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Normalverteilung: Unterschied z. Binomialverteil
Status: (Umfrage) Beendete Umfrage Status 
Datum: 11:12 So 07.05.2017
Autor: Paul88

Hallo, ich habe mal eine etwas blöde Frage. Ich verstehe den Vergleich bzw. die Annäherung zwischen Binomial- und Normalverteilung nicht so ganz. Eine Binomialverteilung ist ja die Verteilung, die bei einer Bernoulli-Kette vorliegt. Also im Wesentlichen geht es um Treffer oder Fehlschlag. Auf der x-Achse findet sich dann jedoch die Anzahl der Treffer und darauf basiert ja die Verteilung.

Bei der Normalverteilung habe ich ja aber eine stetige Zufallsgröße, d. h. z. B. die Körpergröße von Menschen oder etwas Ähnliches. Aber hier interessiert mich doch dann etwas völlig anderes. Auf der x-Achse ist dann die jeweilige Zufallsgröße abgetragen, oder nicht? Also z. B. die Körpergröße. Und nicht mehr die Anzahl der Treffer für eine ganz bestimmte Körpergröße. Und mich interessiert dann also nicht, wie oft ich da für jede Größe wie viele Treffer haben könnte, was ja auch schwer möglich ist, da die Zufallsgröße ja stetig ist und ich das gar nicht für jede Größe ermitteln könnte, richtig? Daher geht es dann hier eher um die Fragestellung, wie viel Prozent mindestens die Körpergröße XY haben, oder nicht? Wieso lässt sich dann die Binomialverteilung für große  n durch die Normalverteilung annähern, wenn doch die Fragestellung eigentlich eine ganz andere ist, bzw. das Histogramm auch eigentlich ganz anders aufgebaut ist?

Auch zu den Begriffen stetige und diskrete Zufallsgröße habe ich noch eine Frage. Wenn man z. B. für die Binomialverteilung den Münzwurf nimmt. Dann  wäre X ja z. B. Anzahl von "Kopf". Könnte ich nicht genau das auch für die eigentlich stetige Zufallsgröße Körpergröße machen und "Anzahl der "Körpergröße 1,85m" als abzählbare Ergebnismenge aufschreiben (dann wäre es doch eine diskrete Zufallsgröße, oder nicht?) (es wäre dann zwar Ziehen ohne Zurücklegen, aber wenn die Gesamtheit groß genug ist, dürfte dieser Aspekt ja eigentlich zu vernachlässigen sein)? Ich hoffe, ihr könnt meinem Gedankengang folgen. Also indem ich sozusagen gar nicht mehr schaue, wie viele Leute bei einer Umfrage genau 1,85m sind, sondern eher, wie viele mindestens 1,85m sind, habe ich doch eine völlig andere Fragestellung bei der Normalverteilung als bei der Binomialverteilung? Wieso kann ich die dann als Näherung benutzen? Und eigentlich ist es ja so, dass die Wahrscheinlichkeit für ein "Einzelereignis" bei der Normalverteilung ca. 0% ist, aber wenn ich nun wirklich eine sehr, sehr große Menge an Menschen befragen würde, wäre das ja nicht der Fall?

Also irgendwie betrachte ich ja zwei völlig unterschiedliche Sachen: zum einen eine Anzahl für Treffer, zum anderen jedes "Ereignis" einzeln...

Und theoretisch ist es zwar so, dass ein Mensch jede Größe annehmen könnte (auch wenn es vielleicht gewisse Grenzen gibt), aber in der Praxis, wenn ich wirklich die gesamte Menschheit untersuchen würde, dann würde ich doch die Menge auch abzählen können?

Viele Fragen, die vielleicht auch etwas durcheinander gehen... Ich hoffe, es ist einigermaßen verständlich, was mein Problem ist und dass jemand meinen gedanklichen Knoten auflösen kann :)

Ich wäre dafür sehr, sehr dankbar!!!!!! :)

        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 So 07.05.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Hallo, ich habe mal eine etwas blöde Frage.

Vorneweg: das Gegenteil ist der Fall. Die Frage ist wichtig und ziemlich tiefschürfend.

> Ich verstehe
> den Vergleich bzw. die Annäherung zwischen Binomial- und
> Normalverteilung nicht so ganz. Eine Binomialverteilung ist
> ja die Verteilung, die bei einer Bernoulli-Kette vorliegt.
> Also im Wesentlichen geht es um Treffer oder Fehlschlag.
> Auf der x-Achse findet sich dann jedoch die Anzahl der
> Treffer und darauf basiert ja die Verteilung.

Ja, das hast du im Sinne deiner Frage gut zusammengefasst.

> Bei der Normalverteilung habe ich ja aber eine stetige
> Zufallsgröße, d. h. z. B. die Körpergröße von Menschen
> oder etwas Ähnliches. Aber hier interessiert mich doch
> dann etwas völlig anderes. Auf der x-Achse ist dann die
> jeweilige Zufallsgröße abgetragen, oder nicht?

Ja, aber beachte: auf der reellen x-Achse.

> Also z. B.
> die Körpergröße. Und nicht mehr die Anzahl der Treffer
> für eine ganz bestimmte Körpergröße. Und mich
> interessiert dann also nicht, wie oft ich da für jede
> Größe wie viele Treffer haben könnte, was ja auch schwer
> möglich ist, da die Zufallsgröße ja stetig ist und ich
> das gar nicht für jede Größe ermitteln könnte, richtig?
> Daher geht es dann hier eher um die Fragestellung, wie viel
> Prozent mindestens die Körpergröße XY haben, oder nicht?

Na ja, bei einer Verteilungsfunktion geht es grundsätzlich darum, wie viel Prozent einer betrachteten Grundgesamtheit höchstens einen bestimmten Wert aufweisen.

> Wieso lässt sich dann die Binomialverteilung für große
> n durch die Normalverteilung annähern, wenn doch die
> Fragestellung eigentlich eine ganz andere ist, bzw. das
> Histogramm auch eigentlich ganz anders aufgebaut ist?

