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| Aufgabe | | Einen Maschine zum Befüllen von Lackdosen ist auf einen Mittelwert von [mm] \mu [/mm] = 755g und eine Standartabweichung von sigma= 5 g eingestellt. |
a) wie viel % haben min. 745g?
hier hab ich so gerechnet:
[mm] \bruch{745-755}{5} [/mm] = -2 phi (-2)= 97,72%
b) wie viel % haben höchstens 762g
hier hab ich so gerechnet:
[mm] \bruch{762-755}{5} [/mm] = 1,4 phi (-2)= 91,92%
c) wie viel % haben zwischen 748g und 762g
hier hab ich so gerechnet:
[mm] \bruch{748-755}{5} [/mm] = -1,4 phi (-1,4)= 0,0808
[mm] \bruch{762-755}{5} [/mm] = 1,4 phi (1,4)= 0,9192
0,9192 -0,0808 = 83,84%
d) wie viel % haben zwischen 746g und 760g
hier hab ich so gerechnet:
[mm] \bruch{760-755}{5} [/mm] = 1 phi (1)= 0,8413
[mm] \bruch{746-755}{5} [/mm] = -1,8 phi (-1,8)= 0,0359
0,8413 -0,0359 = 80,54%
e) Wie müsste die Aufschrift lauten wenn höchstens 2% der Dosen untergewichtig sein sollen
hier hab ich leider nur den Ansatz:
(x> 745)>0,98
aber wie ich das mache das nur unten die 2% weiß ich nicht!
kann mir da jemand weiterhelfen?
f)In welchem Bereich um den Mittelwert liegen 99% der Dosen
(x1<x<x2) > 0,99
z1,2: [mm] \pm [/mm] 2,58
x1 = z1*sima + [mm] \mu [/mm] = 767,9
x2 = z2*sima + [mm] \mu [/mm] = 742,1
also zwischen 742 und 768
Wäre jemand so nett und sagt mir ob ich das richtig gelöst haben? Ich habe leider keine Löungen!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo
> Einen Maschine zum Befüllen von Lackdosen ist auf einen
> Mittelwert von [mm]\mu[/mm] = 755g und eine Standartabweichung von
> sigma= 5 g eingestellt.
> a) wie viel % haben min. 745g?
>
> hier hab ich so gerechnet:
> [mm]\bruch{745-755}{5}[/mm] = -2 phi (-2)= 97,72%
Ja, richtig gerechnet. Aber trotzdem falsch aufgeschrieben
1-phi(-2) = 97.72%
> b) wie viel % haben höchstens 762g
>
> hier hab ich so gerechnet:
> [mm]\bruch{762-755}{5}[/mm] = 1,4 phi (-2)= 91,92%
Das ist okay so. Aber eigentlich phi(1.4) statt phi(-2)
>
>
> c) wie viel % haben zwischen 748g und 762g
>
> hier hab ich so gerechnet:
> [mm]\bruch{748-755}{5}[/mm] = -1,4 phi (-1,4)= 0,0808
>
> [mm]\bruch{762-755}{5}[/mm] = 1,4 phi (1,4)= 0,9192
>
> 0,9192 -0,0808 = 83,84%
>
Jup.
> d) wie viel % haben zwischen 746g und 760g
Bis auf die Zahlenwerte, wo ist hier eigentlich der Unterschied zu Aufgabe c?
> hier hab ich so gerechnet:
> [mm]\bruch{760-755}{5}[/mm] = 1 phi (1)= 0,8413
>
> [mm]\bruch{746-755}{5}[/mm] = -1,8 phi (-1,8)= 0,0359
>
> 0,8413 -0,0359 = 80,54%
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> e) Wie müsste die Aufschrift lauten wenn höchstens 2% der
> Dosen untergewichtig sein sollen
>
> hier hab ich leider nur den Ansatz:
> (x> 745)>0,98
> aber wie ich das mache das nur unten die 2% weiß ich
> nicht!
> kann mir da jemand weiterhelfen?
Ich hatte gerade ein paar Fragezeichen bei der Aufgabenstellung, was eigentlich gefragt ist.
Du hast doch eine Normalverteilung bzw. eine Gaußkurve gegeben. Den Mittelwert kennst du und auch die Schwankung/Standardabweichung.
Zur Zeit steht auf dem Etikett, dass in der Dose 755g Farbe enthalten ist. In deiner Gaußkurve suchst du jetzt den Punkt "x", an dem P(X [mm] \le [/mm] x) = 0.02 =2% ist.
Das analogon dazu ist natürlich $1 - P(X [mm] \le [/mm] x) = P(X > x) = 0.98$ , wie du auch schon erkannt hast.
