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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:44 So 17.10.2004 | | Autor: | N4ppo |
Hi, ich habe bei folgender Aufgabe Probleme auf die Lösung zu kommen. Würde mich über Eure Hilfe freuen.
a) Zeige, daß im [mm] \IR^{n} [/mm] die 1Norm, die 2Norm und die Maximumnorm ¨aquivalent sind
(Angabe von m,M).
c) In C[0, 1] sei die Folge f[n](x) = [mm] x^{n}. [/mm] Man zeige
(i) daß sie bzgl. | |L2 konvergiert, nicht aber bzgl. | | unendlich,
(ii) daß | |unendlich stärker ist als | |L2 .
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:32 So 17.10.2004 | | Autor: | andreas |
hi
es wäre nett, wenn du ein paar eigene ideen posten würdest, dann würden wir hier nicht schrieben, was du sowiso schon wüstest. außerdem erhöht es die wahrscheinlichkeit, dass dir jemand antwortet, wenn der dann nicht soviel schreiben muss.
ich schreibe die jetzt mal eine lösungsskizze zu aufgabe a):
sei [m] \{\textbf{e}_i \}_{i=1}^n [/m] die kannonische basis des [m] \mathbb{R}^n [/m] (damit gilt insbesondere für alle von dir betrachteten normen und für alle [m] i=1, \hdots, n [/m], dass [m] \|\textbf{e}_i \| = 1[/m]). für jeden vektor [m] \textbf{v} \in \mathbb{R}^n [/m] gibt es dann eine darstellenug [m] \textbf{v} = \sum_{i=1}^n v_i \textbf{e}_i [/m] mit [m] v_i \in \mathbb{R} [/m].
also - unter verwendung der dreiecksungleichung (d) und homogenität (h) der normen - gilt:
[m] \| \textbf{v} \|_1 = \left\| \sum_{i=1}^n v_i \textbf{e}_i \right\|_1 \stackrel{\text{d}}{\leq} \sum_{i=1}^n \| v_i \textbf{e}_i \|_1 \stackrel{\text{h}}{=} \sum_{i=1}^n | v_i | \| \textbf{e}_i \|_1 \leq \sum_{i=1}^n \max_{i=1, \hdots, n} | v_i | \| \textbf{e}_i \|_1 = \max_{i=1, \hdots, n} | v_i | \sum_{i=1}^n \| \textbf{e}_i \|_1 = \max_{i=1, \hdots, n} | v_i | \sum_{i=1}^n 1 = \max_{i=1, \hdots, n} | v_i | n = n \| \textbf{v} \|_\infty [/m]
[m] \| \textbf{v} \|_2 = \left\| \sum_{i=1}^n v_i \textbf{e}_i \right\|_2 \stackrel{\text{d}}{\leq} \sum_{i=1}^n \| v_i \textbf{e}_i \|_2 \stackrel{\text{h}}{=} \sum_{i=1}^n | v_i | \| \textbf{e}_i \|_2 = \sum_{i=1}^n | v_i | \cdot 1 = \sum_{i=1}^n | v_i | = \| \textbf{v} \|_1 [/m]
[m] \| \textbf{v} \|_\infty = \left\| \sum_{i=1}^n v_i \textbf{e}_i \right\|_\infty \stackrel{\text{d}}{\leq} \sum_{i=1}^n \| v_i \textbf{e}_i \|_\infty \stackrel{\text{h}}{=} \sum_{i=1}^n | v_i | \| \textbf{e}_i \|_\infty = \sum_{i=1}^n \sqrt{ v_i^2 } \| \textbf{e}_i \|_\infty \leq \sum_{i=1}^n \sqrt{ \sum_{j=1}^n v_j^2 } \| \textbf{e}_i \|_\infty = \sqrt{ \sum_{j=1}^n v_j^2 } \sum_{i=1}^n \cdot 1 = n \cdot \sqrt{ \sum_{j=1}^n v_j^2 } = n \| \textbf{v} \|_2 [/m]
damit ist die aufgabe a) auch schon erledigt. ich hoffe, da sind nicht allzuviele copy&paste-fehler drin.
probier das mal nachzuvollziehen. bei der dritten abschätzung habe ich unter anderem die monotonie der wurzel-funktion benutzt.
man kann auch mit einem kompaktheitsargument auf der einheitssphäre zeigen, dass alle normen im [m] \mathbb{R}^n [/m] äquivalent sind, das die ergebnisse hier also nur sonderfälle sind. falls dich das interessiert wirst du im internet bestimmt fündig.
zu teil c) kanst du ja selber mal lösungsansetze posten. überlege dir erstmal, gegen welche funktion die folge konvergieren könnte.
hoffe ich habe dir ein bisschen geholfen.
grüße
andreas
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