Normalteiler in G, ord G = 36 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Jede Gruppe [mm] $G\:$ [/mm] der Ordnung 36 besitzt einen nichttrivialen Normalteiler.
(Hinweis: Betrachte die Aktion von [mm] $G\:$ [/mm] auf der Menge [mm] $Syl_3(G)$ [/mm] der 3-Sylowgruppen in [mm] $G\:$) [/mm] |
Hallo,
ich komme bei der Aufgabe leider nicht weiter.
Es ist $36 = [mm] 2^2 \cdot 3^2$. [/mm] Sei [mm] $s_p$ [/mm] die Anzahl der p-Sylowgruppen in [mm] $G\:$, [/mm] $p [mm] \in \{2,3\}$.
[/mm]
Da [mm] $s_3 \:|\: [/mm] 36$ und [mm] $s_3 \equiv [/mm] 1 [mm] \:mod\: [/mm] 3$ gilt: [mm] $s_3 \in \{1,4\}$
[/mm]
Nun versuche ich den Hinweis zu verwerten: mit der Aktion von [mm] $G\:$ [/mm] auf [mm] $Syl_3(G)$ [/mm] ist, dachte ich, die Konjugationsoperation gemeint: $G [mm] \times Syl_3(G) \to Syl_3(G), [/mm] (g,S) [mm] \mapsto gSg^{-1}$
[/mm]
Dies ist wohldefiniert, da nach dem zweiten Sylowsatz eine zu einer p-Sylowgruppe konjugierte Untergruppe sets wieder ein p-Sylowgruppe ist. Das durch die Vorschrift eine Operation auf [mm] $Syl_3(G)$ [/mm] definiert ist, ist klar. Betrachten wir nun die Bahn [mm] $G(S)\:$ [/mm] einer 3-Sylowgruppe [mm] $S\:$ [/mm] unter der definierten Operation, so müssen alle 3-Sylowgruppen in dieser Bahn liegen, da sie alle zu [mm] $S\:$ [/mm] konjugiert sind.
Ich habe nun versucht die Ordnung der Bahn mit [mm] $ord\: [/mm] G(S) = [mm] (G:G_S), G_S [/mm] = [mm] \{g \in G \:|\: gSg^{-1}=S\}$ [/mm] zu bestimmen, komme aber da nicht weiter.
Wie muss ich vorgehen?
(Edit: Die folgende Idee ist leider falsch.)
Eine Idee hätte ich noch, bei der ich den Hinweis nicht verwende: Gibt es nur eine 3-Sylowgruppe [mm] $S\:$, [/mm] so ist diese bereits Normalteiler, da sie als Gruppe der Ordnung [mm] $3^2$ [/mm] zyklisch ist. Läge das Bild eines Elements $s [mm] \in [/mm] S$ unter Konjugation mit $g [mm] \in [/mm] G$ nicht in [mm] $S\:$ [/mm] so wäre dieses (als Element, dessen Ordnung [mm] $3^2$ [/mm] teilt) in einer weiteren 3-Sylowgruppe enthalten, was nicht sein kann, also [mm] $gSg^{-1} \in [/mm] S [mm] \:\:\forall\: [/mm] g [mm] \in [/mm] G$.
Ist aber [mm] $s_3 [/mm] = 4$, so kann es nur eine 2-Sylowgruppe geben, da die 4 3-Sylowgruppen bereits 32 Elemente mit Ordnund 3 oder 9 enthalten, die alle nicht in einer 2-Sylowgruppe enthalten sein können. Die einzige 2-Sylowgruppe ist dann wiederum nichttrivialer Normalteiler.
Stimmt dieser Beweis?
Vielen Dank für eure Unterstützung!
LG Lippel
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Hallo Lippel,
> Eine Idee hätte ich noch, bei der ich den Hinweis nicht
> verwende: Gibt es nur eine 3-Sylowgruppe [mm]S\:[/mm], so ist diese
> bereits Normalteiler, da sie als Gruppe der Ordnung [mm]3^2[/mm]
> zyklisch ist.
