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Hallo Zusammen,
Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
| Aufgabe |
Sei [mm]X[/mm] eine [mm]N\left(0,\sigma^2\right)\texttt{-verteilte}[/mm] Zufallsvariable. Zeigen Sie
[mm]P(X \ge x) \le \frac{\sigma}{x\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}}\,\forall x > 0.[/mm]
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Dort steht auch, dies sei eine Verschärfung der Tschebyscheff-Ungleichung. Außerdem ist dort ein Hinweis gegeben, welchem ich zu folgen versuche:
1.) Führen Sie das Problem zuerst auf den Fall [mm]\sigma = 1[/mm] zurück:
Hier muß man also eine lineare Transformation der gegebenen Normalverteilung durchführen:
[mm]P(X \ge x) = 1-P(X < x) = 1-\Phi\left(\frac{x-0}{\sigma}\right) = 1-\int_{-\infty}^{x/\sigma}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}}\,\mathrm{d}t}[/mm]
Stimmt das soweit? Habe ich den Hinweis damit beachtet(, oder doch eher mißverstanden)?
2.) Benutzen Sie dann die Variablentransformation [mm]\eta(\xi) = \frac{\xi^2}{2}[/mm]:
Und bei diesem Teil weiß ich bisher nicht so recht was ich machen soll. Ich muß also etwas für [mm]t[/mm] substituieren, oder? Und was dann?
Danke für eure Hilfe!
Viele Grüße
Karl
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Do 01.06.2006 | | Autor: | DirkG |
Ok, was haben wir bisher:
[mm] $$P(X\geq [/mm] x) = [mm] \int\limits_x^{\infty} [/mm] ~ [mm] \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2\sigma^2}} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}t [/mm] .$$
Jetzt in einem Aufwasch die Substitution [mm] $\eta=\frac{t^2}{2\sigma^2}$. [/mm] Wegen $x>0$ sind auch alle $t>0$,
es folgt [mm] $t=\sigma\sqrt{2\eta}$ [/mm] und daher [mm] $\mathrm{d}t [/mm] = [mm] \frac{\sigma}{\sqrt{2\eta}} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}\eta$ [/mm] und somit
[mm] $$P(X\geq [/mm] x) = [mm] \int\limits_{\frac{x^2}{2\sigma^2}}^{\infty} [/mm] ~ [mm] \frac{1}{2\sqrt{\pi\eta}} e^{-\eta} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}\eta [/mm] .$$
Die Funktion [mm] $\eta \to \frac{1}{2\sqrt{\pi\eta}}$ [/mm] ist monoton fallend, also kann man sie nach oben abschätzen durch den Wert an der unteren Integrationsgrenze:
[mm] $$P(X\geq [/mm] x) [mm] \leq \int\limits_{\frac{x^2}{2\sigma^2}}^{\infty} [/mm] ~ [mm] \frac{1}{2\sqrt{\pi\frac{x^2}{2\sigma^2}}} e^{-\eta} [/mm] ~ [mm] \mathrm{d}\eta [/mm] .$$
Jetzt lässt sich einiges vereinfachen, und dann steht dein gewünschtes Reultat schon da.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:10 Do 01.06.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Dirk!
Zunächst einmal Danke für deine Antwort! Ich werde versuchen noch auf diese Aufgabe zurückzukommen...
Grüße
Karl
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