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Forum "Probability Theory" - Normalverteilung
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Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:06 Fr 04/11/2016
Author: Thomas_Aut

Hallo,

etwas ganz einfaches :

ich möchte die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass eine normalverteilte ZV im Intervall (170,185) liegt, wobei [mm] $\mu [/mm] =180$ und die Standardabweichung 6 ist.
Ist ja ganz einfach , aber :

berechne ich dies über :

[mm] $\mathbb{P}(a [/mm] < X < b) = [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{exp(-iat)-exp(ibt)}{it}\varphi(t)dt$ [/mm]

kommt mir etwas vollkommen anderes raus als per "Hand" (über die allseits bekannte Trafo auf eine N(0,1) Verteilung).

Mittels Inversion der charakteristischen Funktion sagt Wolfram Alpha = 0.8.....

mein Zettel sagt mir aber : 0.74...

eine Abweichung von 6% kann nicht im Rechenfehlerbereich liegen.


Vielen Dank und LG

Thomas

Ps: ich programmiere gerade ein Programm, dass eben die Wahrscheinlichkeiten für so normalverteilte ZV berechnen soll -- ich realisiere das eben über die charakteristische Funktion mittels Trapezintegration.

        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 10:40 Fr 04/11/2016
Author: Gonozal_IX

Hiho,

ich habe folgendes festgestellt:

Dein korrektes Ergebnis erhälst du bei WolframAlpha ja mit Hilfe der erfc-Funktion, siehe []hier gemäß
[mm] $\frac{1}{2}erfc\left(\frac{\mu-b}{\sigma \sqrt{2}}\right)-\frac{1}{2}erfc\left(\frac{\mu-a}{\sigma \sqrt{2}}\right)$ [/mm]

edit: Stelle gerade fest, dass ich in meiner Anwendung bei WolframAlpha selbst ein - vergessen habe :-)

Dann stimmen die Ergebnisse doch, siehe []hier
.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 11:27 Fr 04/11/2016
Author: Thomas_Aut

Hallo,

Vll bin ich einfach total bescheuert gerade ^^ ,aber :

[]klick
spuckt einfach nicht das richtige aus :)


Lg und vielen Dank

Thomas

Bezug
                        
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:33 Fr 04/11/2016
Author: Thomas_Aut

ahhh bin ich doof -- da ist ein i zu viel drinnen.


Danke, hat sich alles geklärt :D

Bezug
                                
Bezug
Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:14 Sa 05/11/2016
Author: Thomas_Aut

Hallo,

eine Sache ist mir aufgefallen - sowohl bei wolfram, als auch bei meinem Programm.

klar ist, dass ich bei numerischer Integration niemals ein [mm] $\int_{- \infty}^{\infty}$ [/mm] Integral realisieren kann, sondern ich muss immer bei einer gewissen Grenze abschneiden und einen entsprechenden Fehler in kauf nehmen.

Nun ist es so, dass ich bei der Bestimmung der Wslkeit, wie oben erwähnt, die char. Funktion invertiere - also

[mm] $\mathbb{P}(a
Folgendes fällt auf:

integriere ich :
$ [mm] \frac{1}{2 \pi} \int_{-1}^{1} \frac{exp(-iat)-exp(-ibt)}{it}\varphi(t)dt [/mm] $

mit beispielsweise 10000 Stützstellen, so ist mein Ergebnis ziemlich exakt ... es wäre doch naheliegend, dass ich ein wesentlich exakteres Ergebnis bekomme,wenn ich das Integrationsintervall deutlich weiter ausdehne (sagen wir mal, in die Nähe von [mm] $\infty$ [/mm] rücke). -- weit gefehlt ... integreire ich von -10000 bis 10000 mit zb 10000000 Stützstellen, so ist meine Abweichung deutlich.

Wieso genügt es scheinbar, dass ich mir das Integral auf [-1,1] ansehe ?

Ich sehe da jetzt kaum eine vernünftige Begründung.

Aja übrigens : wie im Beispiel oben bleiben wir bei einer Normalverteilung.


Lg und Danke für Gedanken,


Thomas


Bezug
                                        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 20:46 Sa 05/11/2016
Author: Gonozal_IX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hiho,

es ist $\left|\frac{exp(-iat)-exp(-ibt)}{it}\varphi(t)\right| \le \frac{1}{|t|}e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}$

Und damit:

$\left| \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{exp(-iat)-exp(-ibt)}{it}\varphi(t)dt  - \frac{1}{2 \pi} \int_{-1}^{1} \frac{exp(-iat)-exp(-ibt)}{it}\varphi(t)dt \right|  \le \frac{1}{\pi}\integral_{1}^{\infty} \frac{1}{t}e^{-\frac{\sigma^2t^2}{2}} dt $

Für dein Beispiel ist []laut WolframAlpha der Fehler im Bereich von [mm] $10^{-10}$, [/mm] so dass es im Rahmen der Rechengenauigkeit völlig ausreichend sein sollte, das Intervall $[-1,1]$ zu betrachten.
Die Rechenungenauigkeit aufgrund des größeren Intervalls ist wohl größer :-)

Hättest du eine Standardnormalverteilung mit [mm] $\sigma^2 [/mm] = 1$ wäre der Fehler []wohl deutlich größer, allerdings steht dann noch im Raum, wie grob die Abschätzung zu Beginn war.

Gruß,
Gono

Bezug
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