Das folgt aus dem []Satz von Moivre-Laplace, einem Spezialfall des Zentralen Grenzwertsatzes.
Eine ganz andere Frage ist die, weshalb man das tut. Das hat u.a. auch gewichtige historische Gründe: für uns sind heutzutage elektronische Rechenhilfsmittel  selbstverständlich, welche die gängigen Verteilungen 'an Bord' haben. Dem war aber nicht immer so. Bis weit in die 90er-Jahre des letzten Jahrhunderts hinein hat man mit Tabellen für die Werte von Verteilungsfunktionen gearbeitet, insbesondere für die Binomial- und die Normalverteilung. Und das ist ein ganz praktischer Grund für die Annäherung durch eine Normalverteilung: sofern sie in guter Näherung möglich ist, spart das flapsig gesagt eine Tabelle ein und darüber hinaus ist das Arbeiten mit einer Tabelle der Normalverteilung bis auf wenige Ausnamen sinnvoller als mit Tabellen diskreter Verteilungen.

>

> Auch zu den Begriffen stetige und diskrete Zufallsgröße
> habe ich noch eine Frage. Wenn man z. B. für die
> Binomialverteilung den Münzwurf nimmt. Dann wäre X ja z.
> B. Anzahl von "Kopf". Könnte ich nicht genau das auch für
> die eigentlich stetige Zufallsgröße Körpergröße machen
> und "Anzahl der "Körpergröße 1,85m" als abzählbare
> Ergebnismenge aufschreiben (dann wäre es doch eine
> diskrete Zufallsgröße, oder nicht?) (es wäre dann zwar
> Ziehen ohne Zurücklegen, aber wenn die Gesamtheit groß
> genug ist, dürfte dieser Aspekt ja eigentlich zu
> vernachlässigen sein)?

Die Frage nach mit oder ohne Zurücklegen ist ja nicht relevant dafür, ob eine Zufallsgröße diskret ist. Bei stetigen Zufallsgrößen spielt sie aus naheliegenden Gründen ebenfalls keine Rolle.

Das was du da mit der Körpergröße von Menschen vorhast, wirft ein Problem auf, dass du weiter unten selbst auch ansprichst: niemand kann genau 1,85 groß sein, bzw. präziser formuliert: theoretisch könnte das sein, aber niemand könnte es messen. Du kannst natürlich Teilintervalle möglicher Körpergrößen zu Klassen zusammenfassen, aber das ist dann Statistik und keine Wahrscheinlichkeitstheorie mehr.

> Ich hoffe, ihr könnt meinem
> Gedankengang folgen. Also indem ich sozusagen gar nicht
> mehr schaue, wie viele Leute bei einer Umfrage genau 1,85m
> sind,

...was du gar nicht tun könntest...

> sondern eher, wie viele mindestens 1,85m sind, habe
> ich doch eine völlig andere Fragestellung bei der
> Normalverteilung als bei der Binomialverteilung?

Nein. Ersetze 'mindestens' durch 'höchstens' und du hast eine Verteilungsfunktion, und zwar unabhängig davon, ob du eine diskrete oder eine stetige Verteilung zugrunde legst.

> Wieso kann
> ich die dann als Näherung benutzen?

Siehe oben.

> Und eigentlich ist es
> ja so, dass die Wahrscheinlichkeit für ein
> "Einzelereignis" bei der Normalverteilung ca. 0% ist, aber
> wenn ich nun wirklich eine sehr, sehr große Menge an
> Menschen befragen würde, wäre das ja nicht der Fall?

Doch, und zwar nicht ca. 0% sondern exakt 0%

> Also irgendwie betrachte ich ja zwei völlig
> unterschiedliche Sachen: zum einen eine Anzahl für
> Treffer, zum anderen jedes "Ereignis" einzeln...

>

> Und theoretisch ist es zwar so, dass ein Mensch jede
> Größe annehmen könnte (auch wenn es vielleicht gewisse
> Grenzen gibt), aber in der Praxis, wenn ich wirklich die
> gesamte Menschheit untersuchen würde, dann würde ich doch
> die Menge auch abzählen können?

Diese Problematik hast du letztendlich bei jedem stetigen mathematischen Modell, weil die Realität (also die Realität im Sinne der Physik) diskret ist, zumindest nach unseren modernen Erkenntnissen und Überzeugungen.
>

> Viele Fragen, die vielleicht auch etwas durcheinander
> gehen... Ich hoffe, es ist einigermaßen verständlich, was
> mein Problem ist und dass jemand meinen gedanklichen Knoten
> auflösen kann :)

Für mich liest sich das so, als ob dir die Problematik der diskreten und der stetigen Verteilungen ein Stück weit die Augen geöffnet hat für die Existenz  unterschiedlicher Kardinalitäten im Unendlichen, genauer gesagt für den Unterschied zwischen abzählbaren und überabzählbaren Mengen. Aber vielleicht liege ich da auch völlig daneben.

@Moderation: ich halte es für sinnvoll, die obige Frage in eine Umfrage umzuwandeln, sofern der Themenstarter nichts dagegen hat.


Gruß, Diophant
 

Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:44 So 07.05.2017
Autor: Paul88

Vielen , vielen Dank für die ausführlichen Anmerkungen und Denkanstöße, das hat mir wirklich sehr geholfen! Und vor allem auch nochmal der Link zum Satz von Moivre-Laplace!

P.S.: Das mit dem "mindestens" und "höchstens" war nur etwas flüchtig von mir formuliert, da ich generell an mögliche Fragestellungen im Bereich der Beschäftigung mit der Normalverteilung gedacht habe. Also mir ging es eher um die Abgrenzung zu "genau", also darum, dass dieses "genau" bei der Normalverteilung nicht möglich ist. Also das mit dem "höchsten" war mir eigentlich auch klar. Trotzdem nochmal danke für den Hinweis!

Die Existenz unterschiedlicher Kardinalitäten im Unendlichen ist mir eigentlich (hoffe ich) auch bewusst gewesen. Kannst du vielleicht noch genauer beschreiben, warum du denkst, dass das hier mein Problem gewesen sein könnte? Vielleicht habe ich irgendetwas doch noch nicht ganz verstanden und bin mir dessen nur nicht bewusst :)

Bezug
                        
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Mo 08.05.2017
Autor: Diophant

Hallo nochmals,

> Vielen , vielen Dank für die ausführlichen Anmerkungen
> und Denkanstöße, das hat mir wirklich sehr geholfen! Und
> vor allem auch nochmal der Link zum Satz von
> Moivre-Laplace!

Ja, das war wenn du so willst der mathematische Aspekt meiner kleinen Antwort. Dazu hat dir tobit09 noch eine sehr ausführliche und fachlich äußerst fundierte Antwort geschrieben.

