Normalvert und zentr. GWSatz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 Sa 08.02.2014 | | Autor: | felixk4 |
| Aufgabe 1 | 1. Die Vorbereitungszeit zur Statistik-Klausur sei normalverteilt mit 40h
Mittelwert und 10h Standardabweichung. Wie lange bereitet sich das 4.
Quartil der Studierenden mindestens vor? |
| Aufgabe 2 | 2. In einer Umfrage mit 3600 Befragten soll als Antwort auf eine Frage
eine 7er-Skala von 1= „stimme voll zu“ bis 7 = „stimme überhaupt nicht
zu“ vorgegeben werden. Der wahre Mittelwert der Population liege bei
4,0. In welchem Schwankungsintervall liegen die Mittelwerte von 95%
aller repräsentativen Stichproben dieser Größe? (Rechnen Sie mit „s“
als Platzhalter für eine beliebige Standardabweichung) |
Guten Tag,
ich habe zwei Fragen bzgl. meiner Statistikaufgaben ;).
Zu Nummer 1:
Für den Mittelwert 40h und die Standartabweichung 10h, soll die Vorbereitungszeit des 4. Quartils errechnet werden.
Soweit ich es verstanden habe, ist das obere Quartil, die obersten 25% deren, die sich am meisten vorbereitet haben. Ist das korrekt? Und wie soll ich dann die Aufgabe lösen? Rechne ich Mittelwert und Standartabw. zusammen und ziehe 25& ab, sodass ich auf 37,5 für X komme? sprich 37,5-40/10=-2,5?
Wie ihr seht bin ich noch recht unbelesen in der Mathematik und studiere im eigentlichen Sinne kein Fach, in welchem Statistik im späteren Berufsbereich vorhanden ist ;D.
Zu Aufgaben 2:
Ich verstehe den zentralen Grenzwertsatz leider überhaupt nicht, sodass ich die Aufgabe leider nicht lösen kann. Ich habe mir schon einige Erklärungen herausgesucht und Videos über das Thema geguckt, jedoch komme ich nicht weiter.
Es sollte ja einen Zusammenhang zwischen dem ZGS und der Normalverteilung geben, soweit ich das verstanden habe, mir erschließt sich dieser leider nur noch nicht.
Vielen Dank schomal für eure Antworten!!
Beste Grüße,
felixk4 :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
Eine Antwort zu Aufgabe 1:
> 1. Die Vorbereitungszeit zur Statistik-Klausur sei
> normalverteilt mit 40h
> Mittelwert und 10h Standardabweichung. Wie lange bereitet
> sich das 4.
> Quartil der Studierenden mindestens vor?
> Zu Nummer 1:
>
> Für den Mittelwert 40h und die Standartabweichung 10h,
> soll die Vorbereitungszeit des 4. Quartils errechnet
> werden.
> Soweit ich es verstanden habe, ist das obere Quartil, die
> obersten 25% deren, die sich am meisten vorbereitet haben.
> Ist das korrekt? Und wie soll ich dann die Aufgabe lösen?
> Rechne ich Mittelwert und Standartabw. zusammen und ziehe
> 25& ab, sodass ich auf 37,5 für X komme? sprich
> 37,5-40/10=-2,5?
Hm, kann es sein, dass du dich da nicht wirklich in die Materie eingelesen hast? Dann ist aber auch die Aufgabenstellung etwas ungewöhnlich formuliert, denn unter einem Quartil versteht man normalerweise eher einen bestimmten Wert einer ZV bzw. eine Grenze zwischen Bereichen einer Stichprobe. Hier ist jedoch tatsächlich dasjenige Viertel der Studenten gemeint, die sich am längsten vorbereiten. Das bedeutet, du musst die Gleichung
[mm] P(X\le{k})=0.75
[/mm]
für eine normalverteilte Zufallsvariable X nach k auflösen. Dazu substituiert man
[mm] Z=\bruch{X-\mu}{\sigma}
[/mm]
und ermittelt für die standardnomalverteilte Zufallsvariable Z den entsprechenden Wert entweder mittels einer Tabelle oder einem CAS (wobei es für den letzteren Fall sicherlich auich direkt ohne Substitution geht).
