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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - Normalverteilung
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Normalverteilung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Mi 09.07.2014
Autor: NoMoreMath

Aufgabe
a) Ein Holzwerk stellt Pro lbretter mit einer Nominallange von 200 cm her. Aufgrund von
Schwankungen bei der Herstellung sind die tatsachlichen Langen allerdings normalverteilt
mit (Erwartungswert) [mm] \mu [/mm] = 200 cm und (Standartabweichung) [mm] \delta [/mm] = 2,5981 cm.
Ein Handwerker will drei Bretter hintereinander verlegen und wahlt dazu vollig zufallig und
unabhangig voneinander drei dieser Pro lbretter aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit
(4 Nachkommastellen), dass die Gesamtlange dieser drei Pro lbretter weniger als 592 cm
betragt?

b) Es sei [mm] \Phi [/mm]  die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Bestimmen Sie dasjenige
x [mm] \in [/mm] R (2 Nachkommastellen), fur das gilt:

[mm] \Phi (\bruch{x}{4} [/mm] - 3) - [mm] \Phi [/mm] (3 - [mm] \bruch{x}{4}) [/mm]  = 0,2206

Hallo,

bei meiner anderen Frage wurde mir so gut geholfen, dass ich auch mal die nächste gleich reinstelle.

Leider bin ich da völlig ratlos (a und b). bei a hatte ich noch einen anfangs ansatz, aber ich bin mir ziemlich sicher, dass er falsch ist:
[mm] F(x\le598) [/mm] = [mm] \Phi(\bruch{(592) - 600}{3*2.5981}) [/mm]
                 = [mm] \Phi(-1.0264) [/mm]
                 = ( 1 - [mm] \Phi(1.0264) [/mm] )
                 = ( 0.1515 )               (in Normalverteilungstabelle geschaut)

Das kann aber gar nicht sein, weswegen ich offenbar einen groben denkfehler drinnen habe.

Was die b) angeht, habe ich nichtmal einen Ansatz.


Danke im Vorraus für eure Mühe und Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mi 09.07.2014
Autor: Adamantin

Zur a) Warum nicht? Es handelt sich ja um drei Einzelziehungen, die normalverteilt sind, daher ist auch die Summe normalverteilt.

Was heißt denn eine Länge von weniger als 592 zu erreichen? Ein Brett hat doch im Durchschnitt eine Länge von 600! Und es weicht um gerade einmal 2,5 einfache Standardabweichung davon ab. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, außerhalb einer [mm] 1$\sigma$-Umgebung [/mm] zu landen? Dann potenzier das mal mit 3 und du hast ne erste Abschätzung.

Allerdings noch ein Fehler in der Formel, es addieren sich bei Normalverteilungen die Varianzen, nicht die Standardabweichungen. Das heißt, deine Standardabweichung sollte [mm] $\sigma=\sqrt{3\cdot\delta^2}$ [/mm] sein und dein z-Wert damit $z=-1.7778$.

b) Rechne einfach mit den Gesetzen für eine Normalverteilung. Bringe mal beide Brüche auf einen Nenner und dann überlege dir was für [mm] $\phi(x)+\phi(-x)$ [/mm] gilt, denn diesen Fall hast du. Dann kannst du aufgrund der Symmetrie der Normalverteilung den Ausdruck zu einem [mm] $\phi$ [/mm] zusammenfassen und bist fast am Ziel, wenn du das entsprechende z in einer Tabelle nachschlägst.

Bezug
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