Normalverteilung: < Statistik (Anwend.) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Aufgabe
$Sei\ X\ Normalverteilt.\ Wie\ [mm] gro\beta\ [/mm] ist:$
$a.\ P(X [mm] \le [/mm] 1,5)$
$b.\ P(X > 0,5)$
$c.\ P(X [mm] \ge [/mm] -2)$
$d.\ P(|X| [mm] \le [/mm] -2)$
$e.\ P(|X| [mm] \ge [/mm] 3)$
$f.\ P(1 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 2)$
$g.\ [mm] P(X^2 [/mm] - 2 X + 2 < 0)$
$h.\ P(exp(X) [mm] \le [/mm] 2)$
$i.\ P(X [mm] \le [/mm] -2)$
$j.\ Suchen\ Sie\ ein\ [mm] c\, [/mm] so\ dass\ P(X [mm] \le [/mm] c)=0,7088$ |
Hi,
ich möchte gerne die obigen Aufgaben verstehen. Zum Teil muss ich die Wahrscheinlichkeit (Fläche die durch das Integral berechnet werden kann) aus der [mm] $\blue{Tabelle\ der\ Standardnormalverteilung}$[/mm] ![[]](/images/popup.gif) hier ablesen, zum Teil aber auch Umformen. Beim Umformen hänge ich dann manchmal.
[mm] $\red{a.}\ [/mm] P(X [mm] \le [/mm] 1,5)=0,93319\ |direkt\ abgelesen$
[mm] $\red{b.}\ [/mm] P(X > 0,5)=1-P(X [mm] \le [/mm] 0,5)=1-0,69146=0,30854$ Ich vermute, dass das die richtige Lösung ist, aber ich verstehe es mathematisch nicht, warum ich hier das größer in ein kleiner gleich umdrehen kann.
[mm] $\red{c.}\ [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] -2)=P(X [mm] \le [/mm] 2)=0,97725$ Wenn ich mir das ganze grafisch veranschauliche, verstehe ich es. Aber wie kann ich diesen Schritt mathematisch begründen?
[mm] $\red{d.}\ [/mm] P(|X| [mm] \le [/mm] -2)=$ Hier hab ich leider keine Idee.
[mm] $\red{e.}\ [/mm] P(|X| [mm] \ge [/mm] 3)=$ Hier hab ich leider keine Idee.
[mm] $\red{f.}\ [/mm] P(1 [mm] \le [/mm] X [mm] \le [/mm] 2)=$ Hier hab ich leider keine Idee.
[mm] $\red{g.}\ P(X^2 [/mm] - 2 X + 2 < 0)=0$ Da diese Funktion doch niemals kleiner als 0 werden kann wegen dem "+2".
[mm] $\red{h.}\ [/mm] P(exp(X) [mm] \le [/mm] 2)=P(X [mm] \le [/mm] ln(2))=P(X [mm] \le [/mm] ln(2))=P(X [mm] \le [/mm] 0,693)=0,75490$
[mm] $\red{i.}\ [/mm] P(X [mm] \le [/mm] -2)=$ Hier hab ich leider keine Idee.
