Normen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:46 Di 06.11.2012 | | Autor: | hilbert |
Ich habe zwei verschiedene Normen [mm] ||.||_a [/mm] und [mm] ||.||_b, [/mm] sodass E bzgl. beider Normen ein vollständig normierter Vektorraum ist.
Die Aufgabe ist nun zu zeigen, dass aus
[mm] ||.||_a \le [/mm] K [mm] ||.||_b [/mm] folgt, dass ich auch ein k finde, sodass [mm] ||.||_b \le [/mm] k [mm] ||.||_a [/mm] gilt.
Hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz =(.
Ich denke einfache Umformungen werden hier nicht reichen oder? Sonst müsste die Vollständigkeit nicht gefordert werden.
Hat jemand einen Tipp?
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Hilbert,
> Ich habe zwei verschiedene Normen [mm]||.||_a[/mm] und [mm]||.||_b,[/mm]
> sodass E bzgl. beider Normen ein vollständig normierter
> Vektorraum ist.
>
> Die Aufgabe ist nun zu zeigen, dass aus
>
> [mm]||.||_a \le[/mm] K [mm]||.||_b[/mm] folgt, dass ich auch ein k finde,
> sodass [mm]||.||_b \le[/mm] k [mm]||.||_a[/mm] gilt.
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> Hier habe ich leider überhaupt keinen Ansatz =(.
> Ich denke einfache Umformungen werden hier nicht reichen
> oder? Sonst müsste die Vollständigkeit nicht gefordert
> werden.
Die Identität von $(E, [mm] \|\cdot\|_b) \to [/mm] (E, [mm] \|\cdot\|_a)$ [/mm] ist eine beschränkte lineare Abbildung und damit stetig. Was weißt Du jetzt über die Inverse einer stetigen linearen Abbildung zwischen Banachräumen?
Gruß,
Wolfgang
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