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Normierte Räume: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:32 Do 12.11.2009
Autor: MichiNes

Aufgabe
Für eine symmetrische, reelle, positiv definite (nxn)-Matrix T und x [mm] \in \IR^{n} [/mm] sei
[mm] ||x||_{T}:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}. [/mm]

Zeigen Sie: [mm] (\IR^{n}, [/mm] ||*||) ist ein normierter Raum.
Ist es auch ein Banachraum?

Hallo,

ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Ich weiß, dass ich die Eigenschaften einer Norm zeigen soll:

1. ||x||=0 gdw. x=0
2. ||ax||=|a| ||x||
3. [mm] ||x+y||\ke [/mm] ||x||+||y||

Ich häng schon bei 1.. Die Rückrichtung ist klar, ich weiß aber einfach nicht wie ich die Hinrichtung zeigen soll. Alles was ich weiß ist ja, dass die [mm] T_{ii}>0 [/mm] sind und dass [mm] T_{ij}=T_{ji} [/mm]
Ich hab die Summe dann mal geschrieben als
[mm] \wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}T_{ii}x_{i}^{2}}+2\wurzel{\summe_{i,j=1, i Führt mich der Ansatz zum Ziel? Wenn ja, wie geht es dann weiter? Falls nicht, wie soll ich dann ran an die Aufgabe?

Vielen Dank schon mal!
Gruß Michi

        
Bezug
Normierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:03 Do 12.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Für eine symmetrische, reelle, positiv definite
> (nxn)-Matrix T und x [mm]\in \IR^{n}[/mm] sei
>  [mm]||x||_{T}:=\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}.[/mm]
>  
> Zeigen Sie: [mm](\IR^{n},[/mm] ||*||) ist ein normierter Raum.
>  Ist es auch ein Banachraum?
>  
> ich komme bei obiger Aufgabe nicht weiter. Ich weiß, dass
> ich die Eigenschaften einer Norm zeigen soll:
>  
> 1. ||x||=0 gdw. x=0
>  2. ||ax||=|a| ||x||
>  3. [mm]||x+y||\ke[/mm] ||x||+||y||
>  
> Ich häng schon bei 1.. Die Rückrichtung ist klar, ich
> weiß aber einfach nicht wie ich die Hinrichtung zeigen
> soll. Alles was ich weiß ist ja, dass die [mm]T_{ii}>0[/mm] sind
> und dass [mm]T_{ij}=T_{ji}[/mm]
>  Ich hab die Summe dann mal geschrieben als
>  
> [mm]\wurzel{\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j}}=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}T_{ii}x_{i}^{2}}+2\wurzel{\summe_{i,j=1, i
>  
> Führt mich der Ansatz zum Ziel? Wenn ja, wie geht es dann
> weiter? Falls nicht, wie soll ich dann ran an die Aufgabe?

Ich wuerde abstrakter vorgehen. Ueberlege dir erstmal, dass [mm] $\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j} [/mm] = [mm] x^T [/mm] T x$ ist.

Jetzt wendest du ein Ergebnis ueber symmetrische reelle Matrizen an: es gibt eine Orthogonale Matrix $O$ mit [mm] $O^T [/mm] T O = D$, wobei $D$ eine Diagonalmatrix mit positiven Eintraegen ist (da $T$ positiv definit ist). Nennen wir die Eintraege [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_n$. [/mm]

Nun beachte, dass $v [mm] \mapsto [/mm] O v$ ein Automorphismus von [mm] $\IR^n$ [/mm] ist. D.h. ob deine Vektoren von der Form $v$ oder von der Form $O v$ sind, spielt keine Rolle: du kannst also die Axiome umformulieren zu

> 1. ||O x||=0 gdw. O x=0
>  2. ||O(ax)||=|a| ||O x||
>  3. [mm]||O(x+y)||\ke[/mm] ||Ox||+||Oy||

Wenn du dir jedoch $||Ox||$ anschaust, siehst du schnell dass dies gleich [mm] $\srqt{\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2}$ [/mm] ist. Und damit kannst du viel einfacher arbeiten, nicht?

(Du kannst anstelle eines orthogonalem $O$ ein invertierbares $O$ finden mit [mm] $O^T [/mm] T O = E$ (Einheitsmatrix); dann ist $||Ox||$ die normale Euklidische Norm von $x$ und das ganze ist eh sofort klar.)

LG Felix


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Normierte Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:33 Do 12.11.2009
Autor: MichiNes

Hey Felix,
danke für deine Antwort! Die leuchtet mir auch größtenteils ein. Ich hab nur noch ein paar Fragen dazu:



> Ich wuerde abstrakter vorgehen. Ueberlege dir erstmal, dass
> [mm]\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j} = x^T T x[/mm] ist.

Wieso ist das wichtig? Was bedeutet es, dass das dasselbe ist?