> P.S.: Das mit dem "mindestens" und "höchstens" war nur
> etwas flüchtig von mir formuliert, da ich generell an
> mögliche Fragestellungen im Bereich der Beschäftigung mit
> der Normalverteilung gedacht habe. Also mir ging es eher um
> die Abgrenzung zu "genau", also darum, dass dieses "genau"
> bei der Normalverteilung nicht möglich ist. Also das mit
> dem "höchsten" war mir eigentlich auch klar. Trotzdem
> nochmal danke für den Hinweis!

Alles klar. Das ist halt so ein Schlüsselreiz beim Lesen, dass man dann sofort korrigierend einschreiten muss. :-)

> Die Existenz unterschiedlicher Kardinalitäten im
> Unendlichen ist mir eigentlich (hoffe ich) auch bewusst
> gewesen. Kannst du vielleicht noch genauer beschreiben,
> warum du denkst, dass das hier mein Problem gewesen sein
> könnte? Vielleicht habe ich irgendetwas doch noch nicht
> ganz verstanden und bin mir dessen nur nicht bewusst :)

Das war der philosophische Aspekt meiner Antwort. Einer der wenigen Punkte am Deutschen Mathematikunterricht, der aus meiner Sicht nicht zu kritisieren sondern positiv hervorzuheben ist, das ist die frühe und ausführliche Beschäftigung mit Funktionen von Typ f: [mm] \IR\to\IR. [/mm] Das war ja auch nicht immer so, führt aber einfach dazu, dass das Denken in kontinuierlichen Vorgängen bis zu einem gewissen Grad selbstverständlich wird. Was wie gesagt auch gut und richtig ist, entspricht es doch nichts weniger als der menschlichen Vorstellung von Raum und Zeit.

Nur haben wir heute ein gut begründetes Weltbild, wonach das alles ganz anders ist. Man könnte also - philosophisch gesehen - so formulieren, dass es das Prinzip des Kontinuums eben nur im menschlichen Geist gibt, nicht in der physischen Wirklichkeit. Diese modernen Erkenntnisse stehen also im Widerspruch zu unserer Vorstellung, ein Grund vielleicht, warum sich immer noch nur wenige Menschen für die moderne Physik interessieren.

Na ja, und auf diesen letztendlich unauflösbaren Widerspruch bist du da mit deiner Frage meiner Meinung nach eben auch gestoßen. Denn es war ja eigentlich nicht eine Frage, sondern ein Fragenkatalog (was ich sehr gut fand!). Auf den Widerspruch nämlich, dass wir uns bspw. die Zeit als kontinuierlichen Zeitstrahl vorstellen, den man einfach als reelle Zahlengerade denken kann. Denn die reelllen Zahlen stehen ja als Grundprinzip für alles kontinuierlich Ablaufende.
Immer mehr Physiker gehen aber (soweit mir bekannt ist) davon aus, dass selbst die Zeit in Quanten abläuft, demnach wäre eben die 'Menge aller Zeitpunkte' eine abzählbare Menge und keine überabzählbare.
Unsere Vorstellung gibt uns also ein schönes Prinzip an die Hand, um dynamische Vorgänge gedanklich erfassen und verarbeiten zu können. Ein Prinzip jedoch, welches eben bezogen auf den Stand der Wissenschaft sozuagen ebenfalls Modellcharakter hat.

Und in diesem Sinn ist jede stetige Verteilung ein idealisiertes Modell. Und darum ging es dir ja schon auch, zumindest am Rande.

Wenn dir aber jetzt doch der mathematische Aspekt deiner Fragen im Vordergrund steht, dann lies auf alle Fälle tobit09's Antwort noch durch!


Gruß, Diophant

Bezug
        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:56 So 07.05.2017
Autor: tobit09

Hallo Paul88!


Wie Diophant finde auch ich deine Fragen alles andere als blöd! Vielmehr merkt man, dass du dir sinnvolle Gedanken machst. [ok]


Bevor ich im Einzelnen meinen Senf zu deinem Text gebe, ein paar Anmerkungen:


1. Zunächst einmal halte ich es für wichtig zu klären, was wir unter einer Verteilung verstehen. Schließlich ist "Verteilung" der gemeinsame Oberbegriff z.B. der Binomialverteilungen und der Normalverteilungen.
(Für mitlesende Experten: Ich beschränke mich auf Verteilungen auf der Menge der reellen Zahlen mit der Borelschen Sigma-Algebra oder der gesamten Potenzmenge als Sigma-Algebra.)

Eine Verteilung ordnet jeder Zahl $x$, jedem Intervall $I$ von Zahlen und auch den meisten komplizierteren "Zusammenstellungen" $M$ von Zahlen jeweils einen ("Wahrscheinlichkeits-")Wert (d.h. eine Zahl) zu.
Diesen Wert können wir uns als Wahrscheinlichkeit vorstellen, dass bei einem Zufallsexperiment die Zahl $x$ als Ergebnis auftritt bzw. dass eine Zahl aus dem Intervall $I$ als Ergebnis auftritt bzw. dass eine Zahl aus der Zusammenstellung $M$ als Ergebnis auftritt.

Genauer gesagt hat jedes Zufallsexperiment aus der Realität (z.B. zufällige Auswahl einer Person aus einer Gruppe und millimetergenaues Messen von der Körpergröße; das Ergebnis sei die Körpergröße in cm) eine zugehörige Verteilung (auch wenn wir sie vielleicht nicht genau kennen).
Umgekehrt sind zu einer Verteilung in der Realität unterschiedliche Zufallsexperimente mit dieser Verteilung denkbar.


Beispiel: Betrachten wir mal die Binomialverteilung zu den Parametern $n=3$ und $p=0,5$.
Ich gebe nun zwei ganz verschiedene Zufallsexperimente mit dieser Verteilung an:

Zufallsexperiment 1: Wir werfen eine faire Münze (mit Zahl und Kopf auf den beiden Seiten) dreimal und notieren als Ergebnis, wie oft wir "Kopf" erhalten haben.

