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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Sa 13.01.2007 | | Autor: | demaen |
| Aufgabe | X ist normalverteilte Zufallsvariable. [mm] N(\mu,\sigma^2) [/mm] mit [mm] \mu=0, \sigma=1.
[/mm]
[mm] \Sigma_{\mu,\sigma^2(x)} [/mm] := [mm] \integral_{-\infty}^{x}{ \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{\bruch{1}{2}(\bruch{t-\mu}{\sigma})^2} dt}
[/mm]
Zu zeigen ist:
a) [mm] \Sigma(-x) [/mm] = 1 - [mm] \Sigma(x);
[/mm]
b) [mm] P({|X-\mu| \le 2\sigma}) \approx [/mm] 0,9545
c) [mm] P({|X-\mu| \le 3\sigma}) \approx [/mm] 0,9973 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
zur a)
bisher hab ich nur die Idee das Integral der Verteilungsfunktion als Differenz eines Integrals über ganz IR und eines Integrals von x bis unendlich darzustellen. Dann müsste doch das erste Integral gleich eins sein und das zweite gleich [mm] \Sigma(x). [/mm] Nur dummm dass es keine Stammfunktion gibt und ich so das Integral welches gleich 1 sein sollte nicht berechnen kann. Wie geht's denn nun?
zu b) und c)
hier muss man ja sicher die a) anwenden, nur hab ich mir bisher noch gar nicht soo viele Gedanken dazu gemacht., weil ich weder Tafelwerk noch Mathematica besitze. Kann mir jemand nen Link für ein Tafelwerk nennen. Hab schon im Online-Tafelwerk von Pons gesucht, aber die Werte nicht gefunden (vielleicht übersehe ich die nur andauernd?) Ansonsten könnte mir vielleicht jemand die für die Aufgabe relevanten Werte ja vielleicht hier reinschreiben?
Danke schon mal. Ich hoffe voller Zuversicht dass ich in diesem Forum vielleicht hilfreiche antworten bekomme 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 So 14.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo demaen,
zunächst mal wilkommen im Matheraum.
Für dieses Integral, dessen Werte Du suchst, gibt es keine Stammfunktion, die Werte schlägt man in Tabellen nach. Das Ganze nent sich "Gaußsches Fehlerintegral", man findet es beispielsweise im Bronstein "Taschenbuch der Mathematik" im Tabellenwerk, sicherlich auch auf einigen Internetseiten. Eine andere Bezeichnung dafür ist "error function", gerade im englischsprachigen Raum. Aufgrund der Symmetrie der Gaußschen Glockenkurve berechnen diese Funktionen häufig den Wert von der unteren Integralgrenze 0 bis zum vorgegebenen Wert x. Da man aber ja weiss, dass das Integral von [mm] - \infty [/mm] bis 0 den Wert 0,5 besitzt, kann man entsprechend die Sache umrechnen.
Falls Du Excel besitzt, dort findet man es als Funktion "GAUSSFEHLER"; es ist Teil des Add-Ins "Analyse" und muss gegebenenfalls noch nachinstalliert werden. Du siehst, ohne numerische Hilfe oder Tabelle kommst Du hier wirklich nicht weiter.
Für den Aufgabenteil a) nutzt Du die Symmetrie der Gaußglocke, die Fläche von [mm] -\infty [/mm] bis zu -x entspricht genau der Fläche von x bis [mm] \infty [/mm].
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:29 So 14.01.2007 | | Autor: | demaen |
Danke mal für die Antwort. Exel hab ich leider nicht, ich werd nochmal googlen und hoffen dass ich da irgendwo so ne Tabelle finde...
Und wegen dem Tipp zur Aufgabe a) Ich glaube nicht dass wir die Symmetrie vorraussetzen dürfen, ohne sie in der Aufgabe nachzuweisen... Könnte es vielleicht auch anders gehen, oder kann man die Symmetrie denn so einfach nachweisen?
MfG, demaen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:04 So 14.01.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo demaen,
in Deinem Fall kannst Du doch einfach mit der Symmetrie des Integranden argumentieren. Für [mm] \mu = 0 [/mm] ist doch egal, ob Du ein positives oder negatives t einsetzt, durch die Quadratur des Argumentes in der e-Funktion ist die Funktion zu t =0 symmetrisch.
Viele Grüße,
Infinit
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