Ich hantiere hier gerade selbst noch an der Lösung rum, die sollte in etwa sein 744.74
Ich erhalte nicht exakt das Ergebnis, sondern 744.7. Was mich persönlich stört. Vielleicht liegt es an der Tabelle, die mir vorliegt.
Wie ich drauf komme (und auch schwer nachzuvollziehen finde)
Wie gesagt, wir wollen
[mm] $P(X\le [/mm] x) = 0.02$ berechnen.
Das machen wir doch so:
[mm] $P(X\le [/mm] x) = [mm] \Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] = 0.02$
Jetzt hab ich mir gedacht, damit 2% der Dosen nur untergewichtig sind, muss unser "x" in gramm doch kleiner als der Mittelwert sein. In dem anderen Thread wurde ja schon gesagt, dass P(X > 755) = P(X [mm] \le [/mm] 755) = 1/2 ist.
So kannst du dir vorstellen, dass man weiter nach "links" vom Mittelwert muss, geht man in der Gaußkurve nach rechts, werden die Werte von P(...) größer.
Deshalb gilt, dass das Innere von [mm] $\Phi(\frac{x-755}{5})$ [/mm] doch negativ wird, denn x-755 wird negativ.
Und bei der Normalverteilung gilt diese Formel, die man jetzt ausnutzt:
[mm] $\Phi(-z) [/mm] = 1 -Phi(z)$
Deshalb gilt jetzt, und das ist das Schwierige
[mm] $1-\Phi(\frac{755-x}{5}) [/mm] = 0.02$
und damit
[mm] $\Phi(\frac{755-x}{5}) [/mm] = 0.98$
Jetzt guckt man in die Tabelle, wo ist Phi(z) = 0.98
Das ist bei z = 2.06, na eigentlich ist dann schon [mm] \Phi(2.06) [/mm] = 0.9803 (vielleicht ergibt sich dadurch mein Rundungsfehler)
Du musst jetzt also noch lösen
[mm] $\frac{755-x}{5} [/mm] = 2.06$
Dann erhälst du $x = 744.7$
> f)In welchem Bereich um den Mittelwert liegen 99% der
> Dosen
>
> (x1<x><x2)> 0,99
>
> z1,2: [mm]\pm[/mm] 2,58
Ok, für den z-Wert fehlt mir gerade eine Tabelle :(
> x1 = z1*sima + [mm]\mu[/mm] = 767,9
> x2 = z2*sima + [mm]\mu[/mm] = 742,1
>
> also zwischen 742 und 768
Ja, das Ergebnis stimmt!
>
> Wäre jemand so nett und sagt mir ob ich das richtig
> gelöst haben? Ich habe leider keine Löungen!
</x2)></x>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:18 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Disap |
> Das machen wir doch so:
>
> [mm]P(X\le x) = \Phi(\frac{x-755}{5}) = 0.02[/mm]
>
> Jetzt hab ich mir gedacht, damit 2% der Dosen nur
> untergewichtig sind, muss unser "x" in gramm doch kleiner
> als der Mittelwert sein. In dem anderen Thread wurde ja
> schon gesagt, dass P(X > 755) = P(X [mm]\le[/mm] 755) = 1/2 ist.
> So kannst du dir vorstellen, dass man weiter nach "links"
> vom Mittelwert muss, geht man in der Gaußkurve nach
> rechts, werden die Werte von P(...) größer.
>
> Deshalb gilt, dass das Innere von [mm]\Phi(\frac{x-755}{5})[/mm]
> doch negativ wird, denn x-755 wird negativ.
>
> Und bei der Normalverteilung gilt diese Formel, die man
> jetzt ausnutzt:
>
> [mm]\Phi(-z) = 1 -Phi(z)[/mm]
>
> Deshalb gilt jetzt, und das ist das Schwierige
>
> [mm]1-\Phi(\frac{755-x}{5}) = 0.02[/mm]
Oder, eine andere Möglichkeit ist: Du guckst in die Tabelle für die Standardnormalverteilung: "Oh, da stehen nur Werte größer oder gleich als 0.5 und nichts mit 0.02"
Dann klammerst du bei [mm] $\Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] = 0.02$
einfach ein Minuszeichen aus
[mm] $\Phi(\frac{-(755-x)}{5}) [/mm] = 0.02$
und kannst die Formel [mm] $\Phi(-z) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(z)$ [/mm] anwenden. Du erhälst wieder
[mm] $\Phi(\frac{-(755-x)}{5}) [/mm] = [mm] 1-\Phi(\frac{(755-x)}{5}) [/mm] = 0.02$
In der orignalantwort war wohl eher die anschaulichere Interpretation, mit der man so ein bisschen ein Gespür für die Sachen bekommt. Und dies hier war wohl eher einer der Tricks, die man in seinem Reportoire haben sollte.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Sa 09.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
sehr schön danke hab mich für die erste Version entschieden die kann ich größtenteils nachvolziehen!
