Normalverteilung < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Do 02.08.2012 | | Autor: | hjoerdis |
| Aufgabe | | Eine verbeulte Münze zeigt mit der Wahrscheinlichkeit 0,4 Zahl. In wieviel Prozent alle Fälle wird man dennoch in Serien von 80 Würfen öfter Zahl als Wappen beobachten? |
Ich bin gerade dabei die Normalverteilung zu begreifen, deshalb rechne ich ein paar Übungsaufgaben durch. Die genannte Aufgabe wollte ich mal exakt und eben näherungsweise mit der Normalverteilung berechen.
der normale Weg über Binominalverteilung ergiebt eine Wahrscheinlichkeit von 0,0271
näherungsweise:
[mm] P(x\ge41)=1-P(x<41)
[/mm]
[mm] \mu= [/mm] 80*0,4=32
[mm] \delta^{2}= [/mm] 80*0,4*0,6=19,2
[mm] \delta=\wurzel{19,2}
[/mm]
[mm] P(x\ge41)=1-P(\bruch{41-32}{\wurzel{19,2}}
[/mm]
= 0,01999
stimmt das ergebnis, denn die abweichung vom exakten wert ist ja doch schon ganz schön groß (finde ich)?
Liebe Grüße,
Mathilda.
|
|
| |
|
Hallo Mathilda,
> = 0,01999
>
> stimmt das ergebnis, denn die abweichung vom exakten wert
> ist ja doch schon ganz schön groß (finde ich)?
Das Ergebnis stimmt auch nicht, und die Erklärung ist recht einfach. Du begehst hier nämlich einen entscheidenden Denkfehler: im Diskreten, also bei der Binomialveretilung, gilt natürlich
[mm] P(X>40)=1-P(X\le{41})
[/mm]
Aber mit der Normalverteilung hast du eine stetige Verteilungfunktion, die auf ganz [mm] \IR [/mm] existiert. Daher gilt hier schlicht ung ergreifend:
[mm] P(X>40)=1-P(X\le{40})
[/mm]
Und dann kommt auch nicht das genaue Ergebnis heraus, aber ein Stück weit genauer ist es schon. Und es liegt oberhalb der Wahrscheinlichkeit, die du per Binomialverteilung ermittelt hast.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Fr 03.08.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin Mathilda,
du erhaeltst ein besseres Ergebnis, wenn du eine Stetigkeitskorrektur beruecksichtigst und wie folgt rechnest:
[mm] \begin{matrix}
P(41\le X) &=&1-P(X\le 40) \\
&\approx&1-\Phi\left(\dfrac{40.5-32}{\sqrt{19.2000}}\right) \\
&=&1-\Phi\left(\dfrac{8.5}{4.3818}\right)
\\
&=&1-\Phi\left(1.9399\right) \\
&=&1-0.9738 \\
&=&0.0262
\end{matrix} [/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Mo 06.08.2012 | | Autor: | hjoerdis |
sorry das ich mich so spät melde, hatte ne zeit lang kein internet.
also, ich hab meinen Fehler begriffen.
es haben sich bei mir jetzt nur noch ein paar fragen ergeben:
benutzt man immer diese Korrektur mit 0,5? denn bei der vereinfachten Formel für die Normalverteilung ist sie ja eigentlich nicht mehr mit drin.
angenommen es liegt eine solche erechnung vor:
[mm] P(\bruch{5,59+0,5-5,8}{0,12}
[/mm]
= 0,99
ohne die korrektur ergibt sich:
[mm] P(\bruch{5,59-5,8}{0,12}
[/mm]
=0,04
also ein doch sehr anderes ergebnis.
liebe grüße,
mathilda
|
|
|
| |
|
Hallo Mathilda,
luis52 hat hier noch eine ![[]](/images/popup.gif) Stetigkeitskorrektur vorgenommen. Das empfiehlt sich stets dann, wenn man zur Annäherung einer diskreten Summe ein Integral einer (stetigen) Funktion verwendet. Im Prinzip legt man dabei ein Intervall mit der richtigen Breite symmetrisch über den eigentlichen Integrationsbereich, so dass dieses Intervall auf beiden Seiten gleich weit übersteht.
Um dir den Sachverhalt zu verdeutlichen: ein Bergsteiger steigt von 2000m Höhe auf 3000m. Welche Höhendifferenz hat er überwunden? So, und darauf aufbauend die Preisfrage: wie viele Tage vergehen vom 10. bis zum 20. August?
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Mo 06.08.2012 | | Autor: | hjoerdis |
Also benutzt man die Stetigkeitskorrektur nur für Intervalle bei der Normalverteilung die von einem Punkt ausgehend in beide Richtungen gleich weit herausragen?
Gruß,
Mathilda.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Also benutzt man die Stetigkeitskorrektur nur für
> Intervalle bei der Normalverteilung die von einem Punkt
> ausgehend in beide Richtungen gleich weit herausragen?
richtig: für Wahrscheinlichkeiten der Form [mm] P({a}\le{X}\le{b}). [/mm] Dazu kann auch die näherungsweise Berechnung einer Wahrscheinlichkeit der Form P(X=k) gehören, die man dann so rechnet:
[mm] P_{BV}(X=k)\approx{P}_{NV}({k-0.5}\le{X}\le{k+0.5})
[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Mi 08.08.2012 | | Autor: | hjoerdis |
okey,
vielen Dank für die liebe Hilfe ;).
Grüße,
Mathilda.
|
|
|
|