$j.\ Suchen\ Sie\ ein\ [mm] c\, [/mm] so\ dass\ P(X [mm] \le [/mm] c)=0,7088$
|
|
| |
|
Kommt darauf, welchen Wertebereich die Tabelle hat. Meistens sind nur positive Werte x enthalten, dann muss für negative Werte umgerechnet werden. Zum Beispiel
[mm] \Phi(-x) [/mm] = 1- [mm] \Phi(x)
[/mm]
Die Dichtefunktion ist eine glockenförmige Funktion; die ganze Fläche unter der Kurve ist natürlich 1. Im Bereich von [mm] -\infty [/mm] bis 0 ist dann [mm] \bruch{1}{2}; [/mm] entsprechend auch von 0 bis [mm] \infty. [/mm]
zu a) und b) Lösung ok
zu c)
P(X>-2) = 1- [mm] \Phi(-2) [/mm] = 1 - [mm] (1-\Phi(2)) [/mm] = [mm] \Phi(2) [/mm] = 0,97725
zu d) Geht nicht, da Betrag immer positiv, also Wert 0
zu e)
P( |X|>3) = P(X>3) + P(X<-3) = [mm] 1-\Phi(3) [/mm] + [mm] \Phi(-3) [/mm] = 2(1 - [mm] \Phi(3) [/mm] ) =
2*0,00135 = 0,0027
zu f) P(1<X<2) = [mm] \Phi(2) [/mm] - [mm] \Phi(1) [/mm] = 0,97725 - 0,84134 = 0,13591
zu g) geht nicht, da [mm] X^2 [/mm] -2X+2 > 0. Die Begründung ist aber
[mm] X^2 [/mm] -2X+2 = [mm] (X-1)^2 [/mm] +1 also immer> 1
zu h) Lösung richtig
zu i) [mm] \Phi(-2) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(2) [/mm] = 1 - 0,97725 = 0,02275
zu j) Direkt aus Tabelle liest man
[mm] \Phi(x) [/mm] = 0,7088 [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0,55
|
|
|
| |
|
Hi Nicodemus,
> Die Dichtefunktion ist eine glockenförmige Funktion; die
> ganze Fläche unter der Kurve ist natürlich 1. Im Bereich
> von [mm]-\infty[/mm] bis 0 ist dann [mm]\bruch{1}{2};[/mm] entsprechend auch
> von 0 bis [mm]\infty.[/mm]
vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ok meine 2 Vermutungen waren falsch. Jetzt habe ich verstanden, dass die gesamte Fläche unter der Glocke 1 ist. Das ist schon eine wichtige Voraussetzung um solche Aufgaben rechnen zu können bzw. wenn ich mir das grafisch veranschauliche ist das eine Grundvoraussetzung.
Leider habe ich bei deinen Lösungswegen das Problem, dass ich das nicht ganz so nachvollziehen kann. In unseren Vorlesungsunterlagen (die auch recht Mager sind) ist eine einzige Beispielaufgabe, die wird aber anders gelöst als du das tust. Unser Prof. löst es indem, er so lange umformt bis da steht $P(X [mm] \le [/mm] c)$ c ist dabei eine beliebige Zahl.
Ich benötige Rechenregeln wie ich solche Umformungen vornehmen kann. Kannst du oder jemand anders mir welche geben? Mögliche Fälle die umgeformt werden müssen, habe ich weiter unten mal aufgeschrieben.
[mm] $\blue{Tabelle\ der\ Standardnormalverteilung}$[/mm] hier ablesen
> [mm]\Phi(-x)[/mm] = 1- [mm]\Phi(x)[/mm]
Mit dieser Dichte [mm] $\Phi(x)$ [/mm] schreiben wir nichts auf. Daher würde ich es lieber so ähnlich lösen wie es unserer Notation entspricht. Bei uns muss das mit dem "größer gleich" etc. so lange stehen bleiben, bis man Werte für den Ausdruck P(...) schreiben kann. Aber aus dem Zeilenauszug deiner Antwort schließe ich die 1. Regel:
1. Regel [mm] $\red{P(X \le -2)} [/mm] = [mm] \green{1- P(X \le 2)}$ [/mm] Das wäre jetzt eine Regel mit der ich das negative Vorzeichen wegbekomme um ablesen zu können.
2. Regel [mm] $\red{P(X \le 2)} [/mm] = [mm] \green{Direkt\ ablesbar}$
[/mm]
3. Regel [mm] $\red{P(X \ge -2)} [/mm] = [mm] \green{???}$ [/mm] Wie kann ich hier durch Umformen das negative Vorzeichen und das größer gleich in eine Ablesbare Form umwandeln?
4. Regel [mm] $\red{P(X \ge 2)} [/mm] = [mm] \green{???}$ [/mm] Fast das selbe wie oben, hier muss allerdings nur das größer gleich in ein kleiner gleich umgeformt werden.
5. Regel [mm] $\red{P(X > 2)} [/mm] = [mm] \green{???}$ [/mm] Wie kann ich hieraus ein kleiner gleich machen?
6. Regel [mm] $\red{P(X > -2)} [/mm] = [mm] \green{???}$Wie [/mm] kann ich hieraus ein kleiner gleich machen und das negative Vorzeichen entfernen?
7. Regel [mm] $\red{P(X < 2)} [/mm] = [mm] \green{???}$ [/mm] Ich kann nur Werter kleiner gleich ablesen, wie mache ich es in so einem Fall bei dem das "=" fehlt?