Ist das wirklich so? Ich dachte nur Gruppen der Ordnung p = prim wären pauschal als zyklisch verkaufbar.
Könnte die Gruppe nicht nur aus Elementen der Ordnung 3 bestehen?
> Ist aber [mm]s_3 = 4[/mm], so kann es nur eine 2-Sylowgruppe geben,
> da die 4 3-Sylowgruppen bereits 32 Elemente mit Ordnund 3
> oder 9 enthalten, die alle nicht in einer 2-Sylowgruppe
> enthalten sein können.
Meinst du, das geht? Schließlich bestehen die 3-Sylow-Gruppen doch aus 9 Elementen, da könnte es doch Überschneidungen geben(?)
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:18 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Morgen Stefan,
danke für deine Hiweise.
> > Eine Idee hätte ich noch, bei der ich den Hinweis nicht
> > verwende: Gibt es nur eine 3-Sylowgruppe [mm]S\:[/mm], so ist diese
> > bereits Normalteiler, da sie als Gruppe der Ordnung [mm]3^2[/mm]
> > zyklisch ist.
>
> Ist das wirklich so? Ich dachte nur Gruppen der Ordnung p =
> prim wären pauschal als zyklisch verkaufbar.
> Könnte die Gruppe nicht nur aus Elementen der Ordnung 3
> bestehen?
Du hast recht, [mm] $\IZ/3\IZ \times \IZ/3\IZ$ [/mm] wäre ja schon ein Gegenbeispiel. Da gibt es kein Element der Ordnung 9. Gruppen der Ordnung [mm] $p^2$ [/mm] sind abelsch, aber nicht notwendig zyklisch. Da habe ich was durcheinander gebracht.
> > Ist aber [mm]s_3 = 4[/mm], so kann es nur eine 2-Sylowgruppe geben,
> > da die 4 3-Sylowgruppen bereits 32 Elemente mit Ordnund 3
> > oder 9 enthalten, die alle nicht in einer 2-Sylowgruppe
> > enthalten sein können.
>
> Meinst du, das geht? Schließlich bestehen die
> 3-Sylow-Gruppen doch aus 9 Elementen, da könnte es doch
> Überschneidungen geben(?)
Nein, das geht nicht mehr, wenn die 3-Sylowgruppen nicht zyklisch sind. Damit wäre die Idee wohl falsch 
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:05 Fr 18.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> Wie muss ich vorgehen?
So als Tip: Betrachte [m]G\to Sym(Saylo_3(G))\cong S(4),g\mapsto g S g^{-1}[/m], will sagen: der Gruppenhom. der in die symmterische Perumtationsgruppe mit 4 Elementen geht, der, der die Sylogruppen durch Konjugation vertauscht. Was ist der Kern (bzw. was nicht)?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, vielen Dank für deine Hilfe!
> So als Tip: Betrachte [m]G\to Sym(Saylo_3(G))\cong S(4),g\mapsto g S g^{-1}[/m],
> will sagen: der Gruppenhom. der in die symmterische
> Perumtationsgruppe mit 4 Elementen geht, der, der die
> Sylogruppen durch Konjugation vertauscht. Was ist der Kern
> (bzw. was nicht)?
Ok, nennen wir die von dir genannte Abbildung [mm] $\varphi$, [/mm] dann gilt doch:
$g [mm] \in ker\: \varphi \gdw gSg^{-1}=S \;\forall [/mm] S [mm] \in Syl_3(G) \gdw [/mm] g [mm] \in N_S \;\forall [/mm] S [mm] \in Syl_3(G)$
[/mm]
[mm] $g\:$ [/mm] muss also im Normalisator aller 3-Sylowgruppen liegen. Ist ja auch klar, denn nur dann vertauscht die Konjugation mit [mm] $g\:$ [/mm] keine der Gruppen.
