Normen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 So 10.04.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Betrachte [mm] $\IR^{n}$ [/mm] mit den Normen
[mm] $||x||_{0}=max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \}$,
[/mm]
[mm] $||x||_{1}=|x_{1}|+...+|x_{n}|$,
[/mm]
[mm] $||x||_{2}=(|x_{1}|^{2}+...+|x_{n}|^{2})^{1/2}$
[/mm]
i) Zeige, dass [mm] $||\cdot ||_{0}$ [/mm] und [mm] $||\cdot||_{1}$ [/mm] Normen sind.$
ii) Wie sehen für n=2,3 die Einheitskugeln $U(0,1)$ bezüglich dieser Normen aus?
iii) Zeige, dass alle drei Normen dieselben Teilmengen von [mm] $\IR^{n}$ [/mm] als offene Mengen auszeichnen |
Hallo,
i)
[mm] $||x||_{0}$ [/mm] ist eine Norm, also gilt:
1. [mm] $max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} \ge [/mm] 0 ~ [mm] \forall x_{n} \in \IR^{n}$
[/mm]
2. [mm] $max\{|\lambda x_{1}|,...,|\lambda x_{n}| \}= |\lambda |max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} [/mm] ~ ~ [mm] \forall \lambda \in [/mm] Abbildungsraum (?), ~ [mm] \forall x_{n} \in \IR^{n}$
[/mm]
3. [mm] $max\{|x_{1}+y_{1}|,...,|x_{n}+y_{n}| \} \le max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} [/mm] + [mm] max\{|y_{1}|,...,|y_{n}| \} [/mm] ~ [mm] \forall y_{n}, x_{n} \in \IR^{n}$
[/mm]
[mm] $||x||_{2}$ [/mm] ist eine Norm:
1. [mm] $|x_{1}|+...+|x_{n}| \ge [/mm] 0 ~ [mm] \forall x_{n}\in \IR^{n}$
[/mm]
2. [mm] $|\lambda x_{1}|+...+|\lambda x_{n}| [/mm] = [mm] |\lambda|(|x_{1}|+...+|x_{n}|) [/mm] ~ [mm] \forall \lambda \in [/mm] Abbildungsraum, ~ [mm] \forall x_{n}\in \IR^{n} [/mm] $
3. [mm] $|x_{1}+y_{1}|+...+|x_{n}+y_{n}| \le |x_{1}|+...+|x_{n}|+|y_{1}|+...+|y_{n}| [/mm] ~ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR^{n}$
[/mm]
ii)
[mm] $U(0,1)=\{x_{1},...,x_{n}; y_{1},...,y_{n} \in \IR^{n} : max\{x_{1}-y_{1},...x_{n}-y_{n}\} < 1 \} [/mm] $
[mm] $U(0,1)=\{x_{1},...x_{n}; y_{1},...,y_{n} \in \IR^{n}: |x_{1}-y_{1}|+...+|x_{n}-y_{n}| < 1 \} [/mm] $
[mm] $U(0,1)=\{x_{1},...x_{n}; y_{1},...,y_{n} \in \IR^{n} : (|x_{1}-y_{1}|^{2}+...+|x_{n}-y_{n}|^{2})^{1/2}<1 \}$
[/mm]
Stimmt das so weit?
iii)
Soll man hier zeigen, dass eine offene Teilmenge von einer [mm] Norm$||x||_{1/2/3}$ [/mm] auch immer offen ist für alle drei [mm] $||x||_{1/2/3}$??
[/mm]
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:48 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Betrachte [mm]\IR^{n}[/mm] mit den Normen
>
> [mm]||x||_{0}=max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \}[/mm],
>
> [mm]||x||_{1}=|x_{1}|+...+|x_{n}|[/mm],
>
> [mm]||x||_{2}=(|x_{1}|^{2}+...+|x_{n}|^{2})^{1/2}[/mm]
>
> i) Zeige, dass [mm]$||\cdot ||_{0}$[/mm] und [mm]$||\cdot||_{1}$[/mm] Normen
> sind.$
>
> ii) Wie sehen für n=2,3 die Einheitskugeln [mm]U(0,1)[/mm]
> bezüglich dieser Normen aus?
>
> iii) Zeige, dass alle drei Normen dieselben Teilmengen von
> [mm]\IR^{n}[/mm] als offene Mengen auszeichnen
> Hallo,
>
>
> i)
>
> [mm]||x||_{0}[/mm] ist eine Norm, also gilt:
was heißt "also gilt" ? Du sollst zeigen, das folgendes gilt:
>
> 1. [mm]max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} \ge 0 ~ \forall x_{n} \in \IR^{n}[/mm]
[mm] x_{n} \in \IR^{n}? [/mm] Es muß lauten: [mm] x=(x_1,...,x_n) \in \IR^{n}[/mm]
[/mm]
>
> 2. [mm]max\{|\lambda x_{1}|,...,|\lambda x_{n}| \}= |\lambda |max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} ~ ~ \forall \lambda \in Abbildungsraum (?), ~ \forall x_{n} \in \IR^{n}[/mm]
Abbildungsraum ? Der Skalarkörper ist [mm] \IR [/mm] !
zu [mm] x_{n} \in \IR^{n} [/mm] siehe oben.
