Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Di 04.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | Eine Maschine stellt Drahtstifte her. Deren Länge sei normalverteilt mit [mm] \mu [/mm] = 4,00 cm und [mm] \sigma [/mm] = 0,10 cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Länge eines Drahtstiftes mindestens um [mm] \varepsilon [/mm] = 0,15 cm von [mm] \mu [/mm] abweicht? |
Hallo,
leider komme ich bei der Normalverteilung nicht weiter.
Wäre daher super, wenn mir jemand grundlegend weiterhelfen könnte. ![[anbet]](/images/smileys/anbet.gif "[anbet]")
Der Wert [mm] \mu [/mm] ist klar, das ist der "Soll-" bzw. Erwartungswert.
[mm] \sigma, [/mm] so verstehe ich das, ist die Standartabweichung, also der "wahrscheinliche" Wert für eine Abweichung oder?
[mm] \varepsilon [/mm] grenzt den Intervall nach oben, bzw. unten ein. Also [mm] \pm [/mm] 0,15 cm.
Ich habe bis jetzt gerechnet:
[mm] z_1=\bruch{3,85-4,00}{0,10}=-1,5 \Rightarrow [/mm] 0,93319 lt. Tabelle
[mm] z_2=\bruch{4,15-4,00}{0,10}=1,5 \Rightarrow [/mm] 1-0,93319=0,06681 lt. Tabelle
Nur wie gehts jetzt weiter? Da ich mit der Normalverteilung überhaupt nicht vertraut bin, hab ich leider selber keine Idee, was noch erforderlich ist, bzw. wie ich zum Endergebnis komme.
Danke und beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:46 Di 04.01.2011 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn f(x) die Dichte der Normalverteilung ist, F(x) die Verteilungsfunktion, also [mm] F(x)=\integral_{-\infty}^{x}{f(x) dx} [/mm] dann ist [mm] P=\integral_{a}^{b}{f(x) dx}=F(b)-F(a) [/mm] die Wahrscheinlichkeit dafür, das eine normalverteilte Grösse x im Intervall [a,b] liegt und 1-P die Wahrscheinlichkeit dafür, das x nicht im Intervall [a,b] liegt.
Du hast F(b)=F(4.15) und F(a)=F(3.85) ausgerechnet. Jetzt musst Du 1-(F(b)-F(a)) ausrechnen.
Mach Dir das am Besten auch an einer Skizze mit der Normalverteilung klar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 04.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Leider blicke ich da trotzdem nicht durch.
Ich komme zwar mittlerweile mit der z-Tabelle auf das richtige Ergebnis, jedoch eher durch herumprobieren.
Wenn ich für [mm] z_1, [/mm] also den Abweichungswert links von [mm] \mu [/mm] den ausgerechneten Wert von -1,5 in der Tabelle suche, bekomme ich einen prozentualen Flächenanteil von 6,68. Multipliziert mit 2 ergibt das 13,36, was auch das korrekte Ergebnis laut Lösung ist.
Ich verstehe jedoch nicht warum ich ausgerechnet mit [mm] z_1, [/mm] also -1,5 rechne und nicht mit [mm] z_2 [/mm] +1,5.
Mir ist das Schema dahinter noch nicht ganz klar. Wäre prima wenn mir das jemand erklären könnte. 
Danke und beste Grüße
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> Hallo,
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> danke für die Antwort.
> Leider blicke ich da trotzdem nicht durch.
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> Ich komme zwar mittlerweile mit der z-Tabelle auf das
> richtige Ergebnis, jedoch eher durch herumprobieren.
>
> Wenn ich für [mm]z_1,[/mm] also den Abweichungswert links von [mm]\mu[/mm]
> den ausgerechneten Wert von -1,5 in der Tabelle suche,
> bekomme ich einen prozentualen Flächenanteil von 6,68.
> Multipliziert mit 2 ergibt das 13,36, was auch das korrekte
> Ergebnis laut Lösung ist.
> Ich verstehe jedoch nicht warum ich ausgerechnet mit [mm]z_1,[/mm]
> also -1,5 rechne und nicht mit [mm]z_2[/mm] +1,5.
> Mir ist das Schema dahinter noch nicht ganz klar. Wäre
> prima wenn mir das jemand erklären könnte.
>
>
> Danke und beste Grüße
Hallo drahmas,
wenn eine Zufallsgröße X normalverteilt ist mit dem Mittelwert [mm] \mu
[/mm]
und der Standardabweichung [mm] \sigma, [/mm] so kann man zuerst von den
x-Werten aus durch eine lineare Umformung die entsprechenden
z-Werte berechnen:
$\ [mm] z=\frac{x-\mu}{\sigma}$ [/mm]
und für die umgekehrte Umrechnung:
$\ [mm] x=\mu+z*\sigma$
[/mm]
Die z-Werte sind dann standard-normalverteilt. Für diese Verteilung
gibt es Tabellen (weil die numerische Berechnung nicht ganz einfach
ist und in einfachen Rechnern nicht programmiert ist).
Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der z-Werte gilt nun:
Die Wahrscheinlichkeit, dass z in einem bestimmten Intervall $\ [mm] [z_1 [/mm] ... [mm] z_2]$
[/mm]
mit [mm] z_1\le{z_2} [/mm] liegt, entspricht dem Flächeninhalt zwischen der
z-Achse und der Standard-Gauss-Kurve $\ [mm] f(z)=\frac{1}{\sqrt{2\,\pi}}*e^{-\,\frac{1}{2}\,x^2}$ [/mm] über
diesem Intervall. Die Verteilungsfunktion F, die tabelliert ist, ist
eine Stammfunktion von f, also entspricht der obigen Wahrschein-
lichkeit der Wert
$\ [mm] P(x_1\le x\le x_2)\ [/mm] =\ [mm] P(z_1\le [/mm] z\ [mm] \le z_2)\ [/mm] =\ [mm] F(z_2) -F(z_1)$
[/mm]
In deinem Beispiel wird nach der Wahrscheinlichkeit gefragt, mit
welcher der z-Wert kleiner als -1.5 oder größer als +1.5 ist. Diesen
Bereich kann man entweder aus zwei Intervallen zusammensetzen,
nämlich $\ [mm] [-\infty\ [/mm] ... -1.5]\ [mm] \cup\ [/mm] [+1.5\ [mm] ...+\infty] [/mm] $ oder als Komplementärmenge des
Intervalls $\ [-1.5\ ... +1.5]$ auffassen.
Für die Rechnung ergibt sich also entweder:
$\ [mm] P(|z|\ge [/mm] 1.5)\ =\ [mm] (F(-1.5)-F(-\infty))+(F(+\infty)-F(+1.5))$
[/mm]
oder:
$\ [mm] P(|z|\ge [/mm] 1.5)\ =\ 1-(F(1.5)-F(-1.5))$
Probier dies mal alles durch - für das Verständnis eine gute
Übung.
Wegen der Symmetrie kann man es allerdings auch einfacher haben,
zum Beispiel:
$\ [mm] P(|z|\ge [/mm] 1.5)\ =\ [mm] 2*P(0\le z\le [/mm] +1.5)\ =\ [mm] 2*(F(1.5)-\underbrace{F(0)}_{0.5})$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Di 04.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für die Antwort. Jetzt verstehe ich es denke ich so weit. ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]")
Ich habe jetzt [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] addiert, so komme ich auch wiederum aufs richtige Ergebnis.
Was mir allerdings noch etwas unklar ist, warum ich unterschiedliche Ergebnisse bekomme, wenn z gegeben ist und x gesucht wird.
Wenn die Fragestellung lautet:
Welche maximale Abweichung [mm] \varepsilon [/mm] vom Erwartungswert [mm] \mu [/mm] wird toleriert, wenn 4% der Produktion Ausschuss sind?
Ich habe gerechnet:
[mm] x=z*\sigma+\mu
[/mm]
[mm] x_1= [/mm] 0,26*0,10+4=4,026
[mm] x_2= [/mm] 1-0,02 = 0,98 [mm] \Rightarrow [/mm] 2,33*0,10+4=4,233 (2,33 aus der Tabelle für 0,98 abgelesen)
Das ist ja in diesem Fall nicht symmetrisch, oder?
Ich habe dann [mm] x_1-x_2gerechnet [/mm] und erhalte 0,207 [mm] \approx [/mm] 0,21 was auch das richtige Ergebnis wäre. Ist das so richtig gerechnet?
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank für die Antwort. Jetzt verstehe ich es denke
> ich so weit.
>
> Ich habe jetzt [mm]z_1[/mm] und [mm]z_2[/mm] addiert, so komme ich auch
> wiederum aufs richtige Ergebnis.
Wenn du [mm] z_1 [/mm] und [mm] z_2 [/mm] addierst, solltest du Null erhalten !
Wahrscheinlich meinst du aber etwas anderes als das was
du schreibst ...
> Was mir allerdings noch etwas unklar ist, warum ich
> unterschiedliche Ergebnisse bekomme, wenn z gegeben ist und
> x gesucht wird.
Die Formel für die Berechnung von x aus z habe ich angegeben.
> Wenn die Fragestellung lautet:
> Welche maximale Abweichung [mm]\varepsilon[/mm] vom Erwartungswert
> [mm]\mu[/mm] wird toleriert, wenn 4% der Produktion Ausschuss sind?
>
> Ich habe gerechnet:
>
> [mm]x=z*\sigma+\mu[/mm]
>
> [mm]x_1=[/mm] 0,26*0,10+4=4,026 ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
woher hast du den Wert z=0.26 ?
> [mm]x_2=[/mm] 1-0,02 = 0,98 [mm]\Rightarrow[/mm] 2,33*0,10+4=4,233 (2,33 aus
> der Tabelle für 0,98 abgelesen)
>
> Das ist ja in diesem Fall nicht symmetrisch, oder?
> Ich habe dann [mm]x_1-x_2[/mm] gerechnetund erhalte 0,207 [mm]\approx[/mm]
> 0,21 was auch das richtige Ergebnis wäre. Ist das so
> richtig gerechnet?
Symmetrie wird hier offenbar vorausgesetzt (Normalverteilung
ist symmetrisch, und die maximal tolerierte Abweichung [mm] \varepsilon
[/mm]
ist auch nach unten oder nach oben erlaubt).
Um den rechten Rand des erlaubten Intervalls zu berechnen,
müssen wir also [mm] F(z_{max})=1-\frac{0.04}{2}=0.98 [/mm] nehmen. Dies führt auf
[mm] z_{max}=2.054 [/mm] und damit auf [mm] \varepsilon=z_{max}*\sigma=2.054*0.1\approx [/mm] 0.205 .
Die zugelassenen x-Werte reichen also etwa von 3.795 bis 4.205 .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:30 Mi 05.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke, ich hab den Fehler gefunden.
War ein Denkfehler, ich habe die 4% immer durch 2 geteilt, da ich dachte 2% Abweichung nach oben und 2% nach unten. Daher kam ich auf das merkwüdige "z" usw. :)
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