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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Sa 09.09.2006 | | Autor: | ONeill |
| Aufgabe | Hier die Aufgabe:
In einer Konservenfabrik werden Dosen von einer Abfüllungsanlage automatisch gefüllt. Der Inhalt X (in Gramm) der abgefüllten Dosen kann als normalverteilt angesehen werden mit dem Erwartungswert
µ=820 und der Standartabweichung o=14
a.) Auf der in den Handel gehenden Dosen ist ein Inhalt von 800g angegeben. Mit welcher Wahschreinlichkeit enthält eine Dose einen Inhalt von weniger als 800g? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt um hächstens 10g vom Erwartungswert abweicht?
Ermitteln Sie ein möglichst kleines, zu dem Erwartungswert symetrisches Intervall, in dem sich der Inhalt mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit befindet. |
Hy!
Ich habe eine Aufgabe, die ich in der nächsten Woche vor der Klasse vorstellen/vorrechnen soll. Leider habe ich bereits schon mit dem ersten Aufgabenteil ein größeres Problem.
Mein Ansatz war folgender:
Da 800g ja ein Mittelwert ist, müsste die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt weniger als 800g beträgt 49,99% betragen müsste.
Bei der Wahrscheinlichkeit, dass der Doseninhalt um +/- 10g abweicht, habe ich dann mit der Formel von de Moivre Laplace gerechnet.
Mit dem Intervall von 790-810 g. Mein Ergebniss war dann 23,40%, aber das kommt mir viel zu wenig vor.
Dann ist ja noch ein Intervall zu suchen, indem sich der Inhalt mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit befindet.
Muss ich dann irgendwie mit der Gaußschen Glockenfunktion rechnen?
Tut mir leid, dass ich nicht mehr zu meinen Ansätzen schreiben kann. Ich erwarte natürlich nicht dass mir das hier vorgerechnet wird. Einige Tipps um mich in die richtige Richtung zu lenken wären sicherlich schon sehr hilfreich.
Vielen Dank und ein schönes Wochenende.
Gruß ONeill
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Hi, ONeill,
> Hier die Aufgabe:
> In einer Konservenfabrik werden Dosen von einer
> Abfüllungsanlage automatisch gefüllt. Der Inhalt X (in
> Gramm) der abgefüllten Dosen kann als normalverteilt
> angesehen werden mit dem Erwartungswert
> µ=820 und der Standartabweichung o=14
>
> a.) Auf der in den Handel gehenden Dosen ist ein Inhalt von
> 800g angegeben. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält eine
> Dose einen Inhalt von weniger als 800g? Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt um hächstens 10g vom
> Erwartungswert abweicht?
> Ermitteln Sie ein möglichst kleines, zu dem Erwartungswert
> symmetrisches Intervall, in dem sich der Inhalt mit
> mindestens 90% Wahrscheinlichkeit befindet.
> Ich habe eine Aufgabe, die ich in der nächsten Woche vor
> der Klasse vorstellen/vorrechnen soll. Leider habe ich
> bereits schon mit dem ersten Aufgabenteil ein größeres
> Problem.
>
>
> Mein Ansatz war folgender:
> Da 800g ja ein Mittelwert ist, müsste die
> Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt weniger als 800g
> beträgt 49,99% betragen.
Da ist bereits der Einstieg falsch, weil der Mittelwert (=Erwartungswert) nicht 800, sondern 820 beträgt (siehe Aufgabentext!)
Dein Ansatz lautet: P(X<800) = [mm] \phi(\bruch{800-820}{14}) [/mm] = ...
> Bei der Wahrscheinlichkeit, dass der Doseninhalt um +/-
> 10g abweicht, habe ich dann mit der Formel von de Moivre
> Laplace gerechnet.
> Mit dem Intervall von 790-810 g.
Dieses Intervall ist OK!
> Mein Ergebnis war dann 23,40%, aber das kommt mir viel zu wenig vor.
Mir auch! Schreib' doch mal Deine Rechnung genauer auf!
> Dann ist ja noch ein Intervall zu suchen, indem sich der
> Inhalt mit mindestens 90% Wahrscheinlichkeit befindet.
> Muss ich dann irgendwie mit der Gaußschen Glockenfunktion
> rechnen?
Analog zu oben musst Du aus
P(|X - [mm] \mu| [/mm] < c) = [mm] 2*\Phi(...) [/mm] - 1 [mm] \ge [/mm] 0,9
das c ermitteln.
> Tut mir leid, dass ich nicht mehr zu meinen Ansätzen
> schreiben kann.
Wieso denn nicht?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 So 10.09.2006 | | Autor: | ONeill |
P(X<800) = $ [mm] \phi(\bruch{800-820}{14}) [/mm] $ = 0,076564
Die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt unter 800 Gramm liegt, ist somit rund 7,66%
Gut Damit wäre die erste Aufgabe gelöst.
