Normierte Räume mit dim<\infty < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Mi 25.08.2010 | | Autor: | nikita |
Hallo!
Ich versuche gerade die Struktur endlichdimensionaler normierter Räume zu begreifen. Was ich aus LAAG weiß ist, [mm] V\cong \IR^n, [/mm] wenn dimV=n, d.h. also es existiert eine lineare, bistetige Abbildung zwischen den Räumen. Daraus wird dann gefolgert, dass alle endlichdimensionalen Räume vollständig sind, die Normen äquivalent und die abgeschlossenen und beschränkten Mengen kompakt sind. ich finde aber nirgendwo die genau Begründung. Ich hatte mir überlegt, dass die Eigenschaft der kompakten Mengen, aus der Stetigkeit der Abbildung kommt. Da eine stetige Abbildung kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet und die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind (alles bezüglich der von der Norm induzierten Topologie) und der Isomorphismus bistetig ist, würde man die Eigenschaft aus dem Satz von Heine- Borel folgern.
Dann bin ich auf einem Beweis gestoßen, in dem gezeigt wird, dass alle Normen zu der Euklidischen Norm äquivalent sind (wobei X endlichdimensional, aber nocht unbedingt reell). Es wurde unter aderem folgendermaßen argumentiert:
X sei ein normierter Raum mit dimX=n. Sei [mm] \{e_{1}, ..., e_{n}\} [/mm] eine Basis von X. Man definiert die euklidische Norm [mm] \parallel\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i} e_{i}\parallel _{2}=(\summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}|^{2})^{\frac{1}{2}}. [/mm] Dann wird gefolgert, dass die Einheitssphäre bezüglich dieser Norm beschränkt und abgeschlossen und daher mit Heine-Borel kompakt ist. Aber wieso kann man hier Heine-Borel ohne weiteres benutzen, wenn X doch gar nicht reell sein muss und es wurde kein Isomorphismus erwähnt?
Ich wäre für ein Paar Erklärungsveruche dankbar, damit der Chaos in meinem Kopf etwas legt :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:29 Mi 25.08.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich versuche gerade die Struktur endlichdimensionaler
> normierter Räume zu begreifen. Was ich aus LAAG weiß ist,
> [mm]V\cong \IR^n,[/mm] wenn dimV=n, d.h. also es existiert eine
> lineare, bistetige Abbildung zwischen den Räumen.
Also das "d.h." stimmt nicht: daraus folgt noch nicht, dass die Abbildung bistetig ist. Dazu brauchst du den Normaequivalenzsatz, der sagt, dass zwei beliebige Normen auf [mm] $\IR^n$ [/mm] aequivalent sind.
> Daraus wird dann gefolgert, dass alle endlichdimensionalen Räume
> vollständig sind, die Normen äquivalent und die
> abgeschlossenen und beschränkten Mengen kompakt sind. ich
> finde aber nirgendwo die genau Begründung. Ich hatte mir
> überlegt, dass die Eigenschaft der kompakten Mengen, aus
> der Stetigkeit der Abbildung kommt. Da eine stetige
> Abbildung kompakte Mengen auf kompakte Mengen abbildet und
> die Urbilder abgeschlossener Mengen abgeschlossen sind
> (alles bezüglich der von der Norm induzierten Topologie)
> und der Isomorphismus bistetig ist, würde man die
> Eigenschaft aus dem Satz von Heine- Borel folgern.
Ja, dazu brauchst du die Stetigkeit.
> Dann bin ich auf einem Beweis gestoßen, in dem gezeigt
> wird, dass alle Normen zu der Euklidischen Norm
> äquivalent sind (wobei X endlichdimensional, aber nocht
> unbedingt reell). Es wurde unter aderem folgendermaßen
> argumentiert:
> X sei ein normierter Raum mit dimX=n. Sei [mm]\{e_{1}, ..., e_{n}\}[/mm]
> eine Basis von X. Man definiert die euklidische Norm
> [mm]\parallel\summe_{i=1}^{n}\alpha_{i} e_{i}\parallel _{2}=(\summe_{i=1}^{n}|\alpha_{i}|^{2})^{\frac{1}{2}}.[/mm]
> Dann wird gefolgert, dass die Einheitssphäre bezüglich
> dieser Norm beschränkt und abgeschlossen und daher mit
> Heine-Borel kompakt ist. Aber wieso kann man hier
> Heine-Borel ohne weiteres benutzen, wenn X doch gar nicht
> reell sein muss und es wurde kein Isomorphismus erwähnt?
Ah, ich sehe das Problem.
Ein Problem ist nun, dass ich nicht weiss wie genau bei euch die ganzen Aussagen bewiesen worden sind. Ohne dieses Wissen ist es schwer, den Widerspruch aufzuloesen oder dir zu sagen dass etwas im Skript falsch ist.
> Ich wäre für ein Paar Erklärungsveruche dankbar, damit
> der Chaos in meinem Kopf etwas legt :)
Man kann den Normaequivalenzsatz zeigen, ohne gleich Heine-Borel zu verwenden. Wenn man das so macht, hat man das Problem vermutlich geloest.
Es reicht uebrigens, alles fuer [mm] $\IR$ [/mm] zu zeigen. Ist $V$ ein [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] mit Dimension $n$ Norm [mm] $\|\bullet\|$, [/mm] so ist $V$ auch ein [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] mit Dimension $2 n$ und Norm [mm] $\|\bullet\|$. [/mm] Nach dem Normaequivalenzsatz ist [mm] $\|\bullet\|$ [/mm] auf dem [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] aequivalent zur euklidischen Norm, womit Heine-Borel auf $V$ gilt. Der durch die Norm induzierten Topologie ist es recht egal, ob man als Grundkoerper [mm] $\IR$ [/mm] oder [mm] $\IC$ [/mm] hat, womit Heine-Borel auch auf dem [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] gilt.
LG Felix
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