [mm] \subseteq [/mm] G eine beliebige Untergruppe und x [mm] \in [/mm] G.
Ferner gilt: |H| = |x o H o [mm] x^{-1}|
[/mm]
Zeigen Sie:
Ist |H| = k und |G| = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.
Nun haben wir heute die Lösung besprochen, und sie lautete wie folgt:
z.Z.: xH = Hx
Für x [mm] \in [/mm] H: H = xH = Hx
Für x [mm] \in [/mm] G \ H : xH = Hx
Definiere Äquivalenzrelation
x ~ y [mm] \gdw x^{-1} [/mm] o y [mm] \in [/mm] H ( [mm] \gdw [/mm] y [mm] \in [/mm] xH)
x ~' y [mm] \gdw [/mm] x o [mm] y^{-1} \in [/mm] H ( [mm] \gdw [/mm] x [mm] \in [/mm] Hy)
Mit Ä-Klassen {xH | x [mm] \in [/mm] G} bzw {Hx | x [mm] \in [/mm] G} bzgl. ~ bzw ~'
Wegen |H| = |G|/2 gibt es JEWEILS genau 2 Ä-Klassen, nämlich H = xH = Hx für alle x [mm] \in [/mm] H
und G \ H = xH = Hx für alle x [mm] \in [/mm] G \ H
Der Ü-Leiter hat es versucht zu erklären, aber so richtig verstanden habe ich es noch nicht. Weshalb wurden jetzt die Ä-Relationen definiert? Ä-Relationen teilen ja die Menge auf in Ä-Klassen. Nun habe ich zwei Ä-Klassen xH und Hx, aber wie komme ich durch die Tatsache, dass |G| = 2 |H| darauf, dass es JEWEILS genau 2 Ä-Klassen gibt (also irgendwie 4)? Sind denn meine einzigen Ä-Klassen nicht die zwei, die ich oben definiert habe? Und wie schließe ich jetzt daraus auf die Gleichheit von xH und Hx?
Vielen Dank für Erklärungen im Voraus,
vivi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:20 Di 16.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin vivi!
> wir haben heute in der Übung eine Aufgabe zu Normalteilern
> gemacht.
>
> Es seien (G,o) eine endliche Gruppe, H [mm]\subseteq[/mm] G eine
> beliebige Untergruppe und x [mm]\in[/mm] G.
> Ferner gilt: |H| = |x o H o [mm]x^{-1}|[/mm]
>
> Zeigen Sie:
> Ist |H| = k und |G| = 2k, so ist H ein Normalteiler in G.
>
> Nun haben wir heute die Lösung besprochen, und sie lautete
> wie folgt:
> z.Z.: xH = Hx
>
> Für x [mm]\in[/mm] H: H = xH = Hx
> Für x [mm]\in[/mm] G \ H : xH = Hx
Das ist zu zeigen. Wenn du $x H = H x$ in beiden Faellen hast, bist du fertig.
> Definiere Äquivalenzrelation
> x ~ y [mm]\gdw x^{-1}[/mm] o y [mm]\in[/mm] H ( [mm]\gdw[/mm] y [mm]\in[/mm] xH)
> x ~' y [mm]\gdw[/mm] x o [mm]y^{-1} \in[/mm] H ( [mm]\gdw[/mm] x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hy)
>
> Mit Ä-Klassen {xH | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} bzw {Hx | x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} bzgl. ~
> bzw ~'
> Wegen |H| = |G|/2 gibt es JEWEILS genau 2 Ä-Klassen,
> nämlich H = xH = Hx für alle x [mm]\in[/mm] H
> und G \ H = xH = Hx für alle x [mm]\in[/mm] G \ H
Genau.
> Der Ü-Leiter hat es versucht zu erklären, aber so richtig
> verstanden habe ich es noch nicht. Weshalb wurden jetzt die
> Ä-Relationen definiert? Ä-Relationen teilen ja die Menge
> auf in Ä-Klassen. Nun habe ich zwei Ä-Klassen xH und Hx,
> aber wie komme ich durch die Tatsache, dass |G| = 2 |H|
> darauf, dass es JEWEILS genau 2 Ä-Klassen gibt (also
> irgendwie 4)?
Das ist der Satz von Lagrange: die Aequivalenzklassen sind gerade die Links- bzw. Rechtsnebenklassen. Und Lagrange sagt, dass es genau $[G : H] = [mm] \frac{|G|}{|H|}$ [/mm] Links- bzw. Rechtsnebenklassen gibt. Und das ist hier [mm] $\frac{2 k}{k} [/mm] = 2$.
> Sind denn meine einzigen Ä-Klassen nicht die
> zwei, die ich oben definiert habe? Und wie schließe ich
> jetzt daraus auf die Gleichheit von xH und Hx?