> Jetzt wendest du ein Ergebnis ueber symmetrische reelle
> Matrizen an: es gibt eine Orthogonale Matrix [mm]O[/mm] mit [mm]O^T T O = D[/mm],
> wobei [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix mit positiven Eintraegen ist
> (da [mm]T[/mm] positiv definit ist). Nennen wir die Eintraege
> [mm]\lambda_1, \dots, \lambda_n[/mm].
>  
> Nun beachte, dass [mm]v \mapsto O v[/mm] ein Automorphismus von
> [mm]\IR^n[/mm] ist. D.h. ob deine Vektoren von der Form [mm]v[/mm] oder von
> der Form [mm]O v[/mm] sind, spielt keine Rolle: du kannst also die
> Axiome umformulieren zu
>  
> > 1. ||O x||=0 gdw. O x=0
>  >  2. ||O(ax)||=|a| ||O x||
>  >  3. [mm]||O(x+y)||\ke[/mm] ||Ox||+||Oy||

Meinst du hier nicht überall D statt O? Ich will ja nachher nur mit den Diagonaleinträgen arbeiten ???

> Wenn du dir jedoch [mm]||Ox||[/mm] anschaust, siehst du schnell dass
> dies gleich [mm]\srqt{\sum_{i=1}^n \lambda_i x_i^2}[/mm] ist. Und
> damit kannst du viel einfacher arbeiten, nicht?

Stimmt :-)

> (Du kannst anstelle eines orthogonalem [mm]O[/mm] ein invertierbares
> [mm]O[/mm] finden mit [mm]O^T T O = E[/mm] (Einheitsmatrix); dann ist [mm]||Ox||[/mm]
> die normale Euklidische Norm von [mm]x[/mm] und das ganze ist eh
> sofort klar.)

Ist das auch ein Resultat über positiv definite Matrizen? Also dass es dann immer ein invertierbares O gibt mit [mm] O^{T}TO=E_{n}? [/mm]
Dann würd ich natürlich eher das nehmen, da müsst ich ja dann nix beweisen, sondern könnt alles auf die Eigenschaften der Euklidischen Norm runterbrechen??

Danke schon mal!


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Normierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:13 Do 12.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

>  danke für deine Antwort! Die leuchtet mir auch
> größtenteils ein. Ich hab nur noch ein paar Fragen dazu:
>  
>
>
> > Ich wuerde abstrakter vorgehen. Ueberlege dir erstmal, dass
> > [mm]\summe_{i,j=1}^{n}T_{ij}x_{i}x_{j} = x^T T x[/mm] ist.
>  
> Wieso ist das wichtig? Was bedeutet es, dass das dasselbe
> ist?

Nun, damit siehst du sofort was passiert, wenn du $x$ durch $O x$ ersetzt.

> > Jetzt wendest du ein Ergebnis ueber symmetrische reelle
> > Matrizen an: es gibt eine Orthogonale Matrix [mm]O[/mm] mit [mm]O^T T O = D[/mm],
> > wobei [mm]D[/mm] eine Diagonalmatrix mit positiven Eintraegen ist
> > (da [mm]T[/mm] positiv definit ist). Nennen wir die Eintraege
> > [mm]\lambda_1, \dots, \lambda_n[/mm].
>  >  
> > Nun beachte, dass [mm]v \mapsto O v[/mm] ein Automorphismus von
> > [mm]\IR^n[/mm] ist. D.h. ob deine Vektoren von der Form [mm]v[/mm] oder von
> > der Form [mm]O v[/mm] sind, spielt keine Rolle: du kannst also die
> > Axiome umformulieren zu
>  >  
> > > 1. ||O x||=0 gdw. O x=0
>  >  >  2. ||O(ax)||=|a| ||O x||
>  >  >  3. [mm]||O(x+y)||\ke[/mm] ||Ox||+||Oy||
>  
> Meinst du hier nicht überall D statt O? Ich will ja
> nachher nur mit den Diagonaleinträgen arbeiten ???

Ja, ich meine hier $O$. Wenn du naemlich $x$ durch $O x$ ersetzt, wird $||O x||$ sehr einfach: aus [mm] $x^T [/mm] T x$ wird dann naemlich $(O [mm] x)^T [/mm] T (O x) = [mm] x^T (O^T [/mm] T O) x$.

> > (Du kannst anstelle eines orthogonalem [mm]O[/mm] ein invertierbares
> > [mm]O[/mm] finden mit [mm]O^T T O = E[/mm] (Einheitsmatrix); dann ist [mm]||Ox||[/mm]
> > die normale Euklidische Norm von [mm]x[/mm] und das ganze ist eh
> > sofort klar.)
>  
> Ist das auch ein Resultat über positiv definite Matrizen?
> Also dass es dann immer ein invertierbares O gibt mit
> [mm]O^{T}TO=E_{n}?[/mm]

Sozusagen, ja. Normalerweise formuliert man es allgemeiner: man nimmt die Anzahl der positiven Eigenwerte, die Anzahl der negativen Eigenwerte und die Anzahl des Eigenwertes 0, und bekommt dann eine Diagonalmatrix, die entsprechend oft 1, -1 und 0 auf der Diagonalen hat.

Musst mal im Skript schauen wie das bei euch heisst (falls ihr das explizit hattet).