Dieses Zufallsexperiment verbindest du sicherlich sofort mit der besagten Binomialverteilung.
Es gibt aber auch ganz andere Zufallsexperimente mit dieser Verteilung:

Zufallsexperiment 2: Wir nehmen ein Glücksrad mit 8 gleich großen Feldern. Wir beschriften je ein Feld mit den Zahlen 0 und 3 und je drei Felder mit den Zahlen 1 und 2.
Das Zufallsexperiment besteht nun darin, das Glücksrad einmal (!) zu drehen und von dem Feld, auf dem das Glücksrad stehen bleibt, die darauf geschriebene Zahl als Ergebnis abzulesen.
Auch bei diesem Zufallsexperiment liegt eine Binomialverteilung zu den Parametern $n=3$ und $p=0,5$ vor (wie man nachrechnen kann)!


2. Wenn wir ein Zufallsexperiment aus der Realität durch eine Verteilung (egal welche genau) beschrieben haben, können wir damit immer die gleichen Fragen beantworten, z.B.  "Wie wahrscheinlich ist das Auftreten einer gewissen Zahl $x$ bei diesem Zufallsexperiment?" oder "Wie wahrscheinlich ist das Auftreten einer Zahl aus einem gewissen Intervall $I$?"
Insofern beantworten alle Verteilungen (egal ob z.B. diskret oder stetig) im Grunde die gleichen Fragen.

In gewisser anderer Hinsicht beantworten unterschiedliche Verteilungen hingegen auch unterschiedliche Fragen:
Unterschiedliche Verteilungen beschreiben auch unterschiedliche Zufallsexperimente in der Realität.
(Dies ist völlig unabhängig davon, ob die Verteilungen etwa diskret oder stetig sind.)

Beispiel:
Experiment 3 bestehe darin, ein Bernoulli-Experiment 5-mal durchzuführen und die Trefferanzahl als Ergebnis zu notieren.
Experiment 4 bestehe darin, die Körpergröße eines (!) zufällig ausgewählten Menschen in cm als Ergebnis zu notieren.
Experiment 3 sei durch eine Binomial-Verteilung beschrieben und Experiment 4 durch eine Normalverteilung.
Betrachten wir zu Erklärungszwecken mal ein festes Intervall $I$.
Dann liefert die erwähnte Binomial-Verteilung unter anderem die Wahrscheinlichkeit, dass die Trefferanzahl bei Experiment 3 in I liegt, während die Normalverteilung unter anderem die Wahrscheinlichkeit liefert, dass  die Körpergröße (in cm) bei Experiment 4 in I liegt.

Fazit von 2.: Alle Verteilungen (ob nun etwa diskret oder stetig) haben viel gemeinsam.


3. Die von dir angesprochenen graphischen Veranschaulichungen von stetigen und diskreten Verteilungen haben hingegen ziemlich unterschiedliche Bedeutungen. Wenn ich sie im einzelnen vergleichend erläutern soll, gib mir bitte Bescheid.


4. Normalverteilungen sind aus meiner Sicht idealisierte mathematische Objekte, die Zufallsexperimente aus der Realität nur näherungsweise beschreiben.

a) Beispielsweise nimmt man (wie von dir erwähnt) häufig die Körpergröße eines zufällig ausgewählten Menschen eines festen Alters als normalverteilt an.
Wäre diese Annahme nicht nur eine Näherung, gäbe es eine (zwar kleine, aber doch) positive Wahrscheinlichkeit, dass ein Mensch eine negative Körpergröße hätte, was uns in der Realität doch eher ausgeschlossen erscheint... ;-)

b) In der Praxis wird man Körpergrößen sicherlich nicht genauer als auf Zehntel-Millimeter genau messen.
Daher ist die so gemessene Körpergröße eines Menschen eigentlich diskret verteilt.

c) Besonderheit der durch stetige Verteilungen gegebenen mathematischen Objekte (wie z.B. den Normalverteilungen) ist, dass jeder einzelne Punkt Wahrscheinlichkeit 0 erhält, aber Intervalle trotzdem positive Wahrscheinlichkeit haben können.
(Aus meiner Sicht haben kennen wir nichts Entsprechendes in der Realität.)

(Ich gehe sogar soweit zu behaupten, dass alle mir bekannten Zufallsexperimente aus der Realität nur endlich viele mögliche Ergebnisse haben.)

Trotz dieser mangelnden Entsprechung der Normalverteilung in der Realität kann die Normalverteilung eine gute Approximation der Realität sein; häufig haben wir keine bessere sinnvolle Approximation.
Außerdem hat die Normalverteilung als mathematisches Objekt schöne Eigenschaften.


5. Dass gewisse Binomialverteilungs-Wahrscheinlichkeiten (von Intervallen) gut durch gewisse entsprechende Normalverteilungswahrscheinlichkeiten angenähert werden können, ist keineswegs offensichtlich, sondern ein beweisbedürftiger mathematischer Zusammenhang.


Nun zu deinen konkreten Fragen:


> Eine Binomialverteilung ist
> ja die Verteilung, die bei einer Bernoulli-Kette vorliegt.
> Also im Wesentlichen geht es um Treffer oder Fehlschlag.
> Auf der x-Achse findet sich dann jedoch die Anzahl der
> Treffer und darauf basiert ja die Verteilung.

Die Anzahl der Treffer von $n$ unabhängig durchgeführten Bernoulli-Experimenten mit übereinstimmender Treffer-Wahrscheinlichkeit $p$ ist in der Tat binomialverteilt zu den Parametern $n$ und $p$.
Nicht jedes Zufallsexperiment mit Binomialverteilung muss jedoch diese Gestalt haben, wie mein obiges Zufallsexperiment 2 unter Punkt 1. zeigt.

Zur graphischen Darstellung siehe mein Punkt 3.


> Bei der Normalverteilung habe ich ja aber eine stetige
> Zufallsgröße, d. h. z. B. die Körpergröße von Menschen
> oder etwas Ähnliches. Aber hier interessiert mich doch
> dann etwas völlig anderes.

Eine Normalverteilung kann eben sowohl ein Zufallsexperiment "Körpergröße einer zufälligen Person festen Alters" als auch ein binomialverteiltes Zufallsexperiment näherungsweise beschreiben.


> Auf der x-Achse ist dann die
> jeweilige Zufallsgröße abgetragen, oder nicht?
> Also z. B. die Körpergröße.

Auf der x-Achse sind die möglichen Werte der Zufallsgröße (z.B. alle denkbaren Körpergrößen) abgetragen, nicht die Zufallsgröße selbst.


> Und nicht mehr die Anzahl der Treffer
> für eine ganz bestimmte Körpergröße.

