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Forum "Uni-Stochastik" - Normalverteilung
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Normalverteilung: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:58 So 05.02.2012
Autor: chesn

Aufgabe
Sei [mm] X\sim N(\mu,\sigma^2). [/mm] Bestimmen Sie [mm] P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma) [/mm] für c=1,2,3.

Hallo! Wäre nett wenn mir hier jemand schnell weiter helfen würde:

Dichte der Normalverteilung:

[mm] f(t)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}*exp(-\bruch{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}) [/mm]

Die Normalverteilung ist ja eine stetige Verteilung, also kann ich (nach Skript) setzen:

[mm] P(a\le X\le b)=\integral_{a}^{b}f(t)dt [/mm]

Mein Problem ist jetzt das [mm] \mu [/mm] in [mm] P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma). [/mm]

Wie wirkt sich das auf die Formel aus? Da steige ich leider nicht ganz durch.
Würde ich dem [mm] \mu [/mm] keine Beachtung schenken, bekäme ich:

[mm] P(-c*\sigma\le X\le c*\sigma)=\integral_{-c*\sigma}^{c*\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}*exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt [/mm]

Aber wie gesagt: Es heisst ja [mm] X-\mu [/mm] und damit kann ich gerade nicht viel anfangen.

Danke schonmal! :)

Gruß
chesn

        
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:37 So 05.02.2012
Autor: luis52


  

> Mein Problem ist jetzt das [mm]\mu[/mm] in [mm]P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma).[/mm]

Moin, *wo* ist das Problem?

[mm]P(-c*\sigma\le X-\mu \le c*\sigma)=P(\mu-c*\sigma\le X\le \mu+c*\sigma)[/mm]

vg Luis


Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:19 So 05.02.2012
Autor: chesn

Diese Umformung wohl.. das hat mich reichlich verwirrt.

Aber danke für deine Antwort, so sollte es kein Problem mehr sein. :)

Gruß
chesn

Bezug
        
Bezug
Normalverteilung: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:30 Di 07.02.2012
Autor: chesn

Hallo! Habe das Ganze jetzt wie folgt gemacht:

$ [mm] P(\mu-c\cdot{}\sigma\le X\le \mu+c\cdot{}\sigma)=\integral_{\mu-c\cdot{}\sigma}^{\mu+c\cdot{}\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt [/mm] $

$ [mm] =\integral_{-\infty}^{\mu+c\cdot{}\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt-\integral_{-\infty}^{\mu-c\cdot{}\sigma}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt [/mm] \ \ \ [mm] (\* [/mm] ) $

Jetzt steht im Skript, dass ich die Verteilungsfunktion der Standartnormalverteilung (tabelliert) benutzen kann mit:

[mm] \integral_{-\infty}^{a}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt=\Phi(\bruch{a-\mu}{\sigma}) [/mm]

Also folgt für $ [mm] (\* [/mm] ) $:

[mm] =\Phi(\bruch{\mu+c*\sigma -\mu}{\sigma})-\Phi(\bruch{\mu-c*\sigma -\mu}{\sigma})=\Phi(c)-\Phi(-c)=2*\Phi(c)-1 [/mm]

Passt das alles so?
Wäre super wenn jemand sagen könnte, ob das so richtig ist..

Vielen Dank schonmal!

Gruß
chesn

Bezug
                
Bezug
Normalverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:54 Di 07.02.2012
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Jetzt steht im Skript, dass ich die Verteilungsfunktion der
> Standartnormalverteilung (tabelliert) benutzen kann mit:
>  
> [mm]\integral_{-\infty}^{a}\bruch{1}{\wurzel{2\pi\sigma}}\cdot{}exp(-\bruch{(t-\mu)^2}{2\sigma^2})dt=\Phi(\bruch{a-\mu}{\sigma})[/mm]

das brauchst du nicht, wenn du gleich normierst (entgegen dem Tip von luis).

Beachte:

$ [mm] P(-c\cdot{}\sigma\le X-\mu \le c\cdot{}\sigma) [/mm]  = P( -c [mm] \le \bruch{X - \mu}{\sigma} \le [/mm] c) $

Nun ist [mm] $\bruch{X - \mu}{\sigma} \sim \mathcal{N}(0,1)$ [/mm] und du kannst direkt ablesen:

$= [mm] \Phi(c) [/mm] - [mm] \Phi(-c)$ [/mm]

Und damit hast du sofort deine Lösung :-)

MFG,
Gono.




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