Normalverteilung, Summe Würfel < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 13.10.2011 | | Autor: | eichi |
| Aufgabe | Zehn faire Würfel werden zugleich geworfen und die Augenzahlen werden zusammengezählt.
S sei die Augensumme. Begründe, weshalb S approximativ normalverteilt ist und bestimme approximativ P (S > 40). |
Approximativ normalverteilt da die Würfel unabhängig und gleichverteilt sind und die Summe ebenso?
Jetzt hab ich mal versucht, das mit der Normalverteilung zu Rechnen, aber das Ergebnis kommt mir unplausibel vor:
Seien die Augenzahlen der Würfel [mm]X_1,...,X_{10}[/mm]
Sei $ S = [mm] X_1 [/mm] + [mm] X_2 [/mm] + ... + [mm] X_{10} [/mm] $
[mm] E(X_i) [/mm] = 3,5 für i=1,..,10
=> E(S) = 10*3,5 = 35
[mm] Var(X_i)= [/mm] 2,91 für i=1,..,10
=> Var(S)=10*2,91 = 29,1
P(S > 40 = 1-P(S <= 40) = 1-[mm]\Phi(\bruch{40-35}{\wurzel{29,1}}) = 1- \Phi(0,927) = 1-8,212 = 0,1788[/mm]
Aber wenn ich mir jetzt überlege, ich nehm 10 Würfel, und muss > 40 Würfeln, dann reichen mir ja fast aus, wenn ich pro Würfel eine 4 werfe und eine Zahl darüber. Das klingt für mich eher nach einer W'Keit von mehr als 0.5 und niemals nur 0,1788 oder passt das Ergebnis doch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Do 13.10.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $1- [mm] \Phi(\bruch{40-35}{\wurzel{29,1}}) [/mm] = 1- [mm] \Phi(0,927) [/mm] = 1-8,212 = 0,1788 $
Ja.
> Aber wenn ich mir jetzt überlege, ich nehm 10 Würfel, und muss > 40 Würfeln, dann reichen mir ja fast aus, wenn ich pro Würfel eine 4 werfe und eine Zahl darüber. Das klingt für mich eher nach einer W'Keit von mehr als 0.5 und niemals nur 0,1788 oder passt das Ergebnis doch?
4 oder mehr hat selbst aber nur ne Wkeit von 0.5, und Du kannst leichter nach unten (3 Möglichkeiten <4) als nach oben (nur 2) abweichen.
Die Summe hat nen Erwartungswert von 35 und eine Standardabweichung von grob 5.5, d.h. wir wollen ein Ergebnis, das mehr als eine Standardabweichung vom Erwartungswert weg ist, da ist 0.18 grob, was man erwarten würde.
Wenn Du's nicht erwartet hättest, umso besser. Die schönsten Momente der Mathematik sind, wenn man eine intuitiv schwachsinnige Aussage beweisen kann. Für Offensichtlichkeiten will man sich die Rechnungen ja nicht antun. =)
ciao
Stefan
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