>
> 3. [mm]max\{|x_{1}+y_{1}|,...,|x_{n}+y_{n}| \} \le max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} + max\{|y_{1}|,...,|y_{n}| \} ~ \forall y_{n}, x_{n} \in \IR^{n}[/mm]
Zu [mm] \forall y_{n}, x_{n} \in \IR^{n} [/mm] siehe oben.
Es fehlt noch: [mm] ||x||_{0}=0 \gdw [/mm] x=0
>
>
> [mm]||x||_{2}[/mm] ist eine Norm:
>
> 1. [mm]|x_{1}|+...+|x_{n}| \ge 0 ~ \forall x_{n}\in \IR^{n}[/mm]
>
> 2. [mm]|\lambda x_{1}|+...+|\lambda x_{n}| = |\lambda|(|x_{1}|+...+|x_{n}|) ~ \forall \lambda \in Abbildungsraum, ~ \forall x_{n}\in \IR^{n}[/mm]
S.o.
>
> 3. [mm]|x_{1}+y_{1}|+...+|x_{n}+y_{n}| \le |x_{1}|+...+|x_{n}|+|y_{1}|+...+|y_{n}| ~ \forall x,y \in \IR^{n}[/mm]
Warum ist das alles so ?
>
>
> ii)
>
> [mm]U(0,1)=\{x_{1},...,x_{n}; y_{1},...,y_{n} \in \IR^{n} : max\{x_{1}-y_{1},...x_{n}-y_{n}\} < 1 \}[/mm]
>
> [mm]U(0,1)=\{x_{1},...x_{n}; y_{1},...,y_{n} \in \IR^{n}: |x_{1}-y_{1}|+...+|x_{n}-y_{n}| < 1 \}[/mm]
>
> [mm]U(0,1)=\{x_{1},...x_{n}; y_{1},...,y_{n} \in \IR^{n} : (|x_{1}-y_{1}|^{2}+...+|x_{n}-y_{n}|^{2})^{1/2}<1 \}[/mm]
>
> Stimmt das so weit?
Nein. U(0,1)= [mm] \{x \in \IR^n: ||x||<1\}.
[/mm]
Schreib das mal für die obigen Normen auf
>
> iii)
>
> Soll man hier zeigen, dass eine offene Teilmenge von einer
> Norm[mm]||x||_{1/2/3}[/mm] auch immer offen ist für alle drei
> [mm]||x||_{1/2/3}[/mm]??
Genauer: ist M [mm] \subset \IR^n, [/mm] so gilt:
M ist offen in [mm] $(\IR^n, ||*||_i)$ \gdw [/mm] M ist offen in [mm] $(\IR^n, ||*||_j)$
[/mm]
(i,j=1,2,3)
FRED
>
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> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt.
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>
>
> Danke und Gruss
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 11.04.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> Abbildungsraum ? Der Skalarkörper ist !
> Warum ist das alles so ?
Das was man hinzufügt ist entweder positiv oder negativ. Dann sieht man dass es stimmt.
i) Es soll gezeigt werden, dass [mm] $||x||_{0}$ [/mm] eine Norm ist:
$1. ~ [mm] max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} \ge [/mm] 0 ~ [mm] \forall x_{n} \in \IR^{n} [/mm] $
wobei [mm] $max\{|0| \} [/mm] = 0 ~ [mm] \forall 0\in \IR^{n}$
[/mm]
2.$ [mm] max\{|\lambda x_{1}|,...,|\lambda x_{n}| \}= |\lambda |max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} [/mm] ~ ~ [mm] \forall \lambda \in \IR, [/mm] ~ [mm] \forall (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] $
3. $ [mm] max\{|x_{1}+y_{1}|,...,|x_{n}+y_{n}| \} \le max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} [/mm] + [mm] max\{|y_{1}|,...,|y_{n}| \} [/mm] ~ [mm] \forall (y_{1},...,y_{n}), (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] $
Es soll gezeigt werden, dass [mm] $||x||_{1}$ [/mm] eine Norm ist:
1.$ [mm] |x_{1}|+...+|x_{n}| \ge [/mm] 0 ~ [mm] \forall (x_{1},...,x_{n})\in \IR^{n} [/mm] $
wobei $|0|=0 ~ ~ [mm] \forall [/mm] 0 [mm] \in \IR^{n}$
[/mm]
2.$ [mm] |\lambda x_{1}|+...+|\lambda x_{n}| [/mm] = [mm] |\lambda|(|x_{1}|+...+|x_{n}|) [/mm] ~ [mm] \forall \lambda \in \IR, [/mm] ~ [mm] \forall (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n} [/mm] $
3.$ [mm] |x_{1}+y_{1}|+...+|x_{n}+y_{n}| \le |x_{1}|+...+|x_{n}|+|y_{1}|+...+|y_{n}| [/mm] ~ [mm] \forall (x_{1},...x_{n}),(y_{1},...,y_{n}) \in \IR^{n} [/mm] $
ii)
$U(0,1) = [mm] \left{ (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n}: max\{x_{1},...,x_{n}\} < 1 \right}$
[/mm]
$U(0,1) = [mm] \left{(x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n}: (|x_{1}|+...+|x_{n}|)<1 \right}$
[/mm]
$U(0,1) = [mm] \left{(x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n}: (x_{1}^{2}+...+x_{n}^{2})^{1/2}<1 \right}$
[/mm]
so richtiG?