>  Dann würd ich natürlich eher das nehmen, da müsst ich
> ja dann nix beweisen, sondern könnt alles auf die
> Eigenschaften der Euklidischen Norm runterbrechen??

Nun, ein Beweis ist das immer noch. Aber keiner mit zu konkretem Rumgerechne.

LG Felix


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Normierte Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Sa 14.11.2009
Autor: MichiNes

Hallo Felix,

ich hab noch ne Frage: Warum ist O ein Automorphismus? Es gibt doch auch orthogonale Abbildungen, die keine Automorphismen sind?

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Normierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Sa 14.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> ich hab noch ne Frage: Warum ist O ein Automorphismus? Es
> gibt doch auch orthogonale Abbildungen, die keine
> Automorphismen sind?

Eine orthogonale Matrix erfuellt [mm] $O^T [/mm] O = O [mm] O^T [/mm] = E$ (Einheitsmatrix).

LG Felix


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Normierte Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:10 So 15.11.2009
Autor: MichiNes

Ok jetzt hab ich aber immer noch Probleme, die Normaxiome nachzuweisen: Wie mach ich das zum Beispiel bei 2)

Es ist [mm] ||ax||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(ax_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}a^{2}x_{i}^{2}=a^{2}\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2} [/mm]
Ich muss ja aber auf |a|*||x|| kommen?!?!

Außerdem ist [mm] ||x+y||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(x_{i}+y_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}^{2}=||x||+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+||y|| [/mm]
Das zeigt ja aber nicht das, was ich zeigen soll, nämlich [mm] \le||x||+||y|| [/mm] ?!?!

Wär super wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte ;-)

Danke schon mal! Gruß Michi

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Normierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:02 Mo 16.11.2009
Autor: felixf

Hallo Michi!

> Ok jetzt hab ich aber immer noch Probleme, die Normaxiome
> nachzuweisen: Wie mach ich das zum Beispiel bei 2)
>  
> Es ist
> [mm]||ax||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(ax_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}a^{2}x_{i}^{2}=a^{2}\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}[/mm]
>  Ich muss ja aber auf |a|*||x|| kommen?!?!

Dir ist da eine Wurzel verloren gegangen! Wenn du die wieder an den passenden Stellen hinzufuegst, kommt genau das raus (bedenke: $|a| = [mm] \sqrt{a^2}$). [/mm]

> Außerdem ist
> [mm]||x+y||=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}(x_{i}+y_{i})^{2}=\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}^{2}+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}y_{i}^{2}=||x||+2\summe_{i=1}^{n}\lambda_{i}x_{i}y_{i}+||y||[/mm]
>  Das zeigt ja aber nicht das, was ich zeigen soll, nämlich
> [mm]\le||x||+||y||[/mm] ?!?!

Hier fehlt auch wieder die Wurzel: mit der sieht das ganz anders aus.

Du kannst das aber auch gleich auf die normale Dreiecksungleichung fuer den euklidischen Abstand zurueckfuehren, indem du bedenkst, dass [mm] $\|\pmat{x_1 \\ \vdots \\ x_n}\| [/mm] = [mm] \|\pmat{\lambda_1 x_1 \\ \vdots \\ \lambda_n x_n}\|_2$ [/mm] ist (wobei [mm] $\|\bullet\|_2$ [/mm] die euklidische Norm ist).

LG Felix


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Bezug
Normierte Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Mo 16.11.2009
Autor: MichiNes

Ok ist klar, aber bei der Dreiecksungleichung klappts auch nicht mit der Wurzel. Ich weiß nicht, wo ich da abschätzen muss.

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Normierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:11 Mo 16.11.2009
Autor: felixf

Hallo!

> Ok ist klar, aber bei der Dreiecksungleichung klappts auch
> nicht mit der Wurzel. Ich weiß nicht, wo ich da
> abschätzen muss.

Du brauchst da etwas wie die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung.

Guck dir mal an wie die Dreiecksungleichung bei der normalen euklidischen Norm [mm] $\|\bullet\|_2$ [/mm] bewiesen wird.

LG Felix


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Bezug
Normierte Räume: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:23 Mo 16.11.2009
Autor: MichiNes

hmm ich kapier das nicht...kannst du mir nicht kurz auf die Sprünge helfen?

Bezug
                                                                                        
Bezug
Normierte Räume: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:49 Di 17.11.2009
Autor: Denny22

Hallo,

ich mache es Dir kurz vor:

[mm] $\Vert{a}\cdot x\Vert_2=\left(\sum_{i=1}^{n}(a\cdot x_i)^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left(a^2\cdot\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left|a\right|\cdot\left(\sum_{i=1}^{n}x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}=\left|a\right|\cdot\Vert{x}\Vert_2$ [/mm]

Ciao

Bezug
                                                                                                
Bezug
Normierte Räume: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:46 So 22.11.2009
Autor: MichiNes

Das ist nicht die Dreiecksungleichung! Die betragsmäßige Linearität hab ich schon selbst hingekriegt. Aber hat sich erledigt, habs dann doch noch geschafft, das ganze aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung zu folgern.

THX an alle!!

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