Nun, $x H$ ist entweder gleich $H$ oder gleich $G [mm] \setminus [/mm] H$. Das gleiche gilt fuer $H x$.
Und $x H = H$ genau dann wenn $x [mm] \in [/mm] H$ genau dann wenn $H x = H$.
Daraus folgt: $x H = H x$ fuer alle $x$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 Di 16.11.2010 | | Autor: | vivi |
Hallo Felix, vielen Dank für die Antwort! :)
Ich habe jedoch noch einige Rückfragen, die jetzt vielleicht etwas dumm klingen mögen, aber im Moment kann ich absolut nichts mit Gruppen und Normalteilern anfangen xD
1) Heißt das, dass ich diese Ä-Relationen definiere, um xH und Hx erstmal zu erhalten, sodass ich später die Gleichheit zeigen kann? Und da xH verknüpft entweder in H oder eben außerhalb von H in G landen kann und Hx verknüpft auch, sind beide gleich?
2) Und zu dem Satz von Lagrange: Sagt der Index also aus, dass es insgesamt nur die 2 Nebenklassen xH und Hx gibt, die ich oben durch die Ä-Relation definiert habe? Kann es theoretisch auch sein, dass es 2 Ä-Klassen gibt, die nicht dieselbe Menge darstellen oder muss dann der Index anders sein? Und was kann man sich unter den Nebenklassen vorstellen, Mengen oder Gruppen? Weil xH kann ja H oder G \ H sein, H ist aber eine Untergruppe und G \ H eine Menge?
Nochmals danke für die Hilfe,
vivi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:26 Do 18.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin vivi!
> 1) Heißt das, dass ich diese Ä-Relationen definiere, um
> xH und Hx erstmal zu erhalten, sodass ich später die
> Gleichheit zeigen kann?
Nein. Die Aequivalenzrelation wird definiert, um deutlicher zu machen, dass zwei Nebenklassen entweder gleich oder disjunkt ist. (Das ist eine typische Eigenschaft von Aequivalenzklassen.)
Die Nebenklassen $x H$ und $H x$ werden einfach durch Multiplikation definiert.
> Und da xH verknüpft entweder in H
> oder eben außerhalb von H in G landen kann und Hx
> verknüpft auch, sind beide gleich?
Hier brauchst du noch mehr: naemlich, dass es genau zwei Aequivalenzklassen gibt. Die eine Klasse ist $H$ selber. Die andere muss somit $G [mm] \setminus [/mm] H$ sein.
Damit ist $x H$ endweder $H$ oder $G [mm] \setminus [/mm] H$, und das geiche gilt fuer $H x$.
> 2) Und zu dem Satz von Lagrange: Sagt der Index also aus,
> dass es insgesamt nur die 2 Nebenklassen xH und Hx gibt,
> die ich oben durch die Ä-Relation definiert habe?
Er sagt aus, dass [mm] $\{ xH \mid x \in G \}$ [/mm] aus genau zwei Elementen besteht. (Diese muessen $H$ und $G [mm] \setminus [/mm] H$ sein.)
Und ebenso sagt er aus, dass [mm] $\{ H x \mid x \in G \}$ [/mm] aus genau zwei Elementen besteht. (Welche wiederum $H$ und $G [mm] \setminus [/mm] H$ sein muessen.)
> Kann es
> theoretisch auch sein, dass es 2 Ä-Klassen gibt, die nicht
> dieselbe Menge darstellen oder muss dann der Index anders
> sein?
Was meinst du damit?
> Und was kann man sich unter den Nebenklassen
> vorstellen, Mengen oder Gruppen? Weil xH kann ja H oder G \
> H sein, H ist aber eine Untergruppe und G \ H eine Menge?
Eine Nebenklasse ist eine "verschobene" Untergruppe.
Am einfachsten ist es, wenn du dir die Gruppe $G = [mm] \IR^2$ [/mm] mit der Addition anschaust. Sei $H$ eine Linie durch den Ursprung; dann ist $H$ eine Untergruppe von $G$ (sogar ein Normalteiler).
Die Nebenklassen sind $v + H$ mit $v [mm] \in [/mm] G$: das ist gerade die Linie $H$ verschoben um den Vektor $v$.
Du siehst hier auch sofort, dass verschiedene Vektoren die gleiche Verschiebung liefern koennen.
Und weiterhin siehst du, dass jeder Punkt in $G$ zu genau einer Nebenkasse $v + H$ (also verschobener Gerade) gehoert. Anders gesagt: zu jedem Punkt $v$ gibt es genau eine parallele Gerade zu $H$, welche durch diesen Punkt geht. Und diese ist gerade $v + H$.
Vielleicht macht es das ein wenig deutlicher...
LG Felix
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