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Normalverteilung: Theoretische Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:47 So 26.07.2015
Autor: magics

Aufgabe
Ein Hersteller von Laser-Entfernungsmessern garantiert, dass bei einer tatsächlichen Entfernung von x Metern die gemessenen Werte in 95% aller Messungen im Bereich von x ± 0.005 Metern liegen.

1. Bestimmen Sie die Standardunsicherheit der Herstellerangabe im Fall, dass die Abweichungen
symmetrisch zu x gleichverteilt sind.

2. Bestimmen Sie die Standardunsicherheit der Herstellerangabe im Fall, dass die Abweichungen
symmetrisch zu x normalverteilt sind.


Hallo,

zu (1)
Grundätzlich kann mann ja sagen:

P(X [mm] \le [/mm] x + [mm] \varepsilon) [/mm] = Φ [mm] (\bruch{x + \varepsilon - \mu}{\delta}) [/mm] = 0,975

[mm] \gdw \bruch{x + \varepsilon - \mu}{\delta} [/mm] = [mm] u_{0,975} [/mm]
= [mm] \bruch{x + 0,005 - \mu}{\delta} [/mm] = 1,96
[mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{x + 0,005 - \mu}{1,96} [/mm]

So... bis hier hin und nicht weiter hab ich erst gedacht. Aber dann ist mir aufgefallen, dass wir ja davon ausgehen, dass das ganze gleichverteilt um x ist, das heißt doch x muss in der Mitte der Gaussglocke sein und damit ist

x = [mm] \mu [/mm]

Also könnte man sagen:

[mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{x + 0,005 - x}{1,96} [/mm] = [mm] \delta [/mm] = [mm] \bruch{1}{392} [/mm]

zu(2)
So... wenn nun bei der 2 die Verteilung Symmetrisch zu x normalverteilt ist, heißt das nichts anderes, als dass sich x auf der 0 befindet, und die Standardabweichung 1 ist. Also würde ich sagen

[mm] \delta [/mm] = 1

Ich bin mir dabei aber alles andere als sicher

lg
magics

        
Bezug
Normalverteilung: Verständnisproblem
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:45 Mo 27.07.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Ein Hersteller von Laser-Entfernungsmessern garantiert,
> dass bei einer tatsächlichen Entfernung von x Metern die
> gemessenen Werte in 95% aller Messungen im Bereich von x ±
> 0.005 Metern liegen.
>  
> 1. Bestimmen Sie die Standardunsicherheit der
> Herstellerangabe im Fall, dass die Abweichungen
>  symmetrisch zu x gleichverteilt sind.

.......


Hallo magics

Ich kann mir nicht vorstellen, was der Aufgabensteller mit
der modellmäßigen Annahme gleichverteilter Abweichungen meint.
Eine Gleichverteilung mit beliebigen Abweichungen  [mm] \Delta [/mm] x [mm] \in \IR [/mm]
kann ja kaum gemeint sein. Andernfalls müsste man es mit einer
Gleichverteilung über einem symmetrischen Intervall [-d ... +d]  zu
tun haben. Auch ein solches Modell scheint mir fragwürdig.
Um mich der Aufgabe ernsthaft zuwenden zu können, müsste
ich also mehr wissen (falls du beispielsweise ein Skript angeben
könntest ...)

LG ,   Al-Chw.



Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:14 Mo 27.07.2015
Autor: magics

Hallo Al-Chwarizmi



> Ich kann mir nicht vorstellen, was der Aufgabensteller mit
>  der modellmäßigen Annahme gleichverteilter Abweichungen
> meint.
> Eine Gleichverteilung mit beliebigen Abweichungen  [mm]\Delta[/mm] x
> [mm]\in \IR[/mm]
>  kann ja kaum gemeint sein. Andernfalls müsste man
> es mit einer
>  Gleichverteilung über einem symmetrischen Intervall [-d
> ... +d]  zu
>  tun haben. Auch ein solches Modell scheint mir
> fragwürdig.