Meine Rechnung für die +/- 10 Abweichung:
P(790<X<810)=$ [mm] \phi(\bruch{810+0,5-820}{14}) [/mm] $-$ [mm] \phi(\bruch{790-0,5-820}{14}) [/mm] $
P(790<X<810)=$ [mm] \phi(-19/28) [/mm] $-$ [mm] \phi(-61/28) [/mm] $
P(790<X<810)=0,2487-0,014682=0,234018
Aber wie gesagt, ist das eigentlich zu klein...
Habe grade nochmal eine andere Idee und nach der stimmt das Intervall nicht. In der Aufgabe steht ja eine Abweichung vom Erwartungswert und somit ist das Intervall µ-10 und µ+10, also 810<x<830
Wird dann genauso wie oben gerechnet:
P(810<X<830)= 0,5467
und das Ergebniss hört sich ja schonmal deutlich besser an.
Bei dem Intervall bin ich nun soweit:
$ [mm] 2\cdot{}\Phi(\bruch{c+0,5}{14}) [/mm] $- 1 $ [mm] \ge [/mm] $ 0,9
$ [mm] 2\cdot{}\Phi(\bruch{c+0,5}{14}) \ge [/mm] $ 1,9
$ [mm] \phi(\bruch{c+0,5}{14}) [/mm] $=0,95
Aber wie kann ich nun dieses Phi so rüberbringen, dass ich an das c rankomme? Ich bin mir sicher, dass wir das im unterricht noch nicht hatten.
Und natürlich schonmal ein großes Dankeschön für deine Hilfe. Das hat mir schon sehr weitergeholfen.
Ich hoffe ich kann mich bald mal revangieren.
Gruß ONeill
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Hi, ONeill,
> P(X<800) = [mm]\phi(\bruch{800-820}{14})[/mm] = 0,076564
> Die Wahrscheinlichkeit, dass der Inhalt unter 800 Gramm
> liegt, ist somit rund 7,66%
> Gut Damit wäre die erste Aufgabe gelöst.
Richtig!
> Meine Rechnung für die +/- 10 Abweichung:
> P(790<X<810)=[mm] \phi(\bruch{810+0,5-820}{14}) [/mm]-[mm] \phi(\bruch{790-0,5-820}{14})[/mm]
> P(790<X<810)=[mm] \phi(-19/28) [/mm]-[mm] \phi(-61/28)[/mm]
>
> P(790<X<810)=0,2487-0,014682=0,234018
> Aber wie gesagt, ist das eigentlich zu klein...
Oh Mann! Entschuldige! Da ist mir entgangen, dass Dein Intervall (790 - 810) immer noch auf dem falschen Erwartungswert von 800 basiert! Richtiger Erwartungswert: 820; daher richtiges Intervall: 810 bis 830.
Rein vom Prinzip her stimmt's aber.
Und ein kleiner Tipp: Bei zu [mm] \mu [/mm] symmetrischen Intervallen kommt man mit der Formel [mm] 2*\Phi(...) [/mm] - 1 schneller zum Ziel!
Hier: [mm] 2*\Phi(\bruch{830 -\mu + 0,5}{14}) [/mm] - 1 = ...
> Habe grade nochmal eine andere Idee und nach der stimmt das
> Intervall nicht. In der Aufgabe steht ja eine Abweichung
> vom Erwartungswert und somit ist das Intervall µ-10 und
> µ+10, also 810<x<830
Na prima! Hast's ja selber gemerkt! ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
> Wird dann genauso wie oben gerechnet:
> P(810<X<830)= 0,5467
> und das Ergebniss hört sich ja schonmal deutlich besser
> an.
Ganz meine Meinung!
> Bei dem Intervall bin ich nun soweit:
> [mm]2\cdot{}\Phi(\bruch{c+0,5}{14}) [/mm]- 1 [mm]\ge[/mm] 0,9
>
> [mm]2\cdot{}\Phi(\bruch{c+0,5}{14}) \ge[/mm] 1,9
>
> [mm]\phi(\bruch{c+0,5}{14}) [/mm]=0,95
Kleinigkeit, aber: Es bleibt bei [mm] "\ge"
[/mm]
> Aber wie kann ich nun dieses Phi so rüberbringen, dass ich
> an das c rankomme? Ich bin mir sicher, dass wir das im
> unterricht noch nicht hatten.
Bisher hast Du in Deinem Tafelwerk (bzw. Deiner NV-Tabelle) nachgeschaut, was für [mm] \Phi [/mm] rauskommt, wenn Du einen bestimmten vorgegebenen Wert in der Klammer hast, z.B. [mm] \Phi(1,35) [/mm] = 0,91149.
Diesmal ist es umgekehrt:
Du schaust in der Tabelle bei den Werten für [mm] \Phi, [/mm] bis Du den ersten findest, der GRÖSSER ist als 0,95; zugehöriger Wert: x.
Der Bruch in der Klammer muss dann natürlich größer (oder gleich) diesem x sein. Daraus kannst Du c berechnen!
All clear now?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:22 So 10.09.2006 | | Autor: | ONeill |
Ah wunderbar ^_^
Vielen Dank für die Hilfe. Ich hoffe die nachfolgenden Aufgabe schaffe ich nun ohne fremde Hilfe ;-I
Nochmals viiiielen Dank.
Gruß ONeill
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