Danke fürs korregieren und weiterhelfen!
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:45 Fr 15.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
> Wie gesagt, wir wollen
>
> [mm] P(X\le [/mm] x) = 0.02 berechnen.
>
> Das machen wir doch so:
>
> [mm]P(X\le x) = \Phi(\frac{x-755}{5}) = 0.02[/mm]
>
> Jetzt hab ich mir gedacht, damit 2% der Dosen nur
> untergewichtig sind, muss unser "x" in gramm doch kleiner
> als der Mittelwert sein. In dem anderen Thread wurde ja
> schon gesagt, dass P(X > 755) = P(X [mm]\le[/mm] 755) = 1/2 ist.
> So kannst du dir vorstellen, dass man weiter nach "links"
> vom Mittelwert muss, geht man in der Gaußkurve nach
> rechts, werden die Werte von P(...) größer.
>
> Deshalb gilt, dass das Innere von [mm]\Phi(\frac{x-755}{5})[/mm]
> doch negativ wird, denn x-755 wird negativ.
>
> Und bei der Normalverteilung gilt diese Formel, die man
> jetzt ausnutzt:
>
> [mm]\Phi(-z) = 1 -Phi(z)[/mm]
>
> Deshalb gilt jetzt, und das ist das Schwierige
>
> [mm]1-\Phi(\frac{755-x}{5}) = 0.02[/mm]
hab mir das jetzt nochmal angesehen und hab jetzt doch noch eine Frage dazu! Und zwar zur oberen Zeile:
oben heißt es noch:
[mm] \Phi(\frac{x-755}{5})
[/mm]
und dann plötzlich:
> [mm]1-\Phi(\frac{755-x}{5}) = 0.02[/mm]
jetzt wollt ich fragen warum dreht man da plötzlich den Zähler um bzw. die Vorzeichen im Zähler um?
Kann mir da jemand helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:55 So 17.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
gibt es den keinen der meine Vorhergehende Frage beantworten kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 So 17.10.2010 | | Autor: | Disap |
Hallo Laura88
> > ...
>
> hab mir das jetzt nochmal angesehen und hab jetzt doch noch
> eine Frage dazu! Und zwar zur oberen Zeile:
>
> oben heißt es noch:
>
> [mm]\Phi(\frac{x-755}{5})[/mm]
>
> und dann plötzlich:
>
> > [mm]1-\Phi(\frac{755-x}{5}) = 0.02[/mm]
>
> jetzt wollt ich fragen warum dreht man da plötzlich den
> Zähler um bzw. die Vorzeichen im Zähler um?
>
> Kann mir da jemand helfen?
Ich kopiere noch zunächst noch mal die zwei Varianten, die ich dir bereits versucht habe zu erklären aus den vorherigen Artikeln.
Zu berechnen:
$ [mm] P(X\le [/mm] x) = [mm] \Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] = 0.02 $
Oder, eine andere Möglichkeit ist: Du guckst in die Tabelle für die Standardnormalverteilung: "Oh, da stehen nur Werte größer oder gleich als 0.5 und nichts mit 0.02"
Dann klammerst du bei $ [mm] \Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] = 0.02 $
einfach ein Minuszeichen aus
(1) $ [mm] \Phi(\frac{-(755-x)}{5}) [/mm] = 0.02 $
und kannst die Formel $ [mm] \Phi(-z) [/mm] = 1 - [mm] \Phi(z) [/mm] $ anwenden. Du erhälst wieder
(2)$ [mm] \Phi(\frac{-(755-x)}{5}) [/mm] = [mm] 1-\Phi(\frac{(755-x)}{5}) [/mm] = 0.02 $
Ich finde diese Erklärung eigentlich ziemlich eindeutig, ich versuche es mal etwas ausführlicher zu machen
Bei (1) ein Minus ausklammern geht so:
[mm] $\Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] = 0.02 $
ist gegeben. Jetzt bauen wir einfach 2 Minuszeichen ein
[mm] $\Phi(-(-(\frac{x-755}{5}))) [/mm] = 0.02 $
und multiplizieren im Endeffekt aus (mit (-1) natürlich)
[mm] $\Phi(-(\frac{-x-(-755)}{5}))) [/mm] = 0.02 $
[mm] $\Phi(-(\frac{-x+755)}{5}))) [/mm] = 0.02 $
das kann man noch anders schreiben
[mm] $\Phi(-(\frac{755-x)}{5}))) [/mm] = 0.02 $
Und bei (2)
(2)$ [mm] \Phi(\frac{-(755-x)}{5}) [/mm] = [mm] 1-\Phi(\frac{(755-x)}{5}) [/mm] = 0.02 $
Hier ist unser $z = [mm] \frac{755-x}{5}$. [/mm] Du kannst auch schreiben
$ [mm] \Phi(\frac{-(755-x)}{5}) [/mm] = [mm] \Phi(-\frac{(755-x)}{5})$
[/mm]
ist dasselbe nach den Regeln fürs Bruchrechnen.
