Normalteiler, Zentrum < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich habe ein verständnisproblem bei diesen beiden Begriffen.
Also: Sei G eine Gruppe.
Z = {x [mm] \in [/mm] G: xs = sx für alle s [mm] \in [/mm] G} Zentrum
N : aN = Na für alle a [mm] \in [/mm] G, wobei N eine Untergruppe ist.
Für mich besteht kaum ein Unterschied. Gut, bei dem Normalteiler habe ich immer eine Untergruppe N, beim Zentrum nicht, aber, ist so nicht grundsätzlich jeder Normalteiler im Zentrum enthalten? Irgendowo habe ich allerdings einen Satz, dass nur wenn die Ordnung von N = 2 ist, dieses wirklich in Z enthalten ist... versteh ich nicht.
Könnte jemand versuchen, mir die beiden Begriffe etwas zu verdeutlichen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:18 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Anja!
> Ich habe ein verständnisproblem bei diesen beiden
> Begriffen.
> Also: Sei G eine Gruppe.
>
> Z = {x [mm]\in[/mm] G: xs = sx für alle s [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} Zentrum
> N : aN = Na für alle a [mm]\in[/mm] G, wobei N eine Untergruppe
> ist.
>
> Für mich besteht kaum ein Unterschied. Gut, bei dem
> Normalteiler habe ich immer eine Untergruppe N, beim
> Zentrum nicht, aber, ist so nicht grundsätzlich jeder
> Normalteiler im Zentrum enthalten? Irgendowo habe ich
> allerdings einen Satz, dass nur wenn die Ordnung von N = 2
> ist, dieses wirklich in Z enthalten ist... versteh ich
> nicht.
>
> Könnte jemand versuchen, mir die beiden Begriffe etwas zu
> verdeutlichen?
Beim Zentrum ist die Vertauschbarkeit elementweise gegeben, bei einem Normalteiler müssen die Mengen gleich sein, die Elemente können sozusagen in anderer Reihenfolge auftauchen. Das Zentrum ist deswegen immer ein Normalteiler!
Such mal das Zentrum der [mm] S_{3} [/mm] ...und dann einen NT [mm] (A_{3} [/mm] ist einer)
Klarer?
Gruß aus HH_Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:32 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ja, ich glaub schon klarer. Also, sagen wir ich habe einen Normalteiler der Ordnung 2 (warum haben wir eigentlich in der Vorlesung andauernd Sätze ohne Beweise??? ). Dann gibt es wohl zumindest folgende Möglichkeiten:
1. für alle a [mm] \in [/mm] G gilt [mm] an_1 [/mm] = n_1a und [mm] an_2 [/mm] = n_2a Daraus würde dann direkt folgen, dass N = [mm] {n_1, n_2} [/mm] im Zentrum ist.
2. für alle a [mm] \in [/mm] G gilt [mm] an_1 [/mm] = n_2a und [mm] an_2 [/mm] = n_1a Hieraus würde nicht folgen, dass N im Zentrum liegt. Also müsste ich wahrscheinlich zum Wierspruch führen, dass dieses eine Untergruppe wäre.
Ist das so richtig? Oder missachte ich hier, dass es ja auch noch die Elemente aus G gibt? Ich folglich also auch etwas deart haben könnte: [mm] a_1n_1 [/mm] = [mm] a_2n_2 [/mm] usw.? Eigentlich müsste das auch gehen.... nur wie könnte ich den Satz dann beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:39 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Ich hab nicht beachtet, dass jede Untergruppe das Neutralelement der Gruppe enthalten muss.....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mo 13.03.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Anja!
> Ja, ich glaub schon klarer. Also, sagen wir ich habe einen
> Normalteiler der Ordnung 2 (warum haben wir eigentlich in
> der Vorlesung andauernd Sätze ohne Beweise??? ). Dann gibt
> es wohl zumindest folgende Möglichkeiten:
>
> 1. für alle a [mm]\in[/mm] G gilt [mm]an_1[/mm] = n_1a und [mm]an_2[/mm] = n_2a
> Daraus würde dann direkt folgen, dass N = [mm]{n_1, n_2}[/mm] im
> Zentrum ist.
Normalteiler sind per definitionem Untergruppen und enthalten daher das neutrale Element e, das immer mit allen Gruppenelementen vertauschbar ist.
> 2. für alle a [mm]\in[/mm] G gilt [mm]an_1[/mm] = n_2a und [mm]an_2[/mm] = n_1a
> Hieraus würde nicht folgen, dass N im Zentrum liegt. Also
> müsste ich wahrscheinlich zum Wierspruch führen, dass
> dieses eine Untergruppe wäre.
Das kann nach dem oben Gesagten gar nicht sein.
> Ist das so richtig? Oder missachte ich hier, dass es ja
> auch noch die Elemente aus G gibt? Ich folglich also auch
> etwas deart haben könnte: [mm]a_1n_1[/mm] = [mm]a_2n_2[/mm] usw.? Eigentlich
> müsste das auch gehen....
Nee, das kann bei einem NT der Ordnung 2 nicht sein! Hier kann ich dir nicht folgen.
> nur wie könnte ich den Satz dann beweisen?
Welchen Satz?
Gruß Dieter
PS: Du hast mich zwischenzeitlich überholt  !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:47 Mo 13.03.2006 | | Autor: | cycilia |
Hab dann ja auch das mit dem Neutralelement gesehen. Ist jetzt klar. Ich hatte halt bloss erst die Schwierigkeit mit der Definition! DANKE
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