Es handelt sich ja auch um zwei verschiedene Zufallsexperimente, die durch die beiden Verteilungen beschrieben werden (siehe meine Punkte 2.).
Außerdem haben die "y-Werte" der graphischen Veranschaulichungen bei diskreten und stetigen Verteilungen unterschiedliche Bedeutungen (siehe meinen Punkt 3.).


> Und mich
> interessiert dann also nicht, wie oft ich da für jede
> Größe wie viele Treffer haben könnte, was ja auch schwer
> möglich ist, da die Zufallsgröße ja stetig ist und ich
> das gar nicht für jede Größe ermitteln könnte, richtig?

Hm, du kannst alle möglichen Zufallsexperimente betrachten, aber das sind eben unterschiedliche Zufallsexperimente mit unterschiedlichen Verteilungen: Du kannst z.B. eine oder mehrere Körpergrößen ermitteln; du kannst die Körpergröße(n) als Ergebnis notieren oder, wie oft gewisse Körpergrößen oder gewisse Körpergrößen in vorgegebenen Intervallen auftreten oder ...


> Daher geht es dann hier eher um die Fragestellung, wie viel
> Prozent mindestens die Körpergröße XY haben, oder nicht?

Du kannst auch bei 5-facher Durchführung eines Bernoulli-Experimentes analog fragen, wie wahrscheinlich es ist, mindestens XY Treffer zu erzielen.
Umgekehrt kannst du auch fragen, wie wahrscheinlich es ist, dass jemand genau Körpergröße XY hat, erhältst darauf aber bei Normalverteilungs-Annahme die (meiner Meinung nach unbefriedigende) Antwort, dass diese Wahrscheinlichkeit 0 betrage. (Siehe meinen Punkt 4.)


> Wieso lässt sich dann die Binomialverteilung für große  
> n durch die Normalverteilung annähern, wenn doch die
> Fragestellung eigentlich eine ganz andere ist, bzw. das
> Histogramm auch eigentlich ganz anders aufgebaut ist?

Siehe meinen Punkte 2.
Die Fragestellungen sind in gewisser Hinsicht durchaus die gleichen.
Und selbst die gleiche Verteilung kann unterschiedliche Fragen beantworten (siehe Zufallsexperimente 1 und 2 unter 1.)


> Auch zu den Begriffen stetige und diskrete Zufallsgröße
> habe ich noch eine Frage. Wenn man z. B. für die
> Binomialverteilung den Münzwurf nimmt. Dann  wäre X ja z.
> B. Anzahl von "Kopf". Könnte ich nicht genau das auch für
> die eigentlich stetige Zufallsgröße Körpergröße machen
> und "Anzahl der "Körpergröße 1,85m" als abzählbare
> Ergebnismenge aufschreiben (dann wäre es doch eine
> diskrete Zufallsgröße, oder nicht?)

Genau, das kannst du tun und du würdest in der Tat eine diskrete Zufallsgröße erhalten.

Nimmst du jedoch die einzelnen Körpergrößen als normalverteilt an, beträgt die Wahrscheinlichkeit für "Körpergröße genau 1,85m" bei dem Bernoulli-Experiment leider 0!
Damit ist auch die Wahrscheinlichkeit, dass unter 1.000.000 Leuten überhaupt mindestens einer Körpergröße genau 1,85m hat, leider 0!
Daher würde die von dir betrachtete diskrete Zufallsgröße "Anzahl der Körpergrößen von genau 1,85m" mit Wahrscheinlichkeit 1 den Wert 0 annehmen.
Das sind eben die Kehrseiten der Normalverteilungsannahme. (Siehe meinen Punkt 4.)

> (es wäre dann zwar
> Ziehen ohne Zurücklegen, aber wenn die Gesamtheit groß
> genug ist, dürfte dieser Aspekt ja eigentlich zu
> vernachlässigen sein)?

OK. Im Zweifelsfall lässt du eben zu, dass mehrmals die Körpergröße der gleichen Person gemessen wird.


> Also indem ich sozusagen gar nicht
> mehr schaue, wie viele Leute bei einer Umfrage genau 1,85m
> sind, sondern eher, wie viele mindestens 1,85m sind, habe
> ich doch eine völlig andere Fragestellung bei der
> Normalverteilung als bei der Binomialverteilung?

Wie gesagt: Bei beiden Verteilungen kannst du fragen, wie wahrscheinlich ein einzelner Wert ist (wenn auch die stetigen Verteilungen da die unbefriedigende Antwort 0 liefern), oder fragen, wie wahrscheinlich ein Wert größer oder gleich einer festen Zahl (z.B. 1,85) ist.


> Wieso kann
> ich die dann als Näherung benutzen?

Nichttriviales mathematisches Resultat. (Siehe meine Punkt 5.)

Soll ich im Einzelnen angeben, welche Art von Binomialverteilungs-Wahrscheinlichkeiten durch welche entsprechenden Normalverteilungs-Wahrscheinlichkeiten sinnvoll genähert werden können?


> Und eigentlich ist es
> ja so, dass die Wahrscheinlichkeit für ein
> "Einzelereignis" bei der Normalverteilung ca. 0% ist, aber
> wenn ich nun wirklich eine sehr, sehr große Menge an
> Menschen befragen würde, wäre das ja nicht der Fall?

Doch, die Wahrscheinlichkeit, dass in einer (endlichen) Menschenmenge jemand von Körpergröße genau (!) 1,85m dabei ist, beträgt bei Normalverteilungsannahme genau 0%.
Siehe dazu meinen Punkt 4. c).

  

> Also irgendwie betrachte ich ja zwei völlig
> unterschiedliche Sachen: zum einen eine Anzahl für
> Treffer, zum anderen jedes "Ereignis" einzeln...

Mehrfaches Durchführen von Bernoulli-Experimenten und Ermitteln einer Körpergröße sind eben unterschiedliche Zufallsexperimente.


> Und theoretisch ist es zwar so, dass ein Mensch jede
> Größe annehmen könnte (auch wenn es vielleicht gewisse
> Grenzen gibt), aber in der Praxis, wenn ich wirklich die
> gesamte Menschheit untersuchen würde, dann würde ich doch
> die Menge auch abzählen können?

In der Tat. Siehe meinen Punkt 4..