8. Regel [mm] $\red{P(X < -2)} [/mm] = [mm] \green{???}$ [/mm] Ich kann nur Werter kleiner gleich ablesen, wie mache ich es in so einem Fall bei dem das "=" fehlt und ein negatives Vorzeichen vorhanden ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 So 08.06.2008 | | Autor: | Blech |
> [mm]\blue{Tabelle\ der\ Standardnormalverteilung}[/mm]
> hier
> ablesen
>
>
> > [mm]\Phi(-x)[/mm] = 1- [mm]\Phi(x)[/mm]
>
>
> Mit dieser Dichte [mm]\Phi(x)[/mm] schreiben wir nichts auf.
[mm] $\Phi$ [/mm] ist nicht die Dichte sondern die Verteilungsfunktion.
[mm] $\Phi(x)=P(X\le [/mm] x)$. Das ist einfach so definiert, weil es praktisch ist, also ist $Phi$ genau, was Du willst. =)
Die Dichte wäre [mm] $\varphi(x)$ [/mm] (oder [mm] $\phi$, [/mm] oder f oder was auch immer =), also gilt [mm] $P(X\le x)=\Phi(x)=\int_{-\infty}^x \varphi(x)\ [/mm] dx$.
> 3. Regel [mm]\red{P(X \ge -2)} = \green{???}[/mm] Wie kann ich hier
[mm] $P(X\le [/mm] x)=P(X<x)$, weil sich das Integral (d.h. die Fläche unter der Kurve) oben nicht ändert, egal ob der Randpunkt drinnen ist oder nicht. (also gilt es übrigens nur für Verteilungen mit Dichte. Bei Würfeln oder Kugeln macht es natürlich einen Unterschied)
Das gilt dementsprechend auch andersrum
[mm] $P(X\ge [/mm] -2)=P(X>-2)$
[mm] $P(X>-2)+P(X\le [/mm] -2)=1$, weil X garantiert entweder größer 2 oder kleiner gleich 2 ist.
Und dann wieder mit der [mm] $\Phi(x)=1-\Phi(-x)$ [/mm] Formel.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 Fr 01.08.2008 | | Autor: | muse |
Hallo!
Ich begreife einfach nicht wie ich $ [mm] \Phi(-2) [/mm] $ berechne?
Und das ist kein Scherz!
Was muss ich denn zur Berechnung in meinen Taschenrechner eingeben?
Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Fr 01.08.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo!
>
> Ich begreife einfach nicht wie ich [mm]\Phi(-2)[/mm] berechne?
Das ist doch die Fläche unter der Glockenkurve von [mm] -\infty [/mm] bis -2. Diese Fläche ist wegen der Symmetrie der Glockenkurve genau so groß wie die Fläche zwischen +2 und [mm] +\infty. [/mm] Da die Gesamtfläche unter der Glockenkurve den Wert 1 hat, ist die Fläche zwischen +2 und [mm] +\infty [/mm] gleich 1 minus (Fläche zwischen [mm] -\infty [/mm] und +2).
Also: [mm] \Phi(-2) [/mm] = [mm] 1-\Phi(2)
[/mm]
Gruß Abakus
> Und das ist kein Scherz!
> Was muss ich denn zur Berechnung in meinen Taschenrechner
> eingeben?
>
> Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 Fr 01.08.2008 | | Autor: | muse |
also ich glaub ich hab das sprichwörtliche brett vorm kopf :-(
die aufgabenstellung ist folgende:
Die Lebensdauer eines Pc´s (in Jahren) sei approximativ normal verteilt mit Mittelwert 2,9 und Varianz 1,96.
a) Wie hoch ist der Anteil der Rechner, die im ersten Jahr ausfallen?
b) Wie hoch ist der Anteil der Rechner, die 4 und mehr Jahre überleben?
c) Wie hoch íst der Anteil der Rechner, die wenigstens 2 Jahre überdauern?
d) Wie hoch ist der Anteil der Rechner, die mehr als 2,5 Jahre, aber weniger als 4 Jahre überdauern?
e) Falls der Hersteller eine Garantie so festsetzen möchte, dass dadurch nur 5 % der Rechner ersetzt werden, wie hoch ist die Garantie dauer?
Ok, ich hab mir also gedacht :
(x 2,9) / [mm] \wurzel{1,96}
[/mm]
a) dann komme ich auf -1,357
und müsste jetzt ja 1- $ [mm] \Phi(-1,357) [/mm] $ berechnen
Aber ich weiß noch immer nicht, in welche Formel ich da einsetzen müsste??????
was das graphisch bedeutet weiß ich, aber wie setze ich das in der Formel um?
Eigentlich müsste man doch das Integral benutzen und die Stammfunktion finden
Aber wie mache ich das hier?
b) Hier komme ich durch einsetzen von 4 ind die Formel auf 0,786, mit Gegenwahrscheinlichkeit auf 0,216
c) Hier komme ich auf -0,6428 und scheitere wieder am selben Problem wie bei a)
d) Hier habe ich den Wert 4 in die Formel oben eingesetzt, und das Integral in den Grenzen von [mm] \integral_{2,5}^{4} [/mm] abgezogen
e) Verstehe ich leider gar net, oder müsste ich da wieder die Stammfunkton finden, die 0,05 ergibt?
Sorry, wg der ganzen Fragen, aber ich glaub ich seh sprichwörtlich den Wald vor lauter Bäumen net 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Fr 01.08.2008 | | Autor: | Blech |
$ [mm] \Phi(x)=1-\Phi(-x) [/mm] $
Das hatten wir oben schon mit Erklärung, warum es so ist. Wenn Du's graphisch verstanden hast, dann schau's Dir da an. Die 1 ist die Fläche unter der gesamten Kurve.
> a) dann komme ich auf -1,357
das stimmt.
> und müsste jetzt ja $1- [mm] \Phi(-1.357) [/mm] $ berechnen
Nein. Die Zufallsvariable ist die Lebensdauer der PCs. Der Anteil, der im ersten Jahr ausfällt, ist der Anteil, der eine Lebensdauer von 1 Jahr oder weniger hat, d.h. [mm] $P(X\le 1)=\Phi(-1.357)=1-\Phi(1.357)\approx [/mm] 1-0.913$, mit der Tabelle von Wikipedia.
> b) Hier komme ich durch einsetzen von 4 ind die Formel auf 0,786, mit Gegenwahrscheinlichkeit auf 0,216
dementsprechend ist hier die Gegenwahrscheinlichkeit, was gesucht ist [mm] ($P(X>4)=P(X\geq [/mm] 4)$). Die stimmt auch.
> d) Hier habe ich den Wert 4 in die Formel oben eingesetzt, und das Integral in den Grenzen von $ [mm] \integral_{2,5}^{4} [/mm] $ abgezogen
Welches Integral?
Du mußt beide Grenzen in [mm] $\frac{(x - 2.9)}{\wurzel{1.96}}$ [/mm] einsetzen, damit Du das Integral über die Dichte der Standardnormalverteilung (und damit die Tabelle für [mm] $\Phi$ [/mm] hernehmen kannst). Wenn Du von 2.5 bis 4 integrierst, dann über die Dichte der [mm] $\mathcal{N}(2.9,1.96)$ [/mm] Verteilung, d.h. der Normalverteilung mit Erwartungswert 2.9 und Varianz 1.96. Dafür hast Du aber keine Tabelle.
[mm] $$P(2.5\leq X\leq [/mm] 4) = [mm] P\left(\frac{(2.5 - 2.9)}{\wurzel{1.96}}\leq \frac{(X - 2.9)}{\wurzel{1.96}}\leq \frac{(4 - 2.9)}{\wurzel{1.96}}\right) =\Phi\left(\frac{(4 - 2.9)}{\wurzel{1.96}}\right)-\Phi\left(\frac{(2.5 - 2.9)}{\wurzel{1.96}}\right)$$
[/mm]
> e) Verstehe ich leider gar net, oder müsste ich da wieder die Stammfunkton finden, die 0,05 ergibt?
Nicht die Stammfunktion, aber den Wert, ja.
Du suchst das größte y, so daß [mm] $P(X\leq y)\leq [/mm] 0.05$, d.h. die Wahrscheinlichkeit, daß X kleiner oder gleich y ist (=Lebensdauer ist kürzer als Garantiedauer...) ist kleiner oder gleich 0.05 (... bei höchstens 5% der Geräte). Das größte y, weil die Garantiedauer die Leute ja beeindrucken soll.
Jetzt kannst Du Dir dieses y aus der Tabelle für [mm] $\Phi$ [/mm] raussuchen, oder eine Tabelle für die Quantilsfunktion der Standardnormalverteilung verwenden, die Dir genau das liefert. Z.B. hier (unter der Tabelle mit der Verteilungsfunktion).
ciao
Stefan
|
|
|
|