Gruß, Diophant
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Hallo,
> 2. In einer Umfrage mit 3600 Befragten soll als Antwort
> auf eine Frage
> eine 7er-Skala von 1= „stimme voll zu“ bis 7 =
> „stimme überhaupt nicht
> zu“ vorgegeben werden. Der wahre Mittelwert der
> Population liege bei
> 4,0. In welchem Schwankungsintervall liegen die
> Mittelwerte von 95%
> aller repräsentativen Stichproben dieser Größe?
> (Rechnen Sie mit „s“
> als Platzhalter für eine beliebige Standardabweichung)
> Zu Aufgaben 2:
>
> Ich verstehe den zentralen Grenzwertsatz leider überhaupt
> nicht, sodass ich die Aufgabe leider nicht lösen kann. Ich
> habe mir schon einige Erklärungen herausgesucht und Videos
> über das Thema geguckt, jedoch komme ich nicht weiter.
> Es sollte ja einen Zusammenhang zwischen dem ZGS und der
> Normalverteilung geben, soweit ich das verstanden habe, mir
> erschließt sich dieser leider nur noch nicht.
Der zentrale Grenzwertaussage macht eine Aussage über die Verteilung des Mittelwerts.
Hat man unabhängige und identisch verteilte Beobachtungen [mm] $X_1,X_2,X_3,...$, [/mm] so gilt für den Mittelwert [mm] $\overline{X_n} [/mm] := [mm] \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$:
[/mm]
[mm] $\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{X_n} - E[X_i]}{Stdabw(X_i)} \dto [/mm] N(0,1)$,
das bedeutet: Wenn man vom Mittelwert den Erwartungswert [mm] $E[X_i]$ [/mm] abzieht und durch die Standardabweichung [mm] Stdabw(X_i) [/mm] teilt und das ganze dann noch mit [mm] \sqrt{n} [/mm] multipliziert, entsteht eine Standardnormalverteilung. Man könnte stattdessen auch (etwas unsauberer) schreiben:
[mm] $\overline{X_n} \approx N(E[X_i], \frac{Stdabw(X_i)^2}{n})$, [/mm]
d.h. der Mittelwert ist für großes $n$ etwa normalverteilt mit Erwartungswert [mm] E[X_i] [/mm] und Standardabweichung [mm] $Stdabw(X_i)/\sqrt{n}$.
[/mm]
---
Wie kann das jetzt zur Lösung der Aufgabe benutzt werden?
Du möchtest ein Intervall I angeben, sodass der Mittelwert mit 95% drin liegt.
Also muss dieses Intervall erfüllen: [mm] $P(\overline{X_n} \in [/mm] I) = 0.95$.
Ein sinnvoller Ansatz für so ein Intervall ist es, den Erwartungswert der Beobachtungen als Mittelwert zu nehmen (sonst kann man später den ZGWS nicht anwenden).
Also hier: $I = [mm] [E[X_i] [/mm] - a, [mm] E[X_i] [/mm] + a]$. Es bleibt das a zu bestimmen.
Rechnen wir weiter. Es soll gelten:
$0.95 = [mm] P(\overline{X_n}\in [/mm] I) = P(-a < [mm] \overline{X_n} [/mm] - [mm] E[X_i] [/mm] < a)$.
Der Trick ist jetzt, Termumformungen durchzuführen, so dass in der Mitte die Aussage des ZGWS verwendet werden kann:
$= [mm] P(-\frac{\sqrt{n}*a}{Stdabw(X_i)} [/mm] < [mm] \underbrace{\sqrt{n}\cdot \frac{\overline{X_n} - E[X_i]}{Stdabw(X_i)}}_{\approx N(0,1)} [/mm] < [mm] \frac{\sqrt{n}*a}{Stdabw(X_i)})$.
[/mm]
Damit diese Gleichung erfüllt ist, muss also gelten:
[mm] $\frac{\sqrt{n}*a}{Stdabw(X_i)} [/mm] = [mm] u_{0.975}$ [/mm] (0.975-Quantil der Standardnormalverteilung).
(Überlege dir das!)
Kannst du nun a bestimmen und die Angaben in der Aufgabenstellung einarbeiten?
Viele Grüße,
Stefan
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