Viele Grüße
Tobias

Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 Di 09.05.2017
Autor: Paul88

Vielen, vielen Dank für die sehr ausführlichen Antworten!

Die Gemeinsamkeiten der beiden Verteilungen waren mir im Großen und Ganzen eigentlich klar, auch wenn ich mich manchmal vielleicht etwas flüchtig oder ungeschickt ausgedrückt habe. Trotzdem noch einmal danke für die Anmerkungen diesbezüglich!

Das zweite Zufallsexperiment, dass du beschrieben hast, verstehe ich nicht :/
Wieso liegt bei dem denn eine Binomialverteilung vor und warum ist n=3 und p=0.5? Es geht doch in dem Experiment gar nicht um Treffer oder Fehlschlag? Also um eine BINOMIALverteilte Größe? Oder stehe ich nun völlig auf dem Schlauch?! :)

Genau, mit den graphischen Darstellungen bzw. Histogrammen habe ich meine Schwierigkeiten, da diese ja gänzlich anders sind und trotzdem gerade hier der Vergleich bzw. die Annäherung durch die Kurve stattfindet. Dennoch habe ich meinen wesentlichen Denkfehler diesbezüglich nun glaube ich erkannt! Mir ist dennoch noch nicht alles an den Histogrammen zur Normalverteilung klar. Beispielsweise verstehe ich nicht, wieso in manchen Schulbüchern der gleiche Sachverhalt bzw. die gleiche Verteilung in zwei verschiedenen Histogrammen dargestellt wird, die sich insofern unterscheiden, als dass bei dem einen Histogramm auf der y-Achse die Anzahl eines bestimmten Merkmals abgetragen ist und in dem anderen Histogramm, das ansonsten völlig identisch ist, hingegen die Häufigkeitsdichte anstatt der Anzahl auf der y-Achse abgetragen ist. Aber auch in dem Diagramm mit der Anzahl auf der y-Achse kann ich doch den Graphen der Dichtefunktion einzeichnen – diese gibt ja aber nicht die Anzahl, sondern die Häufigkeitsdichte aus. Und das verstehe ich z. B. auch nicht.
Generell habe ich ein bisschen Probleme, mir etwas unter der Häufigkeitsdichte vorzustellen. Ich habe versucht, das Ganze mit der Einwohnerdichte zu vergleichen, aber das wäre ja eher bei absoluten Häufigkeiten anschaulich und weniger bei relativen Häufigkeiten.

Vielen Dank schon eimal für alle weitern Antworten!
Paul88


Bezug
                        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mi 10.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Hiho,

den größten Teil der Antwort überlasse ich mal tobi :-)

Aber ein großes Verständnisproblem kann ich bei dir schon auflösen:

> Das zweite Zufallsexperiment, dass du beschrieben hast,
> verstehe ich nicht :/
>  Wieso liegt bei dem denn eine Binomialverteilung vor und
> warum ist n=3 und p=0.5? Es geht doch in dem Experiment gar
> nicht um Treffer oder Fehlschlag? Also um eine
> BINOMIALverteilte Größe? Oder stehe ich nun völlig auf
> dem Schlauch?! :)

Genau darum ging es tobi mit dem Beispiel: Die Binomialverteilung hat per se erst mal nichts mit irgendwelchen Treffern oder Fehlschlägen zu tun.
Das "Treffer vs. Fehlschlag" - Prinzip ist eben nur ein Modell, sich die Binomialverteilung anschaulich vorzustellen.

Rein formal ist die Binomialverteilung nur "eine Verteilung" mit der Eigenschaft, dass die Wahrscheinlichkeit jeden Wert $k\in\IN$ zu erhalten gerade genau ${\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}$ ist, für ein $n\in\IN$ und ein $p\in [0,1]$.

Ein Modell dafür ist das von dir angesprochene "Teffer - Fehlschlag - Prinzip", ein anderes Tobis Glücksrad (wenn auch dort nur im Fall n=3, p=0.5).

Dass Tobis Modell wirklich eins für die Binomialverteilung ist, kannst du einfach nachrechnen, indem du mal überlegst, was denn die Wahrscheinlichkeit ist beim Glücksrad die 0,1,2 und 3 zu treffen.

Du wirst feststellen, dass es eben genau obige Form hat und damit ist es nach Definition eine Binomialverteilung.

Gruß,
Gono

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Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:34 Mi 10.05.2017
Autor: Paul88

Aber eine Binomialverteilung heißt doch gerade deshalb BInomialverteilung, da es eine Verteilung zu Versuchen ist, die genau zwei mögliche Ergebnisse haben?
Bei dem Glücksrad soll ich doch aber als Ergebnis die Zahl aufschreiben, die ich erzielt habe. Also 0,1,2,3? Die Wahrscheinlichkeit für  0 und 3 ist jeweils 1/8 und die Wahrscheinlichkeit für 1 und 2 ist jeweils 3/8. Der Versuch wird ja auch nur einmal durchgeführt, also wäre n doch 1 und nicht 3? Oder was bezeichnet n dann in diesem Fall, wenn nicht die Anzahl der Versuche?

Stehe ich nun völlig auf dem Schlauch? ;)

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Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:45 Mi 10.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Aber eine Binomialverteilung heißt doch gerade deshalb
> BInomialverteilung, da es eine Verteilung zu Versuchen ist,
> die genau zwei mögliche Ergebnisse haben?

Öhm… nein, wie kommst du auf sowas?
Aus Unwissenheit falsche Schlüsse ziehen führt öfter zur Verwirrung ;-)

Die Binomialverteilung heißt so, weil in ihrer Definition []Binomialkoeffizienten vorkommen, die beim []Binomischen Lehrsatz eine Rolle spielen, der eine Berechnungsformel für Potenzen von []Binomen spielt.

Das "Binomial" in der Verteilung kommt also indirekt von "Binomen", und das nur, weil es eine Summe zweier Monome ist.

>  Bei dem Glücksrad soll ich doch aber als Ergebnis die
> Zahl aufschreiben, die ich erzielt habe. Also 0,1,2,3? Die
> Wahrscheinlichkeit für  0 und 3 ist jeweils 1/8 und die
> Wahrscheinlichkeit für 1 und 2 ist jeweils 3/8.

[ok]

> Der Versuch wird ja auch nur einmal durchgeführt

[ok]

>  also wäre n doch 1 und nicht 3? Oder was bezeichnet n dann in diesem
> Fall, wenn nicht die Anzahl der Versuche?