> genauer
> FRED
Danke!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
du bist doch nicht erst seit heute hier, solltest also wissen, wie wichtig Notation in der Mathematik ist!
Was sind denn Klauseln wie [mm] $\forall 0\in \IR^{n} [/mm] $ ??
Also etwas gewissenhafteres erwarte ich mir schon von jemandem :-/
> Das was man hinzufügt ist entweder positiv oder negativ.
> Dann sieht man dass es stimmt.
Was will uns der Autor damit sagen?
> i) Es soll gezeigt werden, dass [mm]||x||_{0}[/mm] eine Norm ist:
>
> [mm]1. ~ max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} \ge 0 ~ \forall x_{n} \in \IR^{n}[/mm]
> wobei [mm]max\{|0| \} = 0 ~ \forall 0\in \IR^{n}[/mm]
Nicht nur "wobei", sondern $||x||= 0 [mm] \gdw [/mm] x = 0$ !
> 2.[mm] max\{|\lambda x_{1}|,...,|\lambda x_{n}| \}= |\lambda |max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} ~ ~ \forall \lambda \in \IR, ~ \forall (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n}[/mm]
>
> 3. [mm]max\{|x_{1}+y_{1}|,...,|x_{n}+y_{n}| \} \le max\{|x_{1}|,...,|x_{n}| \} + max\{|y_{1}|,...,|y_{n}| \} ~ \forall (y_{1},...,y_{n}), (x_{1},...,x_{n}) \in \IR^{n}[/mm]
Ja, das soll gezeigt werden.
Na dann zeig mal!
Wie im anderen Posting von dir auch gilt hier: Gezeigt hast du nix, nur hingeschrieben, was du zeigen müsstest.
Dann fang mal an.
MFG,
Gono.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Gonozal_IX ,
> Was sollen die Klauseln
Das heisst dass es für alle 0 aus $\IR^{n}$ gilt ?
> Na dann zeig mal!
> Was will uns der Autor damit sagen?
Dass man hier überall eine Fallunterscheidung macht mit $x>0, y>0$ ; $x<0,y>0$;$x>0, y<0$ und dann sieht man ja dass sie stimmen.
Ist das falsch?
i) $||\cdot||_{0}$
Es gilt für $x \in \IR^{n}$ dass $||x||_{0}=0 \Rightarrow x=0$ und $||x||_{1}=0 \Rightarrow x=0$ .
$\forall ~ \lambda \in \IR$ und $x=(x_{1},...,x_{n}) , y=(y_{1},...y_{n})\in \IR^{n}$:
0. $||\lambda x||_{0}=max\{|\lambda x_{1}|,...,|\lambda x_{n}| \}=max \{|\lambda||x_{1}|,...,|\lambda||x_{n}| \right}= |\lambda|max\{|x_{1}|,...,|x_{n}|\right}=|\lambda| ||x||_{0}$
1. $||\lambda x||_{1}=|\lambda x_{1}|+...+|\lambda x_{n}| = |\lambda|(|x_{1}+...+|x_{n}|)=|\lambda| ||x||_{1}$
0. $||x+y||_{0}= max\{|x_{1}+y_{1}|,...,|x_{n}+y_{n}| \} \le max\{|x_{1}|+|y_{1}|,...,|x_{n}|+|y_{n}| \} \le max\{|x_{1}|,...,|x_{n} \}+ max\{|y_{1}|,...|y_{n}| \}= ||x||_{0}+||y||_{0}$
1. $||x+y||_{1}=|x_{1}+y_{1}|+...+|x_{n}+y_{n}| \le (|x_{1}|+|y_{1})+...+(|x_{n}|+|y_{n}|)=|x_{1}|+...+|x_{n}|+|y_{1}|+...|y_{n}|=||x||_{1}+||y||_{1}$
sO?
stimmt ii) und bei iii) zeige ich also die äquivalenz der normen???
> MFG
Danke
Gruss
kushkush
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Sa 16.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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