Ich habe heute mit jemandem über die Aufgabe gesprochen. Der war der Meinung, dass es sich bei bei 1. um eine Rechtecksverteilung um x herum handelt, also man tatsächlich x * 2(0,005m) = 1 oder so hat.

Bei dem 2. Teil wäre es dann aber wirklich eine Normalverteilung mit der Gaußglocke.


>  Um mich der Aufgabe ernsthaft zuwenden zu können,
> müsste
>  ich also mehr wissen (falls du beispielsweise ein Skript
> angeben
>  könntest ...)

Das obige ist leider alles, was ich dir dazu sagen kann... das Skript gibt nicht wirklich Aufschluss, da es keine vergleichende Aufgabe gibt.

>  
> LG ,   Al-Chw.
>
>  

lg
magics

Bezug
        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:00 Mo 27.07.2015
Autor: rmix22

Die schlechte Nachricht: Deine Lösung zu (1) ist komplett falsch, da du ja von einer Normalverteilung ausgehst und nicht, wie es die Angabe verlangt, von einer stetigen Gleichverteilung. Und ja, dein Kollege und letztlich auch AlChwarizmi haben Recht,  stetige Gleichverteilung ist nur eine andere Bezeichnung für Rechteckverteilung (oder auch Uniformverteilung) und diese hat immer in einem um den Mittelwert symmetrischen Intervall eine konstante Dichte.
Du kennst die Breite des Intervalls, in dem sich 95% der Messungen befinden und kannst dir daher die Höhe des Rechtecks (= die konstante Dichte) berechnen. Da die Fläche unter der Dichtefunktion (Rechteckt!) 1 zu sein hat, kannst du nun die Rechtecksbreite ermitteln. Die Formel für die Standardabweichung der stetigen Gleichverteilung ist dir vermutlich ohnedies bekannt. Falls nicht, schlag sie nach oder leite sie schnell durch Integration her. Zur Kontrolle, mein Ergebnis (ohne Gewähr) ist [mm] $\sigma=\frac{\sqrt 3}{570} m\approx 3,039\; [/mm] mm $

Die nächste schlechte Nachricht: Dein Ansatz zu (2) ist furchtbar! Wie kannst du denn auf die Idee kommen, der Mittelwert würde bei Null liegen. Das würde doch bedeuten, dass das Gerät, unabhängig von der Entfernung x, die es messen soll, im Schnitt als Ergebnis die Entfernung 0 anzeigt. Das wird kein Verkaufsschlager.

Nun die gute Nachricht: Deine Ausführungen zu (1) sind vollkommen richtig, wenn du statt (1) einfach (2) drüber schreibst :-).
Du bist ja von einer Normalverteilung ausgegangen und das ist eben Teilaufgabe (2).
Kritikpunkte sind einerseits die fehlende Einheit von [mm] \sigma [/mm] (warum schreibst du eigentlich [mm] \delta [/mm] ?) und dann noch die Angabe als Bruch  [mm] $\frac [/mm] 1 {392}$. Ich bin zwar ein großer Verfechter der Angabe von genauen Ergebnissen (mit Brüchen, Wurzeln, pi, ...), aber hier ist es (zumindest) irreführend, eigentlich (mit einem = Zeichen) sogar falsch.
Deine Berechnung hat doch den Quantil-Wert 1,96 verwendet und das ist nur ein gerundeter Wert (1,95996398454005...). Daher würde ich besser [mm] $\sigma\approx 2,551\; [/mm] mm$ schreiben.

Gruß RMix


Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:28 Mo 27.07.2015
Autor: magics

Hi! Und vielen Dank!

Nun kenne ich den Unterschied zwischen (1) und (2).

Das bei (2) war wirklich dämlich von mir... hab es irgendwie total
mit der Standardnormalverteilung durcheinandergebracht.

lg
magics


Bezug
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