Das war nicht die Aussage, sondern: Der Glückradversuch entspricht einer Binomalverteilung mit n=3!

Berechne nun doch mal die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von 0,1,2,3 in einer Binomialverteilung mit n=3 und p=0.5!

Gruß,
Gono

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Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:39 Mi 10.05.2017
Autor: Paul88

Ok, warum n formal betrachtet 3 ist habe ich nun doch verstanden, aber wieso p=0,5 ist noch nicht. Und auch nicht, wieso man so etwas als Binomialverteilung betrachten kann, so der Name doch eigentlich etwas anderes meint.

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Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 Mi 10.05.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

lies erst mal meine Antwort…

Gruß,
Gono

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Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:06 Mi 10.05.2017
Autor: tobit09

Hallo nochmal!


> Das zweite Zufallsexperiment, dass du beschrieben hast,
> verstehe ich nicht :/
>  Wieso liegt bei dem denn eine Binomialverteilung vor und
> warum ist n=3 und p=0.5? Es geht doch in dem Experiment gar
> nicht um Treffer oder Fehlschlag? Also um eine
> BINOMIALverteilte Größe? Oder stehe ich nun völlig auf
> dem Schlauch?! :)

Alles Wesentliche dazu hat Gono in seinen meiner Meinung nach sehr guten Antworten bereits genannt!

Ich versuche noch eine weitere Erklärung:


Eine Verteilung ist wie beschrieben eine Zuordnung, die einzelnen Zahlen x, Intervallen I und komplizierteren Zusammenstellungen M von Zahlen eine weitere Zahl zuordnet.
(Damit man wirklich von einer Verteilung spricht, müssen darüber hinaus noch gewisse Anforderungen an diese Zuordnung erfüllt sein.)

Die Binomialverteilung zu den Parametern n=3 und p=0,5 ist die (eindeutig bestimmte) Verteilung, die der Zahl x=0 die Zahl [mm] $\binom{3}{0}0,5^{0}(1-0,5)^{3-0}=\frac18$ [/mm] zuordnet und der Zahl $x=1$ die Zahl [mm] $\binom{3}{1}0,5^{1}(1-0,5)^{3-1}=\frac38$ [/mm] zuordnet und der Zahl $x=2$ die Zahl [mm] $\binom{3}{2}0,5^{2}(1-0,5)^{3-2}=\frac38$ [/mm] zuordnet und der Zahl $x=3$ die Zahl [mm] $\binom{3}{3}0,5^{3}(1-0,5)^3-3=\frac18$ [/mm] zuordnet.

Nicht mehr und nicht weniger!
Mit wiederholt durchgeführten Bernoulli-Experimenten hat diese Binomialverteilung also noch Definition erst einmal nichts zu tun.
Eine Verteilung sagt nur, welchen Zahlen, Intervallen usw. wir welche Wahrscheinlichkeiten zuordnen; sie macht keine Angabe darüber, für welche Zufallsexperimente aus der Realität sie herhalten soll.

Die Binomialverteilung zu $n=3$ und $p=0,5$ eignet sich insbesondere zur Beschreibung der Trefferanzahlen in einer Bernoullikette der Länge 3 mit Trefferwahrscheinlichkeit $p=0,5$.
Genauso eignet sie sich aber auch zur Beschreibung der "erdrehten" Zahl meines Glücksrades.



Deine Fragen zu Histogrammen bezieht sich wohl eher auf deskriptive Statistik und konkrete Versuchsergebnisse als auf Wahrscheinlichkeitstheorie und tatsächliche Wahrscheinlichkeiten.
Leider kenne ich mich zu diesem Thema kaum aus.
Ich lasse daher deine Frage weiterhin als nur teilweise beantwortet markiert.
Vielleicht kann HJKweseleit hier weiterhelfen?


Viele Grüße
Tobias

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Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Mo 08.05.2017
Autor: HJKweseleit

Hier noch 2 Aspekte, die evtl. zusätzlich etwas klären.



Wenn du eine Binomialverteilung mit der W. p immer wieder durchführst und die Zahl n somit vergrößerst, stellst du fest, dass der Buckel mit dem Wert pn immer mehr nach rechts auf dem Zahlenstrahl wandert und die Verteilung immer mehr "zerfließt", also breiter wird (weil es mehr Mgl. gibt), dafür aber immer flacher (weil die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 bleibt und sich auf mehr Mgl. verteilt).

Wenn du nun durch pn eine Achse legst und mit dieser Achse mitwanderst, wirst du feststellen, dass sich die Form der Verteilung mit wachsendem n "irgendwie" nicht verändert.

Stauchst du nun die x-Achse mit der Standardabweichung [mm] \wurzel{npq} [/mm] (also proportional zu [mm] \wurzel{n}) [/mm] so ändert sich die Form in der Breite für große n nicht mehr, wobei aber die Höhe noch sinkt (die W. verteilt sich auf immer mehr Ereignisse). Wenn du jetzt noch die Höhe mit  [mm] \wurzel{npq} [/mm] multiplizierst, stellst du fest, dass auch die Höhen sich nun kaum noch verändern. Das heißt: Die Bilder sehen für große n praktisch alle gleich aus.

Nun kann man diese Kurve durch eine stetige Funktion annähern, die aber eben keiner Statistik entspricht, weil sie stetig ist. Sie ist aber einfacher zu handhaben als die numerische Binomialverteilung, und deshalb benutzt man sie.

Die Mathematiker haben die W.-Rechnung nun ausgeweitet und auf stetige Funktionen übertragen.


Dass sich Körpergrößen in etwa wie eine Gauss-Funktion verhalten, ist durch Auszählungen von Soldaten um 18.. statistisch festgestellt worden. So etwas muss überhaupt nicht sein, aber tatsächlich streuen unheimlich viele Vorgänge in Technik und Natur nach diesem Muster, aber beileibe nicht alle.


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Normalverteilung: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:24 Mi 10.05.2017
Autor: Paul88

Vielen Dank für alle weiteren Antworten. Das hat mir einiges klar gemacht!

Ich formuliere meine Frage zu den Histogrammen nochmal etwas genauer für alle, die mir vielleicht diesbezüglich auch noch weiterhelfen können.