Andersrum gilt: $g [mm] \not\in ker\: \varphi \gdw gSg^{-1} \not\subseteq [/mm] S [mm] \gdw \:\exists [/mm] S [mm] \in Syl_3(G), [/mm] s [mm] \in [/mm] S: [mm] gsg^{-1} \not\in [/mm] S$
Ich fürchte du musst mir nochmal einen Tipp geben, denn ich weiß leider nicht was ich damit jetzt anfangen kann.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Fr 18.03.2011 | | Autor: | SEcki |
> Ich fürchte du musst mir nochmal einen Tipp geben, denn
> ich weiß leider nicht was ich damit jetzt anfangen kann.
Der Kern eines Gruppenhoms ist ein Normalteiler.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:58 Fr 18.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank.
Damit habe ich also einen Normalteiler gefunden. Er ist [mm] $ker\:\varphi [/mm] = [mm] \{g \in G | g \in N_S \; \forall S \in Syl_3(G)\}$
[/mm]
Nun muss ich nur noch die Fälle betrachten, in denen dieser trivial ist, denn dann muss ich einen anderen nichttrivialen Normalteiler finden.
Ist [mm] $ker\:\varphi [/mm] = G$, so existiert nur eine 3-Sylowgruppe [mm] $S\.$ [/mm] und diese ist Normalteiler in G, da ja $G = [mm] N_S$ [/mm] in diesem Fall.
Ist [mm] $ker\:\varphi [/mm] = [mm] \{1\}$, [/mm] so gilt für alle $g [mm] \in [/mm] G [mm] \backslash \{1\}: \:\exists [/mm] S [mm] \in Syl_3(G)$ [/mm] mit [mm] $gSg^{-1} \not \subseteq [/mm] S$. Das kann nur der Fall sein, wenn 4 3-Sylowgruppen existieren, denn gibt es nur eine, so sind die Elemente dieser Sylowgruppe in [mm] $ker\: \varphi$.
[/mm]
Wie kann ich hier weiter vorgehen. Ich steh wohl ziemlich auf dem Schlauch, sorry.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Sa 19.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Damit habe ich also einen Normalteiler gefunden. Er ist
> [mm]ker\:\varphi = \{g \in G | g \in N_S \; \forall S \in Syl_3(G)\}[/mm]
>
> Nun muss ich nur noch die Fälle betrachten, in denen
> dieser trivial ist, denn dann muss ich einen anderen
> nichttrivialen Normalteiler finden.
>
> Ist [mm]ker\:\varphi = G[/mm], so existiert nur eine 3-Sylowgruppe
> [mm]S\.[/mm] und diese ist Normalteiler in G, da ja [mm]G = N_S[/mm] in
> diesem Fall.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist [mm]ker\:\varphi = \{1\}[/mm], so gilt für alle [mm]g \in G \backslash \{1\}: \:\exists S \in Syl_3(G)[/mm]
> mit [mm]gSg^{-1} \not \subseteq S[/mm]. Das kann nur der Fall sein,
> wenn 4 3-Sylowgruppen existieren, denn gibt es nur eine, so
> sind die Elemente dieser Sylowgruppe in [mm]ker\: \varphi[/mm].
> Wie
> kann ich hier weiter vorgehen. Ich steh wohl ziemlich auf
> dem Schlauch, sorry.
Falls [mm] $\ker\varphi [/mm] = [mm] \{1\}$ [/mm] ist, ist [mm] $\phi$ [/mm] injektiv, womit [mm] $S_4$ [/mm] eine Untergruppe hat die isomorph zu $G$ ist. Jetzt hat $G$ 36 Elemente. Geht das?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:35 So 20.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo Felix,
> Falls [mm]\ker\varphi = \{1\}[/mm] ist, ist [mm]\phi[/mm] injektiv, womit [mm]S_4[/mm]
> eine Untergruppe hat die isomorph zu [mm]G[/mm] ist. Jetzt hat [mm]G[/mm] 36
> Elemente. Geht das?
Nein, denn $ord [mm] \: S_4 [/mm] = 24$, damit kann die Abbildung nicht injektiv sein.
Vielen Dank für den Tipp, dann hab ich ja jetzt alles zusammen, was man für die Aufgabe braucht.
LG Lippel
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