Normierter Eigenvektor < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:02 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Vertax |
| Aufgabe | V1 = [mm] t*\vektor{1 \\ 1\\ 1}
[/mm]
V2 = [mm] t*\vektor{1 \\ -2\\ 1}
[/mm]
V3 = [mm] t*\vektor{1 \\ 0\\ -1}
[/mm]
a) Wahl von t, so dass Normierungsbedingung erfüllt ist |
Hallo Community,
ich habe eine kleine Frage zum Thema Normieren von Eigenvektoren.
Also normiert bedeutet ja das
[mm]\tilde a *\tilde a^T = 1 [/mm]
also der Normierte Vektor mal Normierter Vektor Transponiert = 1 ergibt.
So jetzt habe ich noch die Formeln:
[mm]\tilde a = \bruch{1}{\wurzel{v^Tv}}*V [/mm]
[mm]\tilde a^T = \bruch{1}{\wurzel{v^Tv}}*V^T [/mm]
Als Lösung für die erste Aufgabe wurde t = 1 gewählt, und genau das ist der Punkt den ich nicht verstehe.
Wie wähle ich denn t damit die Normierungsbedingung erfüllt ist ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> V1 = [mm]t*\vektor{1 \\ 1\\ 1}[/mm]
>
> V2 = [mm]t*\vektor{1 \\ -2\\ 1}[/mm]
>
> V3 = [mm]t*\vektor{1 \\ 0\\ -1}[/mm]
Ich hoffe, dass du mit den t nicht dreimal das gleiche t in Bezug auf die Aufgabe meinst.
>
> a) Wahl von t, so dass Normierungsbedingung erfüllt ist
> Hallo Community,
> ich habe eine kleine Frage zum Thema Normieren von
> Eigenvektoren.
>
> Also normiert bedeutet ja das
>
> [mm]\tilde a *\tilde a^T = 1[/mm]
> also der Normierte Vektor mal
> Normierter Vektor Transponiert = 1 ergibt.
>
> So jetzt habe ich noch die Formeln:
>
> [mm]\tilde a = \bruch{1}{\wurzel{v^Tv}}*V [/mm]
> [mm]\tilde a^T = \bruch{1}{\wurzel{v^Tv}}*V^T [/mm]
>
> Als Lösung für die erste Aufgabe wurde t = 1 gewählt,
> und genau das ist der Punkt den ich nicht verstehe.
Ich auch nicht. Für dein t=1 sind deine Vektoren orthogonal, doch nicht normiert.
Deine Formel stimmt auch. Umgeschrieben lautet sie [mm] $a=\frac{1}{\parallel v \parallel}v$, [/mm] wegen [mm] $(v/v)={\parallel v \parallel}^2$. [/mm] Damit ist dein t genau das Reziproke von der Norm des Vektors.
>
> Wie wähle ich denn t damit die Normierungsbedingung
> erfüllt ist ?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:59 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Vertax |
Mhh ich fang mal lieber von Anfang an:
[mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
Erechnete Eigenwerte:
[mm]\lambda_{1} = 2 \lambda_{2} = -1 \lambda_{3} = 1[/mm]
So berechnung des [mm] EV_{1} [/mm] zu [mm] \lambda_{1}=2:
[/mm]
[mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } *
\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\v_{3}} = 2\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\v_{3}}[/mm]
[mm]v_{1}+v_{2}=2v_{1} |-v_{1}[/mm]
[mm]v_{2}=v_{1}[/mm]
[mm]v_{2}+v_{3}=2v_{3} |-v_{3}[/mm]
[mm]v_{2}=v_{3}[/mm]
Dauraus ergibt sich der erste Eigenvektor:
[mm] \vektor{t \\ t \\ t} [/mm] für t [mm] \in \IR
[/mm]
t ausgeklammert ergibt das:
[mm] t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
So haben wir das in de Uni gemacht, halt nur noch für [mm] \lambda_{2} [/mm] & [mm] \lambda_{3}
[/mm]
und daraus ergab sich dann Meine oben gestellte Aufgabe, hoffe das hilft weiter.
Also ist das t eigentlich schon für alle 3 Vekoren gleich da man sich ja eine Reale Zahl aussuchen kann, Theoretisch könnte man dann für alle drei Vektoren t = 2 wählen.
Das der Vektor dann noch nicht normiert ist mir auch klar,
die Lösung war diese:
[mm] V_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] mit t = 1
[mm] V_{1}^TV_{1} [/mm] = 3
[mm] \tilde V_{1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
Damit wäre der Vektor normiert, nur ich verstehe nicht wie ich t wählen muss damit die Normierungsbedingung erfüllt ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:47 Mi 30.06.2010 | | Autor: | wieschoo |
> Mhh ich fang mal lieber von Anfang an:
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 }[/mm]
Du sprichst für mich in Rätseln. Was ist denn nun die Aufgabe.
[ ] ONB bestimmen
[ ] Othogonalbasis bestimmen
[ ] diagonalisieren
[ ] sonstiges:____________________
>
> Erechnete Eigenwerte:
> [mm]\lambda_{1} = 2 \lambda_{2} = -1 \lambda_{3} = 1[/mm]
>
> So berechnung des [mm]EV_{1}[/mm] zu [mm]\lambda_{1}=2:[/mm]
>
> [mm]A=\pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 } *
\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\v_{3}} = 2\vektor{v_{1} \\ v_{2} \\v_{3}}[/mm]
>
> [mm]v_{1}+v_{2}=2v_{1} |-v_{1}[/mm]
> [mm]v_{2}=v_{1}[/mm]
>
> [mm]v_{2}+v_{3}=2v_{3} |-v_{3}[/mm]
> [mm]v_{2}=v_{3}[/mm]
>
> Dauraus ergibt sich der erste Eigenvektor:
> [mm]\vektor{t \\ t \\ t}[/mm] für t [mm]\in \IR[/mm]
>
> t ausgeklammert ergibt das:
>
> [mm]t*\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> So haben wir das in de Uni gemacht, halt nur noch für
> [mm]\lambda_{2}[/mm] & [mm]\lambda_{3}[/mm]
>
bis hier ist alles richtig.
> und daraus ergab sich dann Meine oben gestellte Aufgabe,
> > Wahl von t, so dass Normierungsbedingung erfüllt ist
Das ist weder ne Aufgabe noch ein Satz. Ich würde dir wirklich gerne helfen. Wie du normierst lese ich raus weißt du bereits schon.
> hoffe das hilft weiter.
>
> Also ist das t eigentlich schon für alle 3 Vekoren gleich
Es gibt kein t, sodass alle gleichzeitig normiert sind.
> Dann erfüllen aber nie alle Vektoren die Normbedingung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> da man sich ja eine Reale Zahl aussuchen kann, Theoretisch
> könnte man dann für alle drei Vektoren t = 2 wählen.
>
>
> Das der Vektor dann noch nicht normiert ist mir auch klar,
> die Lösung war diese:
>
> [mm]V_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] mit t = 1
> [mm]V_{1}^TV_{1}[/mm] = 3
>
> [mm]\tilde V_{1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{3}}\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> Damit wäre der Vektor normiert, nur ich verstehe nicht wie
> ich t wählen muss damit die Normierungsbedingung erfüllt
> ist
Dann ist dein t nicht [mm] $\bruch{1}{\wurzel{3}}$?
[/mm]
[edit] Sehe, dass ich zu spät bin.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Mi 30.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Also nehmen wir als Vektor den Vektor v = [mm] \vektor{5 \\ 1 \\ 2}. [/mm] Dieser soll Normiert werden, indem man ihn mit einer Zahl t so multipliziert, dass sein Betrag 1 wird.
Als erstes bestimmt man den Betrag des Vektors wie er im Moment ist:
|| v || = [mm] \wurzel{5^{2} + 1 + 2^{2}} [/mm]
Das ist der simple Pythagoras im 3D.
Du weisst nun das ||v|| = [mm] \wurzel{30}
[/mm]
Also musst du v durch [mm] \wurzel{30} [/mm] teilen, damit der Betrag von v auf 1 normiert wird.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Vertax |
Ok, danke das hat mir schonmal geholfen, nur stellt sich mir jetzt immer noch eine Frage:
Angenommen ich habe den Vektor:
[mm] t*\vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] für [mm] t\in\IR
[/mm]
das [mm] \wurzel{1^2+(-2)^2+1^2} [/mm] = 6 ist ja genau das selbe wie wenn ich [mm]v^Tv[/mm] Rechne also:
[mm] \pmat{ 1 & -2 &1} [/mm] * [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 1} [/mm] = 6
so, das geht aber ja nur weil für t = 1 gewählt wurde.
Wäre für t = 2 genommen worden hätte ich ja den Vektor:
[mm] \vektor{2 \\ -4 \\ 2}
[/mm]
Dann hätte ich als Ergebniss für [mm] \wurzel{v^Tv} [/mm] oder [mm]\wurzel{1^2+(-2)^2+1^2}[/mm] = 24
dann hätte ich als doch als Normierter Vorfaktor:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{24}} [/mm] statt [mm] \bruch{1}{\wurzel{6}}
[/mm]
Wäre das genauso richtig?
Und wieso wurde für t ausgerechnet 1 gewählt und nicht was anders?
Wenn ich für t jede reelle Zahl nehmen kann, wieso heist dann die Aufgabe:
Wahl von t, so dass Normierungsbedingung erfüllt ist?
Das sind die Punkte die mich etwas verwirren.
|
|
|
| |
|
> Ok, danke das hat mir schonmal geholfen, nur stellt sich
> mir jetzt immer noch eine Frage:
>
> Angenommen ich habe den Vektor:
>
> [mm]t*\vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm] für [mm]t\in\IR[/mm]
>
> das [mm]\wurzel{1^2+(-2)^2+1^2}[/mm] = 6 ist ja genau das selbe wie
> wenn ich [mm]v^Tv[/mm] Rechne also:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -2 &1}[/mm] * [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 1}[/mm] = 6
>
> so, das geht aber ja nur weil für t = 1 gewählt wurde.
> Wäre für t = 2 genommen worden hätte ich ja den
> Vektor:
>
> [mm]\vektor{2 \\ -4 \\ 2}[/mm]
>
> Dann hätte ich als Ergebniss für [mm]\wurzel{v^Tv}[/mm] oder
> [mm]\wurzel{1^2+(-2)^2+1^2}[/mm] = 24
??
[mm]\wurzel{2^2+(-4)^2+2^2}=24[/mm]
>
> dann hätte ich als doch als Normierter Vorfaktor:
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{24}}[/mm] statt [mm]\bruch{1}{\wurzel{6}}[/mm]
Wohl eher [mm]\bruch{1}{\wurzel{24}}[/mm]. Noch einmal zur Formel. Du normierst indem du durch die Norm dividierst.
[mm] $v\cdot v^T=(v/v) [/mm] = [mm] {\parallel v \parallel}^2$
[/mm]
Also ist deine Norm die Wurzel daraus:
[mm] ${\parallel v \parallel}=\sqrt{v\cdot v^T}=:\frac{1}{t}$
[/mm]
>
> Wäre das genauso richtig?
Bis auf dem Schreibfehler. Ist es in Ordnung.
>
> Und wieso wurde für t ausgerechnet 1 gewählt und nicht
> was anders?
>
> Wenn ich für t jede reelle Zahl nehmen kann, wieso heist
> dann die Aufgabe:
> Wahl von t, so dass Normierungsbedingung erfüllt ist?
>
> Das sind die Punkte die mich etwas verwirren.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Vertax |
Ich glaub ich habs jetzt gerafft, ich bin vom t vom vorfaktor des Eigenvektors ausgegangen.
In der Aufgabenstelleung war aber anscheinend von t als vorfaktor des Normierteneigenvektors die rede.
Ich hatte gedacht das ich für das t des Eigenvektors erst eine spezielle Zahl ermitteln muss damit ich das t vom Normiertenvektor bestimmen kann.
Das hat mich etwas verwirrt. Und das die 1 immer über dem Bruchstrich stehen muss ist mir auch klar gewordenl, da ich ja den Vektor auf die länge 1 bringen möchte.
Da es ja hieß Wahl von t das die Normierungsedingung erfüllt ist, und später für t = 1 genommen wurde, war das t = 1 als Vorfaktor des Eigenvektors zu werten. Ich hatte gedacht das diese Wahl die Normierungsbedingung erfüllt.
Was anscheinend aber nur der einstieg ist, damit ich einen Normierten Vorfaktor berechnen kann.
Korrigiert mich falls ich falsch liege
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:01 Mi 30.06.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Du solltest, denke ich, unterscheiden ob t nun eine Zahl sein soll, sodass der Vektor auf 1 normiert wird oder ob t ein Parameter des Vektors ist.
Sagen wir der Vektor ist [mm] \vektor{t*2 \\ t \\ t*3} [/mm] für alle t [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann ist sein Betrag = [mm] \wurzel{(t*^2)^{2} + t^{2} + (t*3)^{2}} [/mm] = ...
Man kann t noch ausklammern!...man erhält eine Allgemeine Formel für den Betrag dieses Richtungsvektors in Abhängigkeit von t.
Gruss
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Mi 30.06.2010 | | Autor: | Vertax |
^^ Der Gedanke ist gleichzeitig gekommen, genau diesen fehler hatte ich gemacht.
Danke schön für eure Hilfe Problem ist jetzt gelöst.
In der Tat hätte ich ich einen allgemeinen Normierten vorfaktor von:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{3t^2}}
[/mm]
Was mir aber jetzt net viel bringt, da ich mithilfe des Spektralsatze die Inverse berechnen will, aber da meine Frage nun geklärt ist, schaffe ich den rest nun allein.
danke nochmal
|
|
|
|