Wenn ich beispielsweise ein Histogramm habe, wie es in Schulbüchern häufig der Fall ist, um die Normalverteilung als Beispiel einer Verteilung einer stetigen Zufallsgröße einzuführen, bei dem auf der x-Achse die einzelnen Werte der stetigen Größe abgetragen sind und auf der y-Achse die Anzahl, also wie häufig jeder Wert jeweils absolut gesehen angenommen wird. Und da möchte ich gerne eine Kurve reinzeichnen, weil man sieht, dass das Histogramm bei immer kleinerer Klasseneinteilung immer mehr die typische Form dieser Kurve annimmt.

Und dann weiß ich aber, wie die Formel der Dichtefunktion eigentlich lautet. Und ich gebe dann diese Formel in den Taschenrechner ein. Dann erhalte ich ja als Werte auf der y-Achse gar nicht die jeweilige Anzahl, sondern die Häufigkeitsdichte zu jedem einzelnen Wert auf der y-Achse.

Was muss ich dann an der Formel ändern, um auf der y-Achse die Anzahl zu erhalten? Um also wirklich die Kurve zu erhalten, die ich in mein Diagramm einzeichnen kann, dass ich mir anschaue im Schulbuch?

Oder liegt das mit den winzigen Werten auf der y-Achse daran, dass di Klasseneinteilung dann einfach unendlich klein ist? Das glaube ich aber eigentlich nicht, denn die Häufigkeitsdichte ist ja etwas anderes als die Anzahl...

Vielen Dank für jede weitere Hilfe!!! :)

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Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:45 Do 11.05.2017
Autor: Paul88

Die Frage hat sich erledigt! Nochmal vielen Dank für die zahlreichen ausführlichen Hilfen! Das hat mir wirklich alles sehr dabei geholfen, das ganze besser zu verstehen!!! :)


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Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:04 Do 11.05.2017
Autor: Paul88

Kann mir vielleicht nochmal jemand die genaue Bedeutung der einzelnen Elemente der Dichtefunktion erklären? Im Prinzip ist mü ja die Verschiebung auf der x-Achse und der Vorfaktor eine Stauchung. Aber wieso diese Faktoren nun genau so aussehen, wie sie in der allgemeinen Form auftreten? Kann mir das vielleicht nochmal jemand anschaulich erklären?

Danke!!!

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Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:22 Do 11.05.2017
Autor: luis52

Moin Paul, ich vermute, du beziehst dich auf eine *Normalverteilung* mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2$. [/mm]

Die "Mutter" aller Normalverteilungen ist die Standardnormalverteilung mit [mm] $\mu=0$ [/mm] und [mm] $\sigma^2=1$. [/mm]  Ihre Dichte ist [mm] $\varphi(z)=\exp(-z^2)/\sqrt{2\pi}$, [/mm] und es gilt [mm] $\varphi(z)>0$ [/mm] fuer alle [mm] $z\in\IR$ [/mm] sowie [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(z)\,dz=1$. [/mm]

Diese schoene Glockenform moechte man in zweierlei Hinsicht verallgemeinern:

1) Die Kurve soll auf der x-Achse  um [mm] $\mu\in\IR$ [/mm] verschoben werden.  Das erreicht man, indem man die Funktion [mm] $f(x)=\varphi(x-\mu)$ [/mm] betrachtet.  Nach wie vor gilt $f(x)>0_$ fuer alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] und [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=1$. [/mm]

2) Die Glocke soll gestaucht oder gestreckt werden.  Das erreicht man im Prinzip, indem man die Funktion [mm] $g(x)=\varphi(x/\sigma)$ [/mm] betrachtet.  Nach wie vor gilt $g(x)>0_$ fuer alle [mm] $x\in\IR$, [/mm] aber [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty} g(x)\,dx=\sigma$. [/mm]  Um die Eigenschaften einer Dichtefunktion zu erzwingen, betrachtet man statt $g(x)_$ die Funktion [mm] $f(x)=\varphi(x)/\sigma$, [/mm] fuer die dann wieder gilt $f(x)>0_$ fuer alle [mm] $x\in\IR$ [/mm] und [mm] $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\,dx=1$. [/mm]

Um beide Eigenschaften zugleich zu erhalten, betrachtet man [mm] $f(x)=\varphi((x-\mu)/\sigma)/\sigma$. [/mm]  Ausgeschrieben ist das die Dichte einer Normalverteilung mit Erwartungswert [mm] $\mu$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma^2$. [/mm]

          

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Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:32 Sa 13.05.2017
Autor: Paul88

Vielen Dank für die ausführliche Antwort, ich habe das wohl immer zu leicht hingenommen mit diesen krummen Faktoren ;). Aber nun, wo ich es Schritt für Schritt nochmal durchgegangen bin, ist es ganz klar! Vielen Dank! Vielleicht für alle, die sich eine ähnliche Frage gestellt haben und dadurch hierauf gestoßen sind:
Bei der Standardnormalverteilung muss es [mm] exp(-z^{2}/2)/\wurzel{2\pi} [/mm] sein und am Ende muss es glaube ich heißen [mm] h(x)=g(x)/\sigma [/mm] und somit dann [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{h(x) dx}=1. [/mm]

Und wenn man ganz von vorne anfangen möchte, dann ist es vielleicht am besten, wenn man sich zu Beginn erstmal klar macht, wieso aus dem Term [mm] exp(-z^2) [/mm] der Term [mm] exp(-z^2/2)/\wurzel{2\pi} [/mm] für die Standardnormalverteilung folgt.

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Normalverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:55 Mo 15.05.2017
Autor: Paul88

Hallo,

ich habe noch eine weitere Frage zu der Normalverteilung. Lässt sich anschaulich am Graphen oder an einem Sachbeispiel erklären, weshalb gerade die Basis e in der Formel auftaucht und nicht irgendeine andere Zahl als Basis?

Danke und Gruß
Paul88

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Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:51 Mo 15.05.2017
Autor: HJKweseleit


Lies dir zunächst die Abhandlung über den zentralen Grenzwertsatz und dann den über die Gauss-Kurve durch. Beim ersten erfährst du, woher die e-Funktion kommt, beim zweiten, woher die Zahl [mm] \pi. [/mm]

Das ganze ist keine leichte Kost, du musst dir etwas Zeit nehmen, wenn du alles nachvollziehen willst.

[a]Datei-Anhang
[a]Datei-Anhang

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:02 Di 16.05.2017
Autor: Paul88

Vielen Dank! :)

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