Ich finde, meine nächste Erklärung ist eher schlecht. Würde sich halt gut eignen, um die Leute zu verwirren (ist richtig, aber der Trick mit -(-z) sollte man mal überarbeiten, weil ich [mm] \Phi(-z) [/mm] in der Formel geschrieben habe, also die Bezeichnungen könnte man überarbeiten. Vielleicht liest du einfach nicht weiter. Fragen sind allerdings trotzdem willkommen!)
Zu berechnen:
$ [mm] P(X\le [/mm] x) = [mm] \Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] = 0.02 $
Jetzt hab ich mir gedacht, damit 2% der Dosen nur untergewichtig sind, muss unser "x" in gramm doch kleiner als der Mittelwert sein. In dem anderen Thread wurde ja schon gesagt, dass P(X > 755) = P(X $ [mm] \le [/mm] $ 755) = 1/2 ist.
So kannst du dir vorstellen, dass man weiter nach "links" vom Mittelwert muss, geht man in der Gaußkurve nach rechts, werden die Werte von P(...) größer.
Deshalb gilt, dass das Innere von $ [mm] \Phi(\frac{x-755}{5}) [/mm] $ doch negativ wird, denn x-755 wird negativ.
Und bei der Normalverteilung gilt diese Formel, die man jetzt ausnutzt:
$ [mm] \Phi(-z) [/mm] = 1 -Phi(z) $
Deshalb gilt jetzt, und das ist das Schwierige
$ [mm] 1-\Phi(\frac{755-x}{5}) [/mm] = 0.02 $
Das war ziemlich doof erklärt, hast du Recht! Noch mal ganz von vorne. Wir haben eine Normalverteilung um den Mittelwert [mm] $\mu [/mm] =755g$ und Standardabweichung [mm] $\sigma [/mm] = 5g$ . Jetzt möchten wir gerne wissen, was muss der Fabrikat auf das Etikett schreiben, damit nur 2% der Dosen weniger Inhalt haben, als auf dem Etikett steht.
Soweit zur Aufgabe.
Jetzt kennst du den Mittelwert 755g.
Was heißt das?
Das heißt schon mal $P(X [mm] \le [/mm] 755g) = P(X > 755g) = 1/2$
Steht auf dem Etikett jetzt: "Die Dosen haben 755g Inhalt", dann steht das im Widerspruch zur Aufgabe "höchstens 2% untergewichtig" Auch 754g wäre untergewichtig. In dem Fall liegen aber 50% der Dosen unter 755g. Was heißt das für den Hersteller? Muss er mehr Inhalt angeben oder weniger? Weniger natürlich!!!
Jetzt hatten wir aber folgendes zu berechnen:
[mm] $\Phi(\frac{x-755}{5})$
[/mm]
Der Inhalt, das wird in dieser Formel mit x bezeichnet, wird kleiner als 755g.
Das heißt doch jetzt gerade, dass $x-755$ eine negative Zahl wird. Deswegen ist auch [mm] $\frac{x-755}{5}$ [/mm] negativ
Und jetzt gibt es ja diese Formel, mit der du dich irgendwie nicht anfreunden willst
$ [mm] \Phi(-z) [/mm] = 1 -Phi(z) $.
Diese Formel musst du allerdings anwenden.
Nennen wir doch einfach mal
$z := [mm] \frac{x-755}{5}$
[/mm]
Dooferweise steht dann dort
[mm] $\Phi(z) [/mm] = [mm] \Phi(\frac{x-755}{5})$
[/mm]
Für die obige Formel benötigen wir allerdings -z, dafür können wir doch schreiben
[mm] $\Phi(-(-z)) [/mm] = [mm] \Phi(-(-\frac{x-755}{5}))$
[/mm]
$= 1 - [mm] \Phi(z) [/mm] = [mm] 1-\Phi(-\frac{x-755}{5}))$
[/mm]
das ist das, wonach du gefragt hattest
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 10.10.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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