Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine kurze Frage zur Verteilung von Zufallsvariablen.
Wenn ich zwei reelle Zufallsvariablen habe , z.B. X und Y. Welche beide standard normalverteilt sind.
Wie ist dann die Verteilung von X+Y??
(Es soll X+Y Normalverteilt sein mit Varianz 2 aber warum?)
Grüße
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe eine kurze Frage zur Verteilung von
> Zufallsvariablen.
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> Wenn ich zwei reelle Zufallsvariablen habe , z.B. X und Y.
> Welche beide standard normalverteilt sind.
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> Wie ist dann die Verteilung von X+Y??
> (Es soll X+Y Normalverteilt sein mit Varianz 2 aber
> warum?)
Das findest du heraus, wenn du nach "Faltung von Zufallsvariablen" suchst. Bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia zum Beispiel steht es da. Die Idee ist Folgende: Man kann die Verteilungsfunktion ausrechnen:
[mm] $f_{X+Y}(z) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^{\infinity}f_{X}(t)*f_{Y}(z-t)dt$
[/mm]
Grüße,
Stefan
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Hallo,
erstmal vielen Dank für deine Antwort. Mit der Faltung habe ich es geschafft die richtige Lösung zu bekommen. Aber ich habe eine Frage und zwar ist nach definition die Faltung nur für unabhängige Zufallsvariablen definiert.
Doch soll ich nun auch zeigen, dass X, Y zwar unkorrelier aber nicht stochastisch unabhängig ist.
Würde das nicht bedeuten, dass man hier die Faltung gar nicht anwenden darf??
Ich bin etwas verwirrt.
Kann mir das einer erklären?
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Hi
irgendwie ist dein problem nicht so ganz klar...
du kannst sogar zeigen dass in diesem fall aus unkorreliertheit unabhängigkeit folgt, was ja im allgemeinen nicht so ist.
das liegt an deiner speziellen kovarianzmatrix und daran dass X,Y u.a , genau dann wenn die Dichten faktorisieren.
ich hoffe das beantwortet dein problem
gruß Moritz
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Du meinst also dass zwei normalverteilte Zufallsvariablen X,Y mit Erwartungswert 0 und Var/Y)=1 stets stochastisch unabhängig sind?
Das würde bedeuten, dass unsere Übungsaufgabe falsch gestellt ist!
Liebe Grüße
raubkätzchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:01 Mo 07.06.2010 | | Autor: | pokermoe |
in deinem ersten beitrag hast du doch standartnormalverteilungen als gegeben angenommen , oder ?
schau die mal bei wikipedia mehrdim. normalverteilung an und schau dann wie das mit deiner kovarianzmatrix zusammenhängt.
gruß
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Also ich habe mir das Angesehen und da steht, dass wenn die Komponenten [mm] X_i [/mm] paarweise unkorreliert sind, dass sie dann auch paarweise st. unabhängig sind.
Aber In unserem Fall sind X und Y standardnormalverteilt. Die gemeinsame Verteilung muss doch aber gar nicht standard-normalverteilt sein, oder?
Es gilt doch, dass X, Y unkorreliert sind gdw. E[X*Y]=0.
Und X,Y ist st. unabhängig gdw. E[X [mm] \cap [/mm] Y]=E[X]*E[Y]=0
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Hi
Ich weiß ich natürlich nicht genau wie ihr unabh. und unkorr. definiert habt.
ich kenne es so : X, Y u.a., wenn P(X<x,Y<y)=P(X<x)*P(Y<y) für alle x,y aus IR
(Das ist äquivalent dazu, dass die W#keiten für alle Borelschen Mengen faktorisiert, da (-inf,x) die borelsche sigmaalgebra erzeugt)
Y,X sind u.k. , falls Kov(X,Y)=0 (das ist natürlich dazu äquivalent, dass der Korellationskoeffizient Null ist?
Dann gibt es einen Satz, der sagt, dass X,Y u.a GENAU DANN WENN
h(x,y)=f(x)*g(x) wobei h die gemeisame Dichte , f die Dichte von X und g die Dichte von Y ist.
Oben hast du geschrieben man hat unkorrelierte standardnormalverteilte ZVA.
wie sieht dann die kovarianzmatrix aus ?
was kann man daraus schließen ?
Gruß Moritz
PS: Die Faltungsformel gilt im Allgemeinen nicht , wenn die ZVAs nicht u.a sind. Bei der mehrdimensionalen Standardnormalverteilung ist das ein Sonderfall, den man